淺談勾股定理的應(yīng)用

鄭永平

【中圖分類號(hào)】G633.41 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2015）06-0247-02

勾股定理的由來(lái)：勾股定理也叫商高定理，在西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理.我國(guó)古代把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長(zhǎng)的直角邊稱為股，斜邊稱為弦.勾股定理為：兩直角邊的平方和等于斜邊的平方表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a，b，斜邊為c，那么

勾股定理是初中數(shù)學(xué)，重要的一部分，在實(shí)際中如果能巧妙的運(yùn)用勾股定理，會(huì)極大提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣。

題型一：利用勾股定理測(cè)量長(zhǎng)度

例題 如果梯子的底端離建筑物9米，那么15米長(zhǎng)的梯子可以到達(dá)建筑物的高度是多少米？

解析：這是一道大家熟知的典型的“知二求一”的題。把實(shí)物模型轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型后，.已知斜邊長(zhǎng)和一條直角邊長(zhǎng)，求另外一條直角邊的長(zhǎng)度，可以直接利用勾股定理！

題型二：勾股定理和逆定理并用

例題 如圖3，正方形ABCD中，E是BC邊上的中點(diǎn)，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，且 那么△DEF是直角三角形嗎？為什么？

解析：這道題把很多條件都隱藏了，乍一看有點(diǎn)摸不著頭腦。仔細(xì)讀題可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律 ，可以設(shè)AB=4a，那么BE=CE=2 a，AF=3 a，BF= a，那么在Rt△AFD 、Rt△BEF和 Rt△CDE中，分別利用勾股定理求出DF，EF和DE的長(zhǎng)，反過(guò)來(lái)再利用勾股定理逆定理去判斷△DEF是否是直角三角形。

題型三：折疊問(wèn)題

例題 如圖4，已知長(zhǎng)方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在邊CD上取一點(diǎn)E，將△ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上的點(diǎn)F，求CE的長(zhǎng).

解析：解題之前先弄清楚折疊中的不變量。合理設(shè)元是關(guān)鍵。

題型四：旋轉(zhuǎn)問(wèn)題：

如圖，△ABC是直角三角形，BC是斜邊，將△ABP繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，能與△ACP′重合，若AP=3，求PP′的長(zhǎng)。

變式1：如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，PA=2，PB= ，PC=4，求△ABC的邊長(zhǎng).

分析：利用旋轉(zhuǎn)變換，將△BPA繞點(diǎn)B逆時(shí)針選擇60°，將三條線段集中到同一個(gè)三角形中，根據(jù)它們的數(shù)量關(guān)系，由勾股定理可知這是一個(gè)直角三角形.

題型五：關(guān)于勾股定理在實(shí)際中的應(yīng)用：

例題、如圖，公路MN和公路PQ在P點(diǎn)處交匯，點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160米，點(diǎn)A到公路MN的距離為80米，假使拖拉機(jī)行駛時(shí)，周圍100米以內(nèi)會(huì)受到噪音影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時(shí)，學(xué)校是否會(huì)受到影響，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果受到影響，已知拖拉機(jī)的速度是18千米/小時(shí)，那么學(xué)校受到影響的時(shí)間為多少？

分析此題是把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)中勾股定理來(lái)解決的。

解：作AB垂直于MN交MN于B點(diǎn)，可知AB=80m<100m

故會(huì)受到影響

取B點(diǎn)右側(cè)點(diǎn)C，連AC，設(shè)AC=100m

根據(jù)勾股定律BC=60，可知拖拉機(jī)在BC上行駛會(huì)影響學(xué)校

相應(yīng)的，取B點(diǎn)左側(cè)點(diǎn)D，設(shè)AD=100m

DB=60，可知拖拉機(jī)在DB上行駛會(huì)影響學(xué)校

故拖拉機(jī)在DC上行駛會(huì)影響學(xué)校，DC=BC+DB=120m

18km/h=5m/s 120/5=24秒

學(xué)校受到的影響的時(shí)間為24秒

題型六：關(guān)于最短性問(wèn)題

例題如圖，圓柱的軸截面ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短路徑長(zhǎng)是多少？

分析：在運(yùn)用勾股定理解決有關(guān)問(wèn)題時(shí)，常常需要將一些線段通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等運(yùn)動(dòng)變化從而轉(zhuǎn)化到一個(gè)直角三角形中，即轉(zhuǎn)化思想.

求幾何體的表面的最短距離，可聯(lián)系我們學(xué)過(guò)的圓柱體的側(cè)面展開(kāi)圖，化“曲面”為“平面”，再尋找解題的途徑.如右圖，可得展開(kāi)圖中的AB長(zhǎng)為2π，BS為2，根據(jù)勾股定理，在RtΔABS中，得AS=2 所以，動(dòng)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到BC的中點(diǎn)S的最短路徑長(zhǎng)為2 。

勾股定理在初中數(shù)學(xué)中是一顆燦爛的明珠，常用于解直角三角形試題，涉及到邊的計(jì)算、角的計(jì)算、直角三角形的判定、翻折、爬行、圖形變換、實(shí)際應(yīng)用等題型，熟練掌握有關(guān)勾股定理的常見(jiàn)題型的解法對(duì)學(xué)生學(xué)好勾股定理的內(nèi)容有著很大的幫助。