人教版“實數(shù)”旁白設(shè)計意圖解讀和處理建議

趙麗娜　黃益全

[摘 要] 教材旁白不屬于正文，卻依附于正文. 鑒于對初中數(shù)學(xué)教材旁白的解讀是我們每個初中教師備課時的重要一環(huán)，筆者將在本文中以七年級第六章“實數(shù)”為例，通過對本章部分旁白的解讀，更好地把握、領(lǐng)悟、挖掘和合理處理教材，從而使教材最大限度地為師生服務(wù).

[關(guān)鍵詞] 教材旁白；實數(shù)；設(shè)計意圖；合理處理

問題提出

有種教研叫“同課異構(gòu)”. 類似地，同樣的教材，不同的老師也會有不同的理解和處理方式. 如果教師簡單地把教材當(dāng)作教案，照本宣科，恐怕教學(xué)效果遠(yuǎn)不能達(dá)到課標(biāo)所要求的理想程度. 那么，研讀教材就是每位教師必備的功課之一.

義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)人教版教材中旁白的呈現(xiàn)方式主要是兩種——設(shè)置在正文邊空的“小貼士”和“云朵”. “小貼士”介紹與正文相關(guān)的背景知識，“云朵”則是一些有助于理解正文的內(nèi)容或素材. 對于教材旁白的處理，自然應(yīng)細(xì)細(xì)揣摩編者的意圖，理性判斷其合理性，并進(jìn)行正確處理. 這就要求教師在備課時不僅要用好正文，還要用心詮釋教材旁白，以此把握對教學(xué)細(xì)節(jié)的處理，真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng).

“實數(shù)”是義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)人教版七年級第六章的內(nèi)容，本文擬對本章的部分旁白進(jìn)行解讀，以期更好地把握教材、領(lǐng)悟教材和挖掘教材，從而最大限度地發(fā)揮教材為師生服務(wù)的功能.

“實數(shù)”旁白設(shè)計意圖的解讀和

處理建議

本章的主要內(nèi)容有平方根、立方根的概念及求法，實數(shù)的相關(guān)概念及運(yùn)算. 本章內(nèi)容不多，所涉實數(shù)理論不深，是學(xué)生第一次正式接觸無理數(shù)和實數(shù)，要求使學(xué)生對數(shù)的認(rèn)識由有理數(shù)范圍擴(kuò)大到實數(shù)范圍，并為今后代數(shù)內(nèi)容的學(xué)習(xí)奠定重要基礎(chǔ).

1. 通過旁白的解讀和處理，教師合理處理教學(xué)環(huán)節(jié)，提高課堂效率

“教師是學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者和合作者，對各個環(huán)節(jié)的處理關(guān)系學(xué)生學(xué)習(xí)的有效性.”學(xué)生的學(xué)習(xí)方式也不局限于聽講，動手實踐、自主探索也是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式，因此教師應(yīng)適當(dāng)下放任務(wù)，讓學(xué)生有足夠的時間和空間經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動.

案例1？搖 P41的旁白“小正方形的對角線的長是多少呢？”

解讀：該旁白是在探究“能否用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm2的大正方形”的內(nèi)容旁邊出現(xiàn)的. 該探究位于本章第一節(jié)第二課時的起始位置，此前第一課時已給出算術(shù)平方根的概念，學(xué)生已掌握“已知正方形的面積求邊長”這一做法，易得出大正方形的邊長為dm，這就引出了第一個無理數(shù). 但如果探究內(nèi)容僅僅是為了引出，那為何還要提出“用兩個面積為1 dm2的小正方形拼成一個面積為2 dm2的大正方形”這大費(fèi)周折的問題，而不是直接提出問題“求這個面積為2 dm2的大正方形的邊長”呢？筆者結(jié)合教材P54第6.3節(jié)中介紹用數(shù)軸上的點表示等一系列無理數(shù)的內(nèi)容大膽揣測編者意圖：一是尊重歷史——?dú)v史上，人們發(fā)現(xiàn)用已有的數(shù)無法表示邊長為1的正方形的對角線的長，從而引出；二是建立學(xué)生獲取知識和方法的經(jīng)驗，使得后面在介紹用數(shù)軸表示各種無理數(shù)的方法時顯得不那么突兀. 因為“面積為1的小正方形的對角線的長就是面積為2的大正方形的邊長”這個結(jié)論（以下簡稱該結(jié)論）在教材P54第6.3節(jié)中要用到；三是引起學(xué)生的興趣.

教材編者的用意固然是好，但教師在課堂若不當(dāng)處理可能會適得其反. 比如，讓學(xué)生大費(fèi)周折地拼出面積為2 dm2的正方形，勢必導(dǎo)致活潑的初一孩子將過多注意力放在拼圖上，從而沖淡重點“研究這個無理數(shù)和求數(shù)的算術(shù)平方根”.

