馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法

陶為群

馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法

陶為群

［摘要］基于馬克思擴大再生產(chǎn)公式中具有的兩個部類不變資本積累變量，提出馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法，可以直觀、簡便地獲得擴大再生產(chǎn)公式的解，以把握怎樣求解一般的擴大再生產(chǎn)問題，特別是可以直觀地發(fā)現(xiàn)和認識馬克思擴大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件。

［關(guān)鍵詞］馬克思；擴大再生產(chǎn)公式；資本積累均衡；圖解法

馬克思的社會再生產(chǎn)理論以兩大部類社會再生產(chǎn)公式集中體現(xiàn)，當且僅當馬克思擴大再生產(chǎn)公式有解的情形下，這個公式對于研究現(xiàn)實的國民經(jīng)濟增長具有重要的理論指導(dǎo)意義。因為獲得擴大再生產(chǎn)公式的一組解，就是確定擴大再生產(chǎn)的一種具體安排。本文提出馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法，可以直觀、簡便地獲得擴大再生產(chǎn)公式的解，以幫助把握已經(jīng)有研究給出的求解擴大再生產(chǎn)問題的一般方法（陶為群，2014），[1]特別是可以直觀地發(fā)現(xiàn)和認識馬克思擴大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件。

一、社會再生產(chǎn)的兩個部類資本積累均衡方程

馬克思社會再生產(chǎn)理論以兩大部類社會再生產(chǎn)公式集中體現(xiàn)。社會再生產(chǎn)公式是表示了社會再生產(chǎn)中生產(chǎn)資料、消費資料兩個部類的產(chǎn)品價值構(gòu)成和實物構(gòu)成，以及生產(chǎn)資料、消費資料的總供給與需求均衡的一組等式。從不同作用的區(qū)別來看，這組等式包括了定義方程、行為方程和均衡條件三種類型的方程。按照馬克思社會再生產(chǎn)理論，社會生產(chǎn)部門劃分為生產(chǎn)資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類。第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在t年初時點的總資本分解成用于購買生產(chǎn)資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為Cj(t)，Vj(t)。按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式中的假定，設(shè)Cj(t)和Vj(t)都是每年周轉(zhuǎn)一次；那么，當年Cj(t)作為中間消耗轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品當中，Vj(t)在產(chǎn)品當中新創(chuàng)造出來，并帶來它的剩余價值Mj(t)。社會產(chǎn)品的價值中包含了由生產(chǎn)資料消耗轉(zhuǎn)移的價值、重新生產(chǎn)出的勞動力的價值，分別與不變資本的轉(zhuǎn)移、可變資本的再生產(chǎn)對應(yīng)，這兩者之間的對比關(guān)系由生產(chǎn)力的技術(shù)構(gòu)成決定，并且反映了生產(chǎn)力技術(shù)構(gòu)成的兩種屬性資本的表現(xiàn)形式，即資本有機構(gòu)成?！顿Y本論》中用第j部類產(chǎn)品當中消耗的不變資本對于可變資本的固定不變倍數(shù)hj表示該部類的資本有機構(gòu)成。剩余價值Mj(t)與可變資本Vj(t)之間保持固定不變的比率，以ej表示，是第j部類的剩余價值率。以Yj(t)，Xj(t)分別表示第j部類新創(chuàng)造價值、總產(chǎn)值，那么按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式，在每個部類內(nèi)部，不變資本、可變資本、剩余產(chǎn)品、新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）、總產(chǎn)值（產(chǎn)品）之間的關(guān)系被如式（1）所示的定義方程所確定：

剩余價值Mj(t)是形成本部類的新增資本和企業(yè)所有者的剩余價值消費的唯一來源。對確定了含義的字母前面加符號△以表示增量，并用Mx(t)j表示第j部類企業(yè)所有者將本部類的剩余價值中用于個人消費的部分。因而剩余價值的使用確定了如式（2）所示的行為方程：

