借題發(fā)揮，上好專題復(fù)習(xí)課

石慧英

[摘 要] 專題復(fù)習(xí)課是初三數(shù)學(xué)進(jìn)行二輪復(fù)習(xí)教學(xué)時(shí)的一種重要課型. 要想在復(fù)習(xí)課中真正提升學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，可采用“借題發(fā)揮”專題復(fù)習(xí)方式，這樣也許能引導(dǎo)學(xué)生從更高的角度理順知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，促成學(xué)生認(rèn)知模式的再次重組，起到意想不到的復(fù)習(xí)效果.

[關(guān)鍵詞] 二次函數(shù)；一元二次方程；借題發(fā)揮；中考專題復(fù)習(xí)

二次函數(shù)與一元二次方程均是初中數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，它們之間聯(lián)系緊密，下面筆者就如何借題發(fā)揮，上好這樣一節(jié)中考專題復(fù)習(xí)課，談?wù)勛约旱囊恍┳龇ㄅc思考.

“拿一個(gè)有意義且不復(fù)雜的題目去幫助學(xué)生發(fā)掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題就好像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的領(lǐng)域！”基于這樣的教學(xué)理念，我對(duì)本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)可用“一道題”“兩句話”“五個(gè)環(huán)節(jié)”來(lái)概括：設(shè)計(jì)一個(gè)典型問(wèn)題，拉長(zhǎng)過(guò)程、慢中求真，在一說(shuō)、二想、三解、四變、五反思中達(dá)成教學(xué)目標(biāo)！

教學(xué)策略

搭建問(wèn)題“腳手架”，利用問(wèn)題串驅(qū)動(dòng)教學(xué)生成.

教學(xué)環(huán)節(jié)

1. 環(huán)節(jié)一：說(shuō)

例題 ？搖已知拋物線y=（x-m）（x-n）與直線l交于A（a，-1），B（b，-1）兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)，m-n=-3.

問(wèn)題設(shè)計(jì)：（1）根據(jù)題目的敘述，請(qǐng)同學(xué)們說(shuō)一說(shuō)題目的已知條件，不妨用筆劃出關(guān)鍵詞.

（2）可以聯(lián)系哪些知識(shí)點(diǎn)？

（3）同學(xué)們認(rèn)為題中還有哪些隱含條件？

設(shè)計(jì)意圖？搖 弄清題意是正確解題的第一步，此環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)3個(gè)小問(wèn)題引領(lǐng)學(xué)生思考并分析已知條件，挖掘隱含條件. 所謂隱含條件，是在題目中未明確表達(dá)出來(lái)而客觀上又存在的條件，隱含條件隱藏得較深的題目，往往會(huì)給學(xué)生造成條件不足的假象，但如果能仔細(xì)分析、推敲，就可以將其挖掘出來(lái). 審題過(guò)程中，若能及時(shí)發(fā)現(xiàn)和運(yùn)用隱含條件，就可以迅速地達(dá)到解題目的，使解題過(guò)程更為流暢，如本題中隱含的條件有a，b是方程（x-m）（x-n）=-1的兩根，這條拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離是3，直線l的解析式為y=-1等.

2. 環(huán)節(jié)二：想

問(wèn)題設(shè)計(jì)：（1）根據(jù)題目提供的這些條件，同學(xué)們想一想能解決哪些問(wèn)題或得出哪些結(jié)論？不妨寫(xiě)下你的這些問(wèn)題或結(jié)論！

（2）哪些同學(xué)愿意匯報(bào)一下你的發(fā)現(xiàn)？

①寫(xiě)出直線l的解析式；

②判斷a，b，m和n的大小關(guān)系；

③求線段AB的長(zhǎng).