本人建議把這個探究作為第一課時的家庭作業(yè)，讓學(xué)生提前剪拼，得到該結(jié)論，同時提出歷史上人們思考過的問題“能否用我們已學(xué)過的數(shù)來表示這個長度”供學(xué)生研究，那么教師的課堂教學(xué)就可以直奔主題了，這樣既不會沖淡重點，又可以達(dá)到教材編者預(yù)期的效果，同時也將學(xué)生放在了探索者的位置上，提高他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.

2. 通過旁白解讀和處理，教師引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行理性思考，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑精神和探索能力

“隨著對于數(shù)的認(rèn)識的不斷深入，人們發(fā)現(xiàn)，邊長為1的正方形的對角線的長不是有理數(shù)，這就需要引入一種新的數(shù)……無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)……”到底什么是無理數(shù)？無理數(shù)和有理數(shù)有著怎樣的區(qū)別與聯(lián)系？只有當(dāng)學(xué)生理解了無理數(shù)的內(nèi)涵和外延，才能真正理解無理數(shù)，并為了解實數(shù)的內(nèi)涵做準(zhǔn)備. 這就需要教師有意識地引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行理性思考，在此過程中逐步培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)的能力.

案例2？搖？搖P42的旁白“無限不循環(huán)小數(shù)是指小數(shù)位數(shù)無限，且小數(shù)部分不循環(huán)的小數(shù)，你以前見過這種數(shù)嗎？”

解讀：該旁白出現(xiàn)的位置是教材引出了這個數(shù)，并探索出=1.414213562373…，是個無限不循環(huán)小數(shù)之后. 筆者仔細(xì)揣摩教材編者的設(shè)計意圖并對這個旁白的處理提出如下建議.

環(huán)節(jié)一：回顧概念“無限不循環(huán)小數(shù)（下文簡稱i-n-d（infinite non-repeating decimals））”. 學(xué)生小學(xué)時接觸過這個概念，除了圓周率π以外卻很少使用i-n-d. 可適當(dāng)鞏固，以加深學(xué)生的印象.

環(huán)節(jié)二：強(qiáng)調(diào)在本質(zhì)上是一個i-n-d，而是學(xué)生接觸的第一個帶根號的無理數(shù)，這就很自然地為后面介紹無理數(shù)本質(zhì)上是i-n-d埋下伏筆.

環(huán)節(jié)三：提出問題“你以前見過這種數(shù)嗎”，很簡單的一個問題喚起了學(xué)生頭腦中關(guān)于數(shù)的已有認(rèn)識的搜索、整理和歸類，我們可以有效利用旁白提出的這個問題，讓學(xué)生經(jīng)歷歸納、分類、猜想、計算、驗證的數(shù)學(xué)活動過程，從而達(dá)到提升分析和解決數(shù)學(xué)問題的能力.

（1）學(xué)過哪些數(shù)？0，1，2，…，-1，-2，…，，，，，…，，，…，-，-，-，-，…，-，-，…，π，…，有整數(shù)，有分?jǐn)?shù)，還有一個特殊的π，它們是不是i-n-d？

（2）π=3.141592653589…是i-n-d，這是小學(xué)老師明確告訴過學(xué)生的，而0，1，2，…，-1，-2…這些是整數(shù)，當(dāng)然不是i-n-d；，，，，…，，，…，-，-，-，-，…，-，-…這些都是分?jǐn)?shù)，是不是i-n-d？endprint

（3），，-，-…這些分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)，不是i-n-d. ，，…，，，…，-，-，…，-，-…這些分?jǐn)?shù)都不能化成有限小數(shù)，只能化成無限小數(shù)，這當(dāng)中有沒有i-n-d？

（4），，…，-，-…這些分?jǐn)?shù)都可以化為無限循環(huán)小數(shù)（以下簡稱c-d（circulating decimal）），那么，，，-，-呢？學(xué)生通過計算發(fā)現(xiàn)=0.2857，=0.…顯然，，，-，-都是c-d. 難道所有的分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)或c-d嗎？學(xué)生再舉出幾個分?jǐn)?shù)進(jìn)行驗算，結(jié)果都以“失望”告終. 難道真的沒有一個是i-n-d嗎？學(xué)生在經(jīng)歷計算之后只能猜測“所有的分?jǐn)?shù)都可以化成有限小數(shù)或者c-d”. （對于這個猜測的嚴(yán)謹(jǐn)證明，教師可讓學(xué)生課后解決，允許搜集和查閱資料，然后根據(jù)教學(xué)進(jìn)度安排數(shù)學(xué)活動課，讓學(xué)生把自己的成果展示出來）

經(jīng)過整理、分類、計算、猜想、驗證，學(xué)生得出結(jié)論“整數(shù)和分?jǐn)?shù)都不是i-n-d，π是i-n-d”，也就是說，學(xué)生只見過π這一個i-n-d. 于是，學(xué)生頭腦就很清楚地意識到和學(xué)過的整數(shù)和分?jǐn)?shù)的最大區(qū)別是“整數(shù)和分?jǐn)?shù)都可以化為有限小數(shù)或c-d，而是一個i-n-d”，這就為教材提出無理數(shù)的概念和學(xué)生理解有理數(shù)和無理數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系起到關(guān)鍵作用.

