“幾何法”探究圓錐曲線求解新視角

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 錢秀

“幾何法”探究圓錐曲線求解新視角

☉江蘇省丹陽市第五中學(xué) 錢秀

平面幾何與解析幾何是初等幾何的兩個重要的分支，解析幾何的核心思想是運用代數(shù)方法來研究幾何問題.平面幾何著重用邏輯推理的手段來解決幾何問題.在常規(guī)教學(xué)中，師生往往割裂了兩者內(nèi)在的聯(lián)系，忽視了平面幾何在解析幾何試題中的應(yīng)用，從而使得有一部分解析幾何試題解決的過程復(fù)雜化.本文以教材中一道拋物線習(xí)題的解答為引例，談?wù)勂矫鎺缀沃R在解析幾何中的應(yīng)用，供大家參考.

引例（人教版選修2-1第71頁習(xí)題B題4）過拋物線y2=2px的焦點F作傾斜角為的直線，交拋物線于A、B兩點，點A在x軸的上方，求的值.

解法2：如圖1，過點A、B作準(zhǔn)線的垂線AC、BD，過點B作AC的垂線BE.

由拋物線的定義知|AC|= |AF|，|BF|=|BD|.又|AE|=|AC|-|CE|，|CE|=|BD|，所以|AE|=|AF|-|BF|.

圖1

評析：用圓錐曲線定義求解的問題往往與焦點或準(zhǔn)線有關(guān)，利用數(shù)形結(jié)合思想，不僅能抓住問題的本質(zhì)，還能避開復(fù)雜的運算，使問題巧妙獲解，有事半功倍之效.

下面就幾何法在求解圓錐曲線問題中的簡單應(yīng)用，再簡舉幾例.

一、利用等腰三角形“三線合一”

等腰三角形是重要的平面幾何圖形之一，其最重要的性質(zhì)是“三線合一”，即底邊上的中線、高線、垂直平分線重合，問題中如果涉及兩邊相等，借助此性質(zhì)可簡潔解題.

（1）求橢圓C的方程；

（2）設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2）.將直線l的方程代入橢圓C的方程，消去y得4（1+3k2）x2-60kx+27=0.由Δ= 3600k2-16（1+3k2）×27＞0，得設(shè)線段AB的中點為D，則.由點A、B都在以點M（0，3）為圓心的圓上，得kMD·k=-1，即，解得，符合題意.所以k=

評析：題目中的條件“點A、B都在以點M（0，3）為圓心的圓上”，間接給出|MA|=|MB|，因此存在等腰三角形，即中線與垂直平分線重合，進(jìn)而得出直線MD的斜率與已知直線的斜率的關(guān)系，使問題得解.對于垂直關(guān)系的利用，除了斜率相乘為-1外，也可借助向量的數(shù)量積為0求解.

二、利用直線的對稱性，使斜率由未知變已知

對稱性是平面幾何圖形的重要性質(zhì)，圓錐曲線綜合題大多以直線與圓錐曲線相交問題為背景，其中可能涉及兩條或多條直線.在引入直線方程時，如果設(shè)多個斜率，則使問題復(fù)雜化.如果能夠找到不同直線的斜率的關(guān)系，則可使問題化繁為簡.

（1）求橢圓C的方程.

（2）設(shè)過點M且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點.試問：x軸上是否存在定點P，使PM平分∠APB？若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

（2）設(shè)點A（x1，y1）、B（x2，y2），直線AB的方程為x=my+2.

將直線AB的方程與橢圓C的方程聯(lián)立，消去x得（4m2+9）y2+16my-20=0.

若PM平分∠APB，則直線PA、PB的傾斜角互補，所以kPA+kPB=0.設(shè)點P（a，0），則有

將x1=my1+2、x2=my2+2代入上式，整理得

所以2my1y2+（2-a）（y1+y2）=0.將代入上式，整理得（-2a+9）·m=0.由于上式對任意實數(shù)m都成立，所以

評析：如兩直線關(guān)于坐標(biāo)軸或關(guān)于直線x=a對稱，兩直線的斜率互為相反數(shù)，即可用一個參數(shù)表示不同直線的斜率，從而使問題簡化.題目中的條件“如果x軸上存在定點P，使PM平分∠APB”，表明兩直線PA、PB的傾斜角互補，斜率互為相反數(shù)，進(jìn)而問題得解.

三、利用三角形相似，化定積為定比

若解析幾何問題中的條件以解析幾何形式給出，可以用傳統(tǒng)解析幾何方法，聯(lián)立方程組求解，也可以直接運用平面幾何相關(guān)結(jié)論求解，如某些題目如果利用平面幾何中三角形全等或相似的知識會較容易解決.

例3（2014年高考全國新課標(biāo)）已知拋物線C：y2= 8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P是l上一點，Q是直線PF與C的一個交點，若，則|QF|=（）.

解法2：過Q點向準(zhǔn)線l作垂線，垂足為H，設(shè)l與x軸的交點為G，|QF|=x.

由拋物線的定義，得|QH|=|QF|=x.

評析：比較兩種解法，前者偏重計算，后者更重推理，應(yīng)注意對比選擇.通過本例可以看出：將復(fù)雜的圓錐曲線問題通過平面幾何知識進(jìn)行簡單、有條理的解決，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)“化繁為簡”的真諦.

從上面的幾個案例可以看出：單純地依靠代數(shù)的方法解決解析幾何問題，不光導(dǎo)致十分復(fù)雜的運算，也有可能導(dǎo)致思路無法展開.所以在解決解析幾何問題時，我們要關(guān)注試題的幾何特征，緊密聯(lián)系平面幾何知識，這樣我們往往能夠走出“山窮水復(fù)疑無路”的困境，打開“柳暗花明又一村”的新局面.