設(shè)計(jì)意圖？搖 學(xué)生通常所解的問(wèn)題，條件與結(jié)論都是直接給出的，所要處理的只是打通已知與未知之間的通道，并將其連接起來(lái)，但在本題的教學(xué)中，我只是先出示條件，而不給出問(wèn)題，讓學(xué)生分析現(xiàn)有條件與哪些知識(shí)點(diǎn)有聯(lián)系，根據(jù)這些知識(shí)能解決哪些問(wèn)題或發(fā)現(xiàn)哪些結(jié)論. 對(duì)學(xué)生而言，這就有了探究的意味. 從某種角度來(lái)說(shuō)，我認(rèn)為提出問(wèn)題的能力比分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力更重要，因?yàn)椤奥?lián)想的寬度決定了解決問(wèn)題的開(kāi)放度”.

3. 環(huán)節(jié)三：解

問(wèn)題設(shè)計(jì)：（1）同學(xué)們提出的問(wèn)題都非常值得研究，現(xiàn)在一起來(lái)看看這樣一個(gè)問(wèn)題應(yīng)該如何解決，即求代數(shù)式m-a+的值.

（2）請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)剛才的分析，嘗試解決上述問(wèn)題.

（3）你還有不同的解決方法嗎？

問(wèn)題解決：解法一，由已知易得a，b是方程（x-m）（x-n）=-1，即a，b是方程x2-（m+n）x+mn+1=0的兩根，所以Δ=[-（m+n）]2-4（mn+1）=（m-n）2-4=5. 因?yàn)閍0. 所以m-a+=a-m+n-b=3-.

解法二，因?yàn)閙，n為開(kāi)口向上的拋物線y=（x-m）（x-n）與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，a，b為此拋物線與直線y=-1的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，結(jié)合圖形（圖略）易知m

解法三，同解法二可得m

設(shè)計(jì)意圖？搖 鼓勵(lì)學(xué)生一題多解，分別從不同的角度去思考，如利用一元二次方程的求根公式，或利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，或數(shù)形結(jié)合，或利用拋物線的平移等，為學(xué)生充分提供解題過(guò)程的開(kāi)放空間，全面復(fù)習(xí)二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)鍵知識(shí)，深刻理解拋物線與直線交點(diǎn)的代數(shù)意義以及一元二次方程的根的幾何意義.

4. 環(huán)節(jié)四：變

師：這個(gè)問(wèn)題的解決我們主要應(yīng)用了一元二次方程根的幾何意義是拋物線與x軸的公共點(diǎn)的橫坐標(biāo)，以及直線與拋物線有公共點(diǎn)的代數(shù)意義是對(duì)應(yīng)的解析式組成的方程組的根，解決問(wèn)題的過(guò)程中應(yīng)認(rèn)真審題，分析已知，挖掘隱含，發(fā)散思考，善于轉(zhuǎn)化，注意分類，數(shù)形結(jié)合！老師對(duì)此題稍作改變，大家觀察一下，與剛才的問(wèn)題相比，發(fā)生了什么變化？

變式？搖 已知拋物線y=ax2+bx+3與x軸交于A（-1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，與直線l： y=t 交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D左側(cè)）.

（1）求拋物線的解析式；

（2）若△ABC的面積為10，求t的值；

（3）若CD=2，求C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo).

思考：若△OCD為直角三角形，求t的值.

師：對(duì)于第（1）小題，你有幾種解法？

生：解法一，將（-1，0），（3，0）代入拋物線解析式可得a-b+3=0，9a+3b+3=0，解得a=-1，b=2，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

解法二，令ax2+bx+3=0，由韋達(dá)定理可得-=-1+3，=-1×3，解得a=-1，b=2，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

解法三，由已知得y=a（x+1）（x-3），且拋物線過(guò)點(diǎn)（0，3），所以-3a=3，解得a=-1，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

師：說(shuō)說(shuō)下面兩位同學(xué)關(guān)于第（2）小題的解答是否正確？為什么？

甲同學(xué)的解答——由已知得AB=4，因?yàn)镾=10，即×4t=10，所以t=5.

乙同學(xué)的解答——由已知得AB=4，因?yàn)镾=10，即×4t=10，所以t=±5.

生：不正確. 正確解答如下：由已知得AB=4，S=10，即×4×t=10，解得t=±5，因?yàn)閽佄锞€與直線有兩個(gè)交點(diǎn)，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，所以4-4（t-3）>0，所以t<4. 所以t=-5.