3. 通過旁白解讀和處理，“完善知識核心內(nèi)容，使教材體系嚴(yán)密和完備”“引領(lǐng)學(xué)生熟讀教材”，培養(yǎng)學(xué)生良好的思考習(xí)慣，避免學(xué)生走入誤區(qū)

為了避免學(xué)生知識片面和碎片化，教材經(jīng)常利用旁白的形式將知識體系補(bǔ)充完整，教師要抓住時機(jī)，完善知識核心內(nèi)容，引領(lǐng)學(xué)生熟讀教材，培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣，使學(xué)生掌握恰當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)方法，避免學(xué)習(xí)停留于表面.

案例3？搖 P46的旁白“符號只有當(dāng)a≥0時有意義，a<0時無意義，你知道為什么嗎？”

解讀：該旁白將二次根式被開方數(shù)的非負(fù)性直接呈現(xiàn)出來，主要是為強(qiáng)調(diào)該結(jié)論，提出“為什么”也有其內(nèi)在深意. 建議教師在學(xué)生回答這個“為什么”之前先詢問“是什么”，學(xué)生帶著“是什么”這樣的思考自然會著眼于算術(shù)平方根的定義“如果一個正數(shù)x的平方等于a，即x2=a，那么這個正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根”，以此引導(dǎo)學(xué)生閱讀教材. 既然a是正數(shù)x的平方，那么就有a≥0，至此，學(xué)生可自行歸納和總結(jié)出的雙重非負(fù)性，即≥0且a≥0.

可見，通過對旁白的合理處理，不僅能達(dá)到知識層面的教學(xué)目標(biāo)，還能引發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)思考，培養(yǎng)其良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，使其掌握恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法.

值得注意的是，上述旁白內(nèi)容只在實數(shù)范圍正確，當(dāng)數(shù)的范圍進(jìn)一步擴(kuò)大，該說法就會出現(xiàn)問題——復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，a<0時，符號是有意義的！那么教材體系是不是不夠嚴(yán)密和完備呢？繼續(xù)研讀教材旁白，可以發(fā)現(xiàn)如下旁白：（P50）“隨著數(shù)的進(jìn)一步擴(kuò)充，負(fù)數(shù)將可以進(jìn)行開方運(yùn)算，這是今后要學(xué)的”，這就很好地解決了我們的疑惑.

4. 通過旁白的解讀和處理，引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會對比學(xué)習(xí)

案例4？搖 P50的旁白“你能說說數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么不同嗎？”

解讀：要弄清楚二者之間的區(qū)別，須將新舊知識聯(lián)系起來，這既有利于復(fù)習(xí)鞏固平方根，又有利于理解和掌握立方根的內(nèi)容. 平方根是偶次方根的特例，立方根是奇次方根的特例，所以該旁白對研究偶次方根和奇次方根有著奠基性作用.

另外，要研究二者的不同，首先須研究開平方和開立方的逆運(yùn)算，即研究平方和立方的不同，這樣很容易發(fā)現(xiàn)平方根與立方根的不同，此處不再贅述.

5. 通過旁白解讀和處理，普及生活常識和數(shù)學(xué)中的基本習(xí)慣

案例5？搖 P42的旁白“不同的計算器，按鍵順序有所不同.”

案例6？搖 P42的旁白“計算器上顯示的1.414213562是的近似值.”

案例7？搖 P44的旁白“3就是3×.”

案例8？搖 P45的旁白“幾千年前，古埃及人就已經(jīng)知道了平方根.”

案例9？搖 P50的旁白“算術(shù)平方根的符號，實際上省略了中的根指數(shù)2，因此也可讀作二次根號a.”

解讀：對該類型的旁白，學(xué)生很有必要了解，但只需學(xué)生閱讀，教師不需過多講解.

結(jié)束語

數(shù)學(xué)教材旁白的解讀要基于知識本身的特點和學(xué)生的特點，立足于增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和人文素養(yǎng)，這才是有意義的解讀. 通過對“實數(shù)”旁白設(shè)計意圖的解讀，我對教材有了更深的理解，也感覺到了教材編者的不易，更堅定了我的課堂教學(xué)要牢牢地立足于教材的決心. 作為數(shù)學(xué)教師，我們要勇于接受挑戰(zhàn)，善于做學(xué)生的榜樣，將“補(bǔ)白”進(jìn)行到底，讓教材旁白發(fā)揮出其應(yīng)有價值，令教學(xué)熠熠生輝，使學(xué)生愛上數(shù)學(xué)！endprint