△Cj(t)+△Vj(t)+Mx(t)j=Mj(t)j=I，Ⅱ（2）

由于按照經(jīng)典的馬克思再生產(chǎn)公式和式（1），在每個部類內(nèi)部，總產(chǎn)值的各構(gòu)成部分之間保持固定不變關(guān)系，因而總產(chǎn)值增量的各構(gòu)成增量之間也保持同樣的固定不變關(guān)系。那么基于式（1），又存在如式（3）所示的行為方程。

實現(xiàn)再生產(chǎn)意味著當年的全部生產(chǎn)資料、消費資料的使用量與生產(chǎn)量平衡，因而分別有生產(chǎn)資料、消費資料的均衡條件：

均衡條件式（4）和（5）在政治經(jīng)濟學(xué)教科書中被稱為社會再生產(chǎn)的實現(xiàn)條件（程恩富等，2012）。[2]

式（1）、（2）、（3）、（4）、（5）合在一起，就是完整的再生產(chǎn)公式。其中，均衡條件式（4）、（5）是再生產(chǎn)公式的主要部分，而定義方程（1）和行為方程（2）、（3）則共同決定了馬克思再生產(chǎn)公式所具有的特殊結(jié)構(gòu)。如果在式（2）左、右兩邊都加上Cj(t)和Vj(t)，再將所得的兩式相加，結(jié)果便與將式（4）、（5）相加得到的結(jié)果完全一樣，都是全部社會總產(chǎn)品的需求等于供給。這說明，由于行為方程（2）的存在，式（4）、（5）兩者中只有一個是獨立的?，F(xiàn)在將式（3）代入（2），得到：將式（3）、（6）都代入式（5）并化簡，與直接將式（4）化簡得到的結(jié)果完全一樣：

因此，式（7）就是簡化的社會再生產(chǎn)線性方程組，是社會再生產(chǎn)的兩個部類資本積累均衡方程。方程中有△CI(t)，△CⅡ(t)兩個變量，是社會再生產(chǎn)的決策變量；方程中的（YI(t)-CⅡ(t)）在當時是既定的，但在不同的年代應(yīng)是不同的，是社會再生產(chǎn)中的狀態(tài)變量。在確定決策變量△CI(t)，△CⅡ(t)時，是把狀態(tài)變量的值作為已經(jīng)取定的，所以可以把狀態(tài)變量看作是參數(shù)。實現(xiàn)社會再生產(chǎn)就是從這個資本積累均衡方程中確定一組△CI(t)，△CⅡ(t)的解，再代入式（3）和（6）得到△Vj(t)和Mx(t)j，就確定了擴大再生產(chǎn)的一種具體安排。由于企業(yè)所有者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分Mx(t)j≥0，所以根據(jù)式（6）可以確定對于決策變量的約束條件：

擴大再生產(chǎn)是指在至少每個部類的資本都不減少的前提下，社會總資本擴大。根據(jù)式（1）表明的每個部類的不變資本與總資本的固定關(guān)系，擴大再生產(chǎn)是在至少每個部類的不變資本都不減少的前提下，社會總不變資本擴大，也就是△CI(t)，△CⅡ(t)至少有一個大于零。于是對于擴大再生產(chǎn)的情形，對于決策變量還有約束條件：

將式（8）取j=Ⅰ，Ⅱ相加得到：

將式（10）和（11）代入資本積累均衡方程式（7），得到：

二、馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法

擴大再生產(chǎn)的兩個部類資本積累均衡方程式（7）中有兩個決策變量，根據(jù)這個方程以及對于決策變量的約束條件式（8）、（9）、（10），可以建立二維直角坐標系，運用圖解法直觀、簡便地獲得擴大再生產(chǎn)公式的解。