師：如何求解第（3）小題？

生：解法一，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，解得x=，所以CD=-=. 因?yàn)镃D=2，所以4-4（t-3）=4，解得t=3. 又x2-2x=0的兩根為0，2，所以C（0，3），D（2，3）. 解法二，令-x2+2x+3=t，即x2-2x+t-3=0，因?yàn)镃D=2，所以CD2=4，即（x-x）2=4. 所以（x+x）2-4xx=4，即4-4（t-3）=4，解得t=3. 又x2-2x=0的兩根為0，2，所以C（0，3），D（2，3）.

師：對(duì)于思考題，如何思考？

生：易知∠ODC<90°，所以若△OCD為直角三角形，則∠OCD=90°或∠COD=90°. ①若∠OCD=90°，則點(diǎn)C在y軸上，為拋物線與y軸的交點(diǎn)（0，3），此時(shí)t=3；②若∠COD=90°，設(shè)直線CD與y軸交于點(diǎn)H，則易證△OHC∽ △DHO，于是OH2=CH·DH，即t2=-x·x=3-t，解得t=. 綜上可知t=3或t=.

設(shè)計(jì)意圖？搖 在解決問(wèn)題時(shí)通過(guò)引題設(shè)計(jì)，搭建問(wèn)題“腳手架”，讓學(xué)生突破難點(diǎn)，思維能拾級(jí)而上，直到最后解決問(wèn)題. 通過(guò)變式訓(xùn)練，發(fā)現(xiàn)變式題與例題的共同點(diǎn)都是拋物線與直線的交點(diǎn)問(wèn)題，不同之處在于例題中是動(dòng)拋物線與定直線，而變式中則是定拋物線與動(dòng)直線，鼓勵(lì)學(xué)生發(fā)散思維，分類討論，一題多解，一題多變，多題歸一.

5. 環(huán)節(jié)五：反思

師：知識(shí)求連，方法求變！今天我們由一個(gè)問(wèn)題的解決說(shuō)開(kāi)來(lái)，借題發(fā)揮，上了一節(jié)課，同學(xué)們不妨思考一下：這個(gè)問(wèn)題的解決涉及哪些數(shù)學(xué)知識(shí)？運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想方法？對(duì)我們今后的學(xué)習(xí)有什么啟發(fā)？請(qǐng)大家暢所欲言，與同學(xué)們分享一下你的收獲！

師：同學(xué)們還有什么疑問(wèn)嗎？

設(shè)計(jì)意圖？搖 一節(jié)課的成功不僅在于課前的精心預(yù)設(shè)，在于課堂的精彩生成，更在于課后給學(xué)生留下什么，而這與課堂結(jié)束前的師生共同小結(jié)密不可分. 當(dāng)下許多課堂小結(jié)行至最后常會(huì)由于時(shí)間關(guān)系“草草收兵”，學(xué)生沒(méi)有了“回頭看”，沒(méi)有了“再反思”，沒(méi)有了“提疑問(wèn)”，那么所謂的收獲恐也只剩套取解題模式罷了！故本節(jié)課最后筆者給足時(shí)間讓師生共同小結(jié)，厘清涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)、應(yīng)用的思想方法，啟發(fā)學(xué)生，并鼓勵(lì)學(xué)生勇敢地提出自己的疑問(wèn)！

反思

瑞士教育家裴斯泰洛齊曾說(shuō)過(guò)：“教育的主要任務(wù)不是積累知識(shí)，而是發(fā)展思維. ”我以為，數(shù)學(xué)中考專題復(fù)習(xí)課同樣不僅僅是幫助面臨中考的學(xué)生復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，讓他們?nèi)フ莆铡㈧柟毯蛷浹a(bǔ)在新授課時(shí)沒(méi)有很好解決或解決不了的問(wèn)題，它更大的空間應(yīng)該留給孩子在復(fù)習(xí)課上獨(dú)立思考與合作交流，感悟數(shù)學(xué)思想，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，進(jìn)一步感受其與新授課不同的風(fēng)景.endprint