淺談利用函數(shù)y=ax2+bx+c模型探索圖形規(guī)律

福建省壽寧縣犀溪中學分校 葉允銘

函數(shù)是用來描述現(xiàn)實生活中某種變化規(guī)律，是變化規(guī)律的一種定性或定量的描述。函數(shù)的知識在中學階段是一個重點，也是一個難點，特別是二次函數(shù)，學生學習起來比較吃力，是學習過程中的一個瓶頸。而探索圖形變化規(guī)律，要求學生具有一定的空間想象能力和歸納能力，是從復雜現(xiàn)象中揭示本質的一個認知過程，也是學習中的一個重難點。對于這些知識教師在教學過程中如何弱化難點，揭示規(guī)律，整合材料，提高學生學習數(shù)學的興趣呢，筆者結合多年的教學實踐初探如下。

一、函數(shù)y=ax2+bx+c模型的討論

函數(shù)y=ax2+bx+c模型既可以表示二次函數(shù)，也可以表示一次函數(shù)，還可以表示常數(shù)函數(shù)。當a不等0時，該函數(shù)模型表示二次函數(shù)，當a=0，b不等于0時表示一次函數(shù)，當a、b同時為0時表示常數(shù)函數(shù)。要求函數(shù)y=ax2+bx+c的表達式，利用待定系數(shù)法，這里有3個字母a、b、c待定，需要過三個點，代入函數(shù)表達式，從而轉化為一個關于a、b、c的三元一次方程組即可求解。

二、探索圖形規(guī)律

探索圖形規(guī)律是一種要求尋找圖形變化與對應序數(shù)（自然數(shù)）的一種規(guī)律關系，或者是說揭示圖形變化與自然數(shù)的某種對應關系。

三、兩者間的內在關系

不管是求函數(shù)的表達式還是尋找圖形的變化規(guī)律，都是揭示兩個變量之間的內在關系，都是揭示現(xiàn)實生活中某種規(guī)律性的東西。所以，這兩者之間，表面看起來不一樣，本質卻是一樣的，都是揭示兩個變量之間的關系。

那么如何將圖形變化規(guī)律轉化為求函數(shù)的表達式呢？

例如，北師大九年級（下）第二章《二次函數(shù)》復習題P84-85

下圖中每一個圖形中各有多少個小圓圈？第6個圖形有多少個？第100個圖形有多少個？第n圖形又有多少個？

通過觀察，我們發(fā)現(xiàn)，第一個圖形只有1個小圓圈，第二個圖形有3個小圓圈，第三個圖形有6個小圓圈。當然我們不可能一直這樣數(shù)下去，那怎么辦呢？第一個圖形對應1，第二個圖形對應3，第三個圖形對應6，要求第n個圖形對應多少個小圓圈。而這種對應關系跟我們的點坐標具有共性，所以，我們不妨把這種對應關系轉化坐標，即（1，1）、（2，3）、（3、6），就是要求坐標（n,m），從而轉化為求函數(shù)m=an2+bn+c的表達式，(注意，這里不能對a進行限制)，把這三個點代入得：

解得

由②－①得3a＋b＝2 ④

由③－②得5a＋b＝3 ⑤

由⑤－④得2a＝1，a＝0.5

即

所以，m=0.5n2+0.5n，這時m、n關系是一個二次函數(shù)關系，只不過自變量的取值范圍是自然數(shù)而已。

1．函數(shù)關系式中m=an2+bn+c，a不等0

例1、將一些半徑相同的小圓按如圖所示的規(guī)律擺放，請仔細觀察，第n個圖形，有___個小圓。（用含n的式子表示）

自然數(shù)與圖形的對應數(shù)量關系轉化函數(shù)坐標的關系即（1，6）、（2，10）、（3，16），代入函數(shù)表達式an2+bn+c，即可求出n2+n+4

例2、（2014?武漢，第9題）觀察下列一組圖形中點的個數(shù)，其中第1個圖中共有4個點，第2個圖中共有10個點，第3個圖中共有19個點，…按此規(guī)律第5個圖中共有點的個數(shù)是（ ）

分析：通過觀察，第一個圖形有4個點，即（1，4），第二個圖形有10個點，即（2，10），第三個圖形有1 9個點，即（3，19），代入函數(shù)關系m=an2+bn+c，容易求出a=1.5,b=1.5,c=1,即m=1.5n2+1.5n+1，當n=5時，m=46。

2．函數(shù)關系式中m=an2+bn+c，a等于0

例3、如圖用圍棋子按下面的規(guī)律擺圖形，則擺第n個圖形需要圍棋子的枚數(shù)是（ ）

分析：第一個圖形有棋子數(shù)5枚，即（1，5），第二個圖形有棋子數(shù)11枚，即（2，11），第三個圖形有棋子數(shù)17枚，即（3，17），把這三個點代入m=an2+bn+c，即可求出：a=0,b=6,c=-1,即m=6n-1，因為規(guī)律是未知，故不能對a的取值進行限制。

當然對一些比較簡單、可直接看出的圖形規(guī)律，就沒必要利用該函數(shù)模型來探索。

例4、如圖，第n個圖形中有__個小正方形？

分析：第一個圖形有1個小正方形，即(1，1)，第二個圖形有4個小正方形，即(2，4)，第三個圖形有9個小正方形，即(3，9)。這個規(guī)律比較容易發(fā)現(xiàn)，即縱坐標等于橫坐標的平方，所以第n個圖形有n2個圖形。

四、利用y=ax2+bx+c模型探索規(guī)律要注意哪些問題

1．自變量必須是序數(shù)，即自然數(shù)

2．三個點的確定必須是準確的

3．結果必須是要檢驗的

4．該模型不是萬能的,對于指數(shù)類型的函數(shù)就不能使用

五、結束語

利用函數(shù)y=an2+bn+c模型只是探索規(guī)律的一個工具（模型），不可能也不會解決所有的問題。例如細胞分裂、核彈爆炸等就不滿足這種規(guī)律。如細胞一分種分裂成兩個,兩分鐘分裂成四個，3分鐘分裂成8個，那n分鐘分裂成2n個。