0.9到底等于1還是約等于1

到底等于1還是約等于1？這一問題雖小，但一直是大家廣為爭論的問題之一，筆者從教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)：不少同學(xué)對無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為整數(shù)或分?jǐn)?shù)，它屬于有理數(shù)范疇這一概念只知其然，不知其所以然。為此，筆者就以此小問題略加議之。

≈1嗎？請先看下面幾種解法。

解法一

設(shè)X== 0.999······ （1）

則10X=9.99······=9+0.99······

=9+ （2）

（2）-（1）得 9X=9，

則X=1，即=1。

解法二

=0.999······=0.9+0.09+0.009+······=······==1。

解法三

我們考察無窮數(shù)列0.9，0.99，0.999···，1-，······

顯然，，即=1

事實(shí)勝于雄辯，=1而決不會是約等于1！然而，在教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，相當(dāng)多的初學(xué)者卻總認(rèn)為≈1，其理由之一是這個數(shù)可以相當(dāng)與1接近，但是永遠(yuǎn)不會達(dá)到1，因此≈1。

學(xué)生的錯覺是難免的，關(guān)鍵是要求教學(xué)者對此引起足夠重視，認(rèn)真分析引起錯覺的主要原因，積極提出改進(jìn)教學(xué)的方法，一起徹底糾正錯覺。

分析產(chǎn)生錯覺的主要原因有兩條：

對無限循環(huán)小數(shù)的概念缺乏本質(zhì)的認(rèn)識。凡無限循環(huán)小數(shù)均屬有理數(shù)范疇，總可化為有理數(shù)或分?jǐn)?shù)形式。解法1就是一例，用同樣方法可以得到0.2=

設(shè)0.0=x，則1000x=31+10x，

X=，0.2=0.2+x=0.2+=

無限循環(huán)小數(shù)是整數(shù)或分?jǐn)?shù)的另一表達(dá)形式是確定無疑了。它與無限不循環(huán)小數(shù)是有著本質(zhì)的區(qū)別（），前者屬于有理數(shù)范疇，而后者屬于無理數(shù)范疇。

對數(shù)列（尤其是無窮數(shù)列）的項(xiàng)與數(shù)列的極限混為一談。

解法二與解法三都是用求無窮數(shù)列的極限的方法而解得=1的，也即這個數(shù)，我們可以認(rèn)為無窮數(shù)列0.9，0.99，0.999，...的極限，而絕不是這個數(shù)列中的任何一項(xiàng)。在該數(shù)列中的任何一項(xiàng)，都絕不會等于這個數(shù)列的極限1（當(dāng)然也有的數(shù)列的極限就是該數(shù)列中的某一項(xiàng)，例常數(shù)列）。

因此，通過是等于1還是約等于1的議論，使學(xué)生進(jìn)一步理解無限循環(huán)小數(shù)的實(shí)質(zhì)含義。

作者簡介：江文元，副教授，重慶三峽職業(yè)學(xué)院。