圖1　馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法

如圖1所示，分別以決策變量△CI(t)，△CⅡ(t)作為橫、縱坐標建立直角坐標系，就可以運用平面解析幾何方法獲得擴大再生產(chǎn)公式的解。首先，對于決策變量的約束條件式（8）、（9）表明，△CI(t)，△CⅡ(t)的取值范圍局限在由兩條直線△CI(t)=MIhI/（1+hI）和△CⅡ(t)=MⅡhⅡ/（1+hⅡ）與兩個坐標軸圍成的矩形區(qū)域內(nèi)；式（10）表明還要剔除坐標系的原點。資本積累均衡方程式（7）表示了一條直線，擴大再生產(chǎn)公式的解，都是這條直線上的點。結(jié)合決策變量△CI(t)，△CⅡ(t)的取值范圍，△CI(t)，△CⅡ(t)取值的可行域是此直線處于矩形區(qū)域內(nèi)的這部分線段。這條線段的斜率是-1，小于零，所以可行域線段呈左高右低狀。對于社會再生產(chǎn)中的狀態(tài)變量（YI(t)-CⅡ(t)）取不同值的情形，可以看作是這條線段隨著參數(shù)取不同的值，可以在矩形區(qū)域內(nèi)上、下平行移動；（YI(t)-CⅡ(t)）取值越大上移的位置就越高。不等式（12）表明，上述矩形區(qū)域的右上頂點，是方程式（7）表示的直線在△CI(t)，△CⅡ(t)的取值范圍內(nèi)能夠上移到的最高位置。右上頂點的橫、縱坐標分別是△CI(t)=MI(t)hI/（1+hI）和△CⅡ(t)=MI(t)hⅡ/（1+ hⅡ），代入方程式（7），就表示右上頂點在這條直線上，也就是直線上移到了最高位置。資本積累均衡方程式（7）表示的這條直線處于矩形區(qū)域內(nèi)的這部分線段上的點，都是擴大再生產(chǎn)公式的解，所以先確定任何一點的橫（縱）坐標就可以對應(yīng)地確定縱（橫）坐標；也就是一旦確定了資本積累均衡時的第Ⅰ（第Ⅱ）部類積累，就可以對應(yīng)地確定第Ⅱ（第Ⅰ）部類積累。

首先考察先確定線段上的某一點的橫坐標△CI(t)。那么該點的縱坐標是：

這代表著把第Ⅰ部類不變資本積累△CI(t)作為擴大再生產(chǎn)決策的自由變量，而把第Ⅱ部類不變資本積累△CⅡ(t)作為因變量或稱為自由變量的函數(shù)。由于此線段呈左高右低狀，所以在線段的左端點橫坐標數(shù)值最小，縱坐標數(shù)值最大；在右端點橫坐標數(shù)值最大，縱坐標數(shù)值最小。根據(jù)圖1所示的此線段上下平行移動時所處的兩個不同位置，可以看出左端點橫坐標數(shù)值是：

所以，當把第Ⅰ部類不變資本積累△CI(t)作為擴大再生產(chǎn)決策的自由變量，它的定義域是：

右端點橫坐標數(shù)值是：

將△CI(t)在此定義域內(nèi)任意取一個數(shù)值，再代入式（13）得到相應(yīng)的△CⅡ(t)數(shù)值，就獲得擴大再生產(chǎn)公式的一個解。式（13）與（16）構(gòu)成的擴大再生產(chǎn)公式的圖解法，與已經(jīng)有研究給出的求解擴大再生產(chǎn)問題的代數(shù)方法完全一致（陶為群，2014）。[1]

再考察先確定線段上的某一點的縱坐標△CⅡ(t)。那么該點的橫坐標是：

這代表著把第Ⅱ部類不變資本積累△CⅡ(t)作為擴大再生產(chǎn)決策的自由變量，而把第Ⅰ部類不變資本積累△CI(t)作為因變量或稱為自由變量的函數(shù)。由于此線段呈左高右低狀，所以在線段的左端點縱坐標數(shù)值最大，橫坐標數(shù)值最?。辉谟叶它c縱坐標數(shù)值最小，橫坐標數(shù)值最大。根據(jù)圖1所示的此線段上下平行移動時所處的兩個不同位置，可以看出左端點縱坐標數(shù)值是：

右端點縱坐標數(shù)值是：

所以，當把第Ⅱ部類不變資本積累△CⅡ(t)作為擴大再生產(chǎn)決策的自由變量，它的定義域是：

將△CⅡ(t)在此定義域內(nèi)任意取一個數(shù)值，再代入式（17）得到相應(yīng)的△CI(t)數(shù)值，就獲得擴大再生產(chǎn)公式的一個解。式（17）與（20）構(gòu)成的擴大再生產(chǎn)公式的圖解法，也與已經(jīng)有研究給出的求解擴大再生產(chǎn)問題的代數(shù)方法完全一致（陶為群，2014）。[1]

