深挖隱含條件速尋解題入口
——以“圓錐曲線(xiàn)”問(wèn)題為例

☉湖南省衡東縣第五中學(xué) 吳維車(chē)

深挖隱含條件速尋解題入口
——以“圓錐曲線(xiàn)”問(wèn)題為例

☉湖南省衡東縣第五中學(xué) 吳維車(chē)

合理利用已知條件是問(wèn)題順利求解的關(guān)鍵，但某些命題中條件的給出并不是直接的，而是需要解題者深入挖掘才能得到的.那么，如何才能正確挖掘出這些隱含的條件，決定著問(wèn)題能否順利解決.本文筆者以圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題為例，就其隱含條件的探究提幾點(diǎn)建議，供廣大讀者參考.

一、挖掘解析幾何的平面幾何性

隱含條件：通常解析幾何是指用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題，如坐標(biāo)法、代入消元法、判別式法、根與系數(shù)的關(guān)系等方法在解題中的應(yīng)用，但其并沒(méi)有完全脫離平面幾何，本題中若橢圓C上的點(diǎn)P，使得△F1F2P為等腰三角形，故相等的兩腰可視為以頂點(diǎn)為圓心的半徑，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為圓與橢圓的交點(diǎn)問(wèn)題求解.

解析：如圖1，當(dāng)點(diǎn)P與短軸的頂點(diǎn)重合時(shí)，△F1F2P構(gòu)成以F1F2為底邊的等腰三角形，此種情況有2個(gè)滿(mǎn)足條件的等腰△F1F2P.

當(dāng)△F1F2P構(gòu)成以F1F2為一腰的等腰三角形時(shí)，以F2P作為等腰三角形的底邊為例，因?yàn)镕1F2=F1P，所以點(diǎn)P在以F1為圓心，半徑為焦距2c的圓上，因此，當(dāng)以F1為圓心，半徑為2c的圓與橢圓C有2個(gè)交點(diǎn)時(shí)，存在2個(gè)滿(mǎn)足條件的等腰△F1F2P，此時(shí)a-c＜2c，解得a＜3c，所以離心率

圖1

評(píng)注：平面幾何知識(shí)在解析幾何中的應(yīng)用，除了上面的類(lèi)型以外，還包括等腰三角形“三線(xiàn)合一”性、菱形的對(duì)角形垂直平分性、對(duì)稱(chēng)性、三角形相似等平面幾何知識(shí)的利用，在此不再列舉.

二、探究一般性，打開(kāi)解題突破口

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）已知過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)l與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).

①若直線(xiàn)l垂直于x軸，求∠AQB的大小；

②若直線(xiàn)l與x軸不垂直，是否存在直線(xiàn)l使得△QAB為等腰三角形？如果存在，請(qǐng)求出直線(xiàn)l的方程；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隱含條件：在日常的解題探究訓(xùn)練中，在處理完一道題目之后，我們通常將問(wèn)題進(jìn)行變式探究，主要包括類(lèi)比探究，如對(duì)于橢圓滿(mǎn)足的性質(zhì)，雙曲線(xiàn)或拋物線(xiàn)是否滿(mǎn)足；拓展探究主要包括改變問(wèn)題的條件或結(jié)論，以及在特殊情況下存在的性質(zhì)，在一般情況下是否成立等，進(jìn)而來(lái)鍛煉學(xué)生的解題能力.

（2）由（1）得Q（-2，0）.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）.

因?yàn)閗AQ·kBQ=-1，所以AQ⊥BQ.所以程為y

圖2

取AB的中點(diǎn)M，連接QM，則QM⊥AB.

所以當(dāng)直線(xiàn)l與x軸不垂直時(shí)，不存在直線(xiàn)l使得△QAB為等腰三角形.

評(píng)注：本題通過(guò)對(duì)第（2）問(wèn)的①進(jìn)行拓展，使②的求解水到渠成.否則問(wèn)題的求解將走向歧途，在判斷|AQ|= |AB|或|QB|=|AB|時(shí)，使得運(yùn)算過(guò)程煩瑣、龐大，最終無(wú)功而返.

三、定點(diǎn)存在問(wèn)題，先定后證

（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（Ⅱ）已知?jiǎng)又本€(xiàn)l過(guò)點(diǎn)F，且與橢圓C交于A、B兩點(diǎn).試問(wèn)：在x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得立？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

隱含條件：定點(diǎn)存在問(wèn)題，是圓錐曲線(xiàn)問(wèn)題中常考的重要題型之一，那么在無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)之中，到底哪個(gè)點(diǎn)才是定點(diǎn)？所謂的定點(diǎn)，是指在一般條件下存在的點(diǎn)，既然適合一般條件，那么在特殊情況下也一定存在，因此，在定點(diǎn)存在問(wèn)題的探索中，可先利用特殊情況、特殊位置等先找到定點(diǎn)，再證明此點(diǎn)滿(mǎn)足一般情況即可，即所謂的先定后證.

當(dāng)直線(xiàn)l的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線(xiàn)l的方程為x=ty+1，A（x1，y1），B（x2，y2）.

因?yàn)閤1=ty1+1，x2=ty2+1，

評(píng)注：除此以外，對(duì)于某些特殊結(jié)論的記憶，依然可以采用此法，如過(guò)拋物線(xiàn)y2=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于A（x1，y1）、B（x2，y2）兩點(diǎn)，其中將為定值，我們可以利用當(dāng)直線(xiàn)AB與x軸垂直時(shí)的特殊情況來(lái)記憶這些特殊的結(jié)論，因此在解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)，可直接利用這些結(jié)論求解.

總之，問(wèn)題的求解，在于對(duì)條件的準(zhǔn)確利用.對(duì)于題目中的隱含條件，我們要善于利用知識(shí)的相關(guān)性進(jìn)行深入挖掘，希望學(xué)生在平時(shí)的解題訓(xùn)練中不斷歸納總結(jié)、舉一反三，進(jìn)而提高自身分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.FH