定積分計(jì)算中的一些技巧

施露芳

摘要：通過實(shí)例討論了定積分計(jì)算中的奇偶性，不變限代換，周期性，幾何意義以及方程（組），既豐富了定積分的計(jì)算方法，又提高了學(xué)生的計(jì)算能力。

關(guān)鍵詞：定積分；奇偶性；不變限代換；周期性；方程

中圖分類號(hào)：G4文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：16723198（2015）04014201

在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)中，定積分的計(jì)算占了相當(dāng)?shù)膬?nèi)容，特別是在自然科學(xué)，經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域及實(shí)際生活中存在著大量的實(shí)際問題，最終都?xì)w結(jié)為定積分的計(jì)算。牛頓-萊布尼茨公式是計(jì)算定積分的一種有效工具，但在工程實(shí)踐和科學(xué)研究中，經(jīng)常會(huì)遇到被積函數(shù)是這樣一些函數(shù)：（1）被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)形式表示；（2）被積函數(shù)本身形式復(fù)雜，如按常規(guī)計(jì)算，不僅費(fèi)時(shí)，而且不易計(jì)算出結(jié)果。因此，為了滿足實(shí)際需要，本文主要從5個(gè)方面總結(jié)了簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算方法。

1對(duì)稱區(qū)間上的定積分要注意函數(shù)的奇偶性

性質(zhì)1：設(shè)f（x）在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間[-a，a]上連續(xù)，則

（1）對(duì)一般函數(shù)，有∫a-af（x）dx=2∫a0[f（x）+f（-x）]dx；

（2）若f（x）為奇函數(shù)，則∫a-af（x）dx=0；

（3）若f（x）為偶函數(shù)，則∫a-af（x）dx=2∫a0f（x）dx。

例1：計(jì)算∫1-1x2sinx1+x4+1-x2dx

解：∫1-1x2sinx1+x4+1-x2dx

=∫1-1x2sinx1+x4dx+∫1-1x21-x2dx

=∫1-1x21-x2dx

===x=sint2∫π20sin2tcos2tdt=π8。

這里，把原積分化為兩個(gè)積分和之后，第一個(gè)積分的被積函數(shù)為奇函數(shù)，直接利用性質(zhì)，積分為零。第二個(gè)積分的被積函數(shù)為偶函數(shù)，利用性質(zhì)，并使用了定積分的還原法得到了最后結(jié)果。

2一般區(qū)間上的定積分可使用“不變限代換”

性質(zhì)1：設(shè)f（x）在[a，b]上連續(xù)，則∫baf（x）dx=∫baf（a+b-x）dx。

推論1：若f（x）滿足f（x）+f（a+b-x）=k（k為常數(shù)），則∫baf（x）dx=k（b-a）2。

推論2：若f（x）滿足f（x）+f（a+b-x）=g（x），則∫baf（x）dx=12∫bag（x）dx。

例2：計(jì)算∫π401-sin2x1+sin2xdx

解：用不變限代換x+t=π4，則∫π401-sin2x1+sin2xdx=∫π401-sin2（π4-x）1+sin2（π4-x）dx

=∫π401-cos2x1+cos2xdx=∫π40tan2xdx=∫π40（sec2x-1）dx=1-π4

例3：計(jì)算∫π4-π4cos2x1+exdx

解：由于f（x）+f（-x）=cos2x1+ex+cos2x1+e-x=cos2x，

因此∫π4-π4cos2x1+exdx=12∫π4-π4cos2xdx=π4+12

3周期函數(shù)在一些特殊區(qū)間上的定積分

性質(zhì)1：設(shè)f（x）是連續(xù)的周期函數(shù)，周期為T，則

（1）∫a+Taf（x）dx=∫T0f（x）dx

（2）∫a+nTaf（x）dx=n∫T0f（x）dx

例4：計(jì)算∫nπ01+sin2xdx

解：由于1+sin2x是以π為周期的周期函數(shù)，利用上述結(jié)論，有

∫nπ01+sin2xdx=n∫π01+sin2xdx=n∫π0sinx+cosxdx=2n∫π0sin（x+π4）dx

=2n∫5π4π4sintdt=2n∫π0sintdt=2n∫π0sintdt=22n

4利用定積分的幾何意義，計(jì)算一些定積分

定積分的幾何意義：∫baf（x）dx表示由直線x=a，x=b，y=0及曲線y=f（x）所圍成的圖形（稱為曲邊梯形）的面積的代數(shù)和。

例5：計(jì)算∫2-24-x2dx

解：由定積分的幾何意義：∫2-24-x2dx表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的上半圓的圓的面積，所以∫2-24-x2dx=2π。

5利用建立方程與方程組計(jì)算定積分

在計(jì)算過程中，通過解方程（組）的方式求定積分。

例6：計(jì)算∫π20exsinxdx

解：原積分I=∫π20exsinxdx=[exsinx]π20+∫π20excosxdx

=eπ2-∫π20cosxdex==eπ2+1-∫π20exsinxdx

=eπ2+1-I

得方程：I=eπ2+1-I，從而I=12（eπ2+1）。

例7：計(jì)算I=∫π20cosxsinx+cosxdx和J=∫π20sinxsinx+cosxdx

解：I+J=∫π201dx=π2，

I-J=∫π20cosx-sinxsinx+cosxdx=∫π201sinx+cosxd（sinx+cosx）=0

∵I+J=π2

I-J=0∴I=J=π4

以上總結(jié)了定積分計(jì)算中的一些技巧和方法。我們?cè)诰唧w的解題過程中，除了應(yīng)用常規(guī)的解題方法，還要注意對(duì)具體問題，具體分析，有時(shí)可以簡(jiǎn)化我們的計(jì)算。同時(shí)，在教學(xué)和學(xué)習(xí)過程中，還要不斷探索，提高利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題，解決問題的能力。

參考文獻(xiàn)

[1]同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M].北京：高等教育社，2006.

[2]周彩連.定積分計(jì)算中的“不變限代換”[J].高等數(shù)學(xué)研究，2009.

[3]羅威.定積分計(jì)算中的若干技巧[J].沈陽(yáng)師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2010.