從馬克思擴大再生產(chǎn)公式的圖解法看到，式（12）表明的擴大再生產(chǎn)中的狀態(tài)變量（YI(t)-CⅡ(t)）的取值區(qū)間，是擴大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件。根據(jù)式（1），每個部類內(nèi)部各個部分之間的相互比例是固定的，所以兩個部類產(chǎn)品之間任一個對應(yīng)部分之間的比例關(guān)系，都足以表現(xiàn)整個部類之間的比例關(guān)系。現(xiàn)在，用兩大部類新創(chuàng)造價值之間的比例關(guān)系從總體上反映兩大部類之間的比例關(guān)系，記為φ(t)=YⅡ(t)/YI(t)。將（1）式和φ(t)所表示的關(guān)系代入擴大再生產(chǎn)公式有解的充分必要條件式（12），得到兩大部類比例φ(t)取值的一個限制區(qū)間。

φmin≤φ(t)＜φmax，式中

按照馬克思社會再生產(chǎn)理論，充分必要條件式（12）中的狀態(tài)變量（YI(t)-CⅡ(t)）在實物形態(tài)上是生產(chǎn)資料，而社會總產(chǎn)品是由生產(chǎn)資料、消費資料兩種不同用途的實物產(chǎn)品共同組成，因而式（12）表明了對生產(chǎn)資料的相對最低、最高數(shù)量要求。而式（21）是把對生產(chǎn)資料的相對最低、最高數(shù)量要求，轉(zhuǎn)換成對于兩大部類產(chǎn)品比例φ(t)取值范圍的限制。

三、擴大再生產(chǎn)公式的圖解法的驗證

下面引用馬克思《資本論》第二卷第二十一章中所舉的第一例，對擴大再生產(chǎn)公式的圖解法加以計算驗證。[3]此例設(shè)定兩個部類結(jié)構(gòu)參數(shù)hI=4倍，hⅡ=2倍，eI=eⅡ=100%，來說明一般情形下兩大部類的擴大再生產(chǎn)過程。直接引用該例中的第1年（起始年）的兩大部類生產(chǎn)和資本積累數(shù)據(jù)，列在表1。根據(jù)此例第1年的數(shù)據(jù)，狀態(tài)變量（YI(t)-CⅡ(t)）取值500，滿足約束條件式（12）。此例是先決定第Ⅰ部類的剩余價值積累率為50%，也就是把第Ⅰ部類不變資本積累△CI(t)作為擴大再生產(chǎn)決策的自由變量，△CI(t)取值400處于式（16）確定的定義域內(nèi)。此例確定的第Ⅱ部類不變資本積累△CⅡ(t)取值100滿足式（13），這樣確定的擴大再生產(chǎn)的解，就是圖1坐標系當中的點（400，100），此點在線段△CI(t)+△CⅡ(t)= 500上。因此，此例驗證了擴大再生產(chǎn)公式的圖解法。

表1　引用《資本論》第二卷第二十一章中第一例驗證圖解法

［參考文獻］

［1］陶為群.兩大部類擴大再生產(chǎn)的充分必要條件與求解［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2014，（3）.

［2］程恩富，馮金華，馬艷.現(xiàn)代政治經(jīng)濟學(xué)新編（完整版·第二版）［M］.上海：上海財經(jīng)大學(xué)出版社，2012：204-210.

［3］［德］馬克思.資本論：第2卷［M］.北京：人民出版社，2004：574-585.

［責(zé)任編輯：楊彧］

［中圖分類號］F091.91

［文獻標識碼］A

［文章編號］1673-8616（2015）01-0038-04

［收稿日期］2014-09-16

［作者簡介］陶為群，中國人民銀行南京分行副行長、研究員、安徽財經(jīng)大學(xué)兼職教授（江蘇南京，210004）。