解含有參數(shù)函數(shù)單調(diào)性的有效研究

北京市通州區(qū)永樂店中學 李龍強

含有參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性在高考中是一類熱點問題，這類問題，從知識層面上看，主要考查了函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；從數(shù)學方法上看，主要考查等價轉(zhuǎn)化，數(shù)形結(jié)合，分類討論思想。針對在教學過程中學生對于含有參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性問題無從下手，筆者把這類問題的常用解法整理一下，希望對讀者能夠起到拋磚引玉的效果。

縱觀近幾年北京卷理科高考試題，筆者認為：導(dǎo)數(shù)的解答題，無論試題的內(nèi)容與形式進行怎樣的變化，但是離不開研究函數(shù)單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性研究問題。

一、解形如ax+b＞0的不等式

通過移項得ax＞-b，在這里需要討論一次項系數(shù)a與0的關(guān)系。如果a＞0，那么如果a＜0，那么如果a=0，那么原不等式轉(zhuǎn)化成0＞-b，若b≥0，則x∈R，若b＜0，則x∈φ．

1、（2009 北京理，18）設(shè)函數(shù)f（x）=xekx（k≠0）．

（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

解：函數(shù)f（x）的定義域是R，

由f′（x）=（1+kx）ekx=0，得

若k＞0，則當時， f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，

當時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

若k＜0，則當時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，

當時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減．

二、解形如ax2+bx+c＞0的不等式

首先關(guān)注二次項系數(shù)a是否等于0，若a=0，則不等式解法如上一所示；若a≠0，其次關(guān)注不等式左側(cè)多項式能否分解因式，如果能夠分解因式，直接求出兩根，根據(jù)兩根大小，再利用一元二次函數(shù)圖象，采用數(shù)形結(jié)合思想解出不等式；如果不等式左側(cè)多項式不能分解因式，再次利用一元二次方程根的判別式來解不等式．

1、（2012 北京理，18）已知函數(shù)f（x）=ax2+1（a＞0），g（x）=x3+bx

（2）當a2=4b時，求函數(shù)f（x）+g（x）的單調(diào)區(qū)間．

解：由題設(shè)a2=4b，設(shè)

函數(shù)h(x)的定義域是R，

則

∵a＞0，

h′（x）h（x）隨x的變化情況如下：

x -a 2(-a 2-a 6(-a 6，（-∞，-a 2，-a 6)）+∞)h ′（x）+-+h（x）極大值極小值

所以函數(shù)h(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為

三、解分式

單調(diào)遞減區(qū)間為＞0不等式應(yīng)將分式不等式等價轉(zhuǎn)化為整式不等式，

即：

然后用“根軸法”或化為不等式組求解.

通過圖1所示的調(diào)整方法，分別對決策信息以及與進行沖突水平判定與調(diào)整，使群決策信息的沖突水平在合理的范圍。為便于表述，仍令具有調(diào)整后的、具有合理沖突水平的決策信息為與

四、解指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、三角不等式（含參）

1、（2014 北京理，18）已知函數(shù)

上恒成立，求a的最大值與b的最小值.

解：（2）當 0x? 時，“等價于“sin x?ax?0”“

（2）若在”等價于“sin x?bx?0”。

令 g( x)=sin x?cx，則g'(x)=cosx? c，當0c≤時，()0g x? 對任意恒成立。

當 1c≥時，因為對任意g'(x)=cosx ?c ?0，所以g(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減。從而g(x)(0)0g=?對任意恒成立。

當01c??時，存在唯一的

使得 g'( x0)= cosx0?c =0。

x (0,x0) x0 (x0,π)2 g'(x) → 0 →g(x) ↗ ↘

因 為 g( x)在區(qū)間[0 ,x0]上是增函數(shù)，所以 g( x0) ?g(0)=0。進一步，“() 0g x? 對任意恒成立”當且僅當即

綜上所述，當且僅當時，g(x)?0對任意恒成立；當且僅當 1c≥時，g( x) ? 0對任意恒成立。

所以，若對任意恒成立，則a最大值為b的最小值為1.

五、時刻關(guān)注函數(shù)定義域，對于解不等式起到畫龍點睛的作用

1、已知函數(shù)求f(x)的單調(diào)區(qū)間．

解：f(x) 的定義域為（0，+∞），

令f′(x)＝0得x=-a

若a≥0，f′(x)≥0恒成立，所以（0，+∞）為函數(shù)f(x)的增區(qū)間；

若a＜0，令f′(x)＞0，解得x＞-a

令f′(x)＜0,解得x＜-a

綜上所述：

當a≥0（0，+∞）為函數(shù)f(x)的增區(qū)間；

當a＜0，（-a，+∞)為函數(shù)f(x)的增區(qū)間 ，

（0，-a)為函數(shù)f(x)的減區(qū)間。

解不等式的過程，實質(zhì)上是同解不等式逐步代換化簡原不等式的過程，因而保持同解變形就成為解不等式應(yīng)遵循的主要原則，實際上高中階段所解的不等式最后都要轉(zhuǎn)化為一元一次不等式、一元二次不等式、指數(shù)不等式、對數(shù)不等式、三角不等式等.所以等價轉(zhuǎn)化是解不等式的主要思路.為此，一要能熟練準確地解基本不等式，二要保證每步轉(zhuǎn)化都要是等價變形.