讀懂教材的三點(diǎn)嘗試

張秋爽 中學(xué)高級(jí)教師，北京市學(xué)科帶頭人，吳正憲小學(xué)數(shù)學(xué)教師工作站首批進(jìn)站成員。多年來(lái)，潛心研究小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，以“理解”為核心，形成“抓住聯(lián)系，體現(xiàn)過(guò)程，分層設(shè)計(jì)和凸顯思考”的教學(xué)特色。

創(chuàng)新教研方式，形成教師研修的六大策略，主編了《團(tuán)隊(duì)研修的實(shí)踐與探索》《聽(tīng)吳正憲老師上課》《和吳正憲老師一起讀新課標(biāo)》等書(shū)，并有80篇論文、教學(xué)設(shè)計(jì)在省級(jí)以上刊物發(fā)表?！笆晃濉逼陂g承擔(dān)了北京市教育學(xué)會(huì)立項(xiàng)課題研究獲終期成果二等獎(jiǎng)，參與的課題榮獲第四屆全國(guó)教育科學(xué)研究?jī)?yōu)秀成果二等獎(jiǎng)、北京市第四屆基礎(chǔ)教育教學(xué)成果一等獎(jiǎng)。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（2011年版）指出：“數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線(xiàn)索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源?！比绾斡煤眠@一重要的教學(xué)資源，讀懂?dāng)?shù)學(xué)教材、成為編者的真正知音無(wú)疑是提高課堂教學(xué)有效性的關(guān)鍵。如何讀懂教材？我的體會(huì)是：從粗到細(xì)、從薄到厚。即采用“通讀法—略讀法—精讀法—品讀法”讀懂教材，“通讀全套教材—略讀年段教材—精讀本冊(cè)教材—品讀本課教材”。下面談一談我在讀懂教材方面的三點(diǎn)嘗試。

一、讀懂一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的編排體系

小學(xué)數(shù)學(xué)教材的編排特點(diǎn)之一是分散難點(diǎn)、循序漸進(jìn)和螺旋上升。以《乘法分配律》為例，它溝通了加法和乘法兩種運(yùn)算間的聯(lián)系，改變了運(yùn)算的先后順序。《乘法分配律》是乘法對(duì)加法的分配，實(shí)際上還有許多變式；計(jì)算過(guò)程中還滲透了分與合、等量代換的思想，其本質(zhì)就是乘法的意義。我通過(guò)兩個(gè)維度對(duì)《乘法分配律》內(nèi)容的學(xué)習(xí)進(jìn)行了梳理。

1.從學(xué)習(xí)階段來(lái)看，“乘法分配律”的學(xué)習(xí)分為三個(gè)階段：孕伏階段、明確階段和應(yīng)用階段

⑴孕伏階段。在乘、除法的計(jì)算中，孕伏著大量的“乘法分配律”內(nèi)容的學(xué)習(xí)。如“7的乘法口訣”，為了讓學(xué)生了解“七七四十九”這句口訣的來(lái)源，在動(dòng)手操作的基礎(chǔ)上，可以用相鄰口訣之間的關(guān)系推導(dǎo)出新口訣，即6個(gè)7加1個(gè)7，和是49，所以七七四十九；還可以用相關(guān)口訣之間的關(guān)系推導(dǎo)新口訣，即2個(gè)7加5個(gè)7（7×2+7×5=7×7）。兩種方法都利用了分與合的思想，既分散了難點(diǎn)，又讓學(xué)生的數(shù)學(xué)思考落到了實(shí)處。

⑵明確階段。明確階段就是《乘法分配律》的學(xué)習(xí)，可以利用學(xué)生的生活經(jīng)驗(yàn)：成套的桌椅、成套的服裝、師徒一起做零件、大小車(chē)一起運(yùn)貨物等實(shí)際問(wèn)題抽象出乘法分配律的模型；也可以利用已有的知識(shí)基礎(chǔ)，對(duì)舊知進(jìn)行再現(xiàn)從而舉一反三地抽象出運(yùn)算定律，也從最初的關(guān)注結(jié)果的相等到關(guān)注相等關(guān)系，進(jìn)而關(guān)注算式結(jié)構(gòu)?！冻朔ǚ峙渎伞返膶W(xué)習(xí)最關(guān)鍵的是以乘法意義為突破口。

⑶應(yīng)用階段。應(yīng)用階段包括“行程問(wèn)題”“小數(shù)乘、除法計(jì)算”“四則混合運(yùn)算”“長(zhǎng)方體表面積”“工程問(wèn)題”“圓環(huán)面積”“解方程”“分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用問(wèn)題”等，到了初中還有多項(xiàng)式的合并、因式分解等。

2.從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域來(lái)看，涉及“數(shù)的運(yùn)算”“圖形與測(cè)量”“解決問(wèn)題”和“其他”四個(gè)方面

通過(guò)研究，我們認(rèn)為只有在整體把握教材的基礎(chǔ)上，抓住乘法分配律的核心才能夠幫助教師體會(huì)到數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，做到前有孕伏、后有照應(yīng)，突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，為學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

二、讀懂領(lǐng)域內(nèi)各個(gè)內(nèi)容之間的聯(lián)系

圖形與幾何領(lǐng)域包括圖形的認(rèn)識(shí)、測(cè)量、圖形的運(yùn)動(dòng)和圖形與位置。這四部分之間有聯(lián)系嗎？圖形的認(rèn)識(shí)是從邊、角的數(shù)量及其關(guān)系、運(yùn)動(dòng)的角度刻畫(huà)的；測(cè)量是從數(shù)據(jù)的可量化再次認(rèn)識(shí)圖形；描述位置也離不開(kāi)測(cè)量中的具體數(shù)據(jù)；測(cè)量還為溝通代數(shù)、幾何及相關(guān)領(lǐng)域搭建了橋梁。圖形運(yùn)動(dòng)是一種思想，打開(kāi)了學(xué)生對(duì)圖形認(rèn)識(shí)的新視野……這四部分內(nèi)容之間的聯(lián)系體現(xiàn)了一維空間和二維空間之間的轉(zhuǎn)化、二維和三維空間之間的轉(zhuǎn)化。

1.讀懂各部分知識(shí)本身的內(nèi)容、目標(biāo)和策略

（1）圖形認(rèn)識(shí)的要求及階段性目標(biāo)

圖形認(rèn)識(shí)的要求主要包括兩個(gè)方面：一是對(duì)圖形自身特征的認(rèn)識(shí)，二是對(duì)圖形各元素之間、圖形與圖形之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。

對(duì)圖形的各元素之間、圖形與圖形之間的關(guān)系的認(rèn)識(shí)，主要包括大小、位置、形狀之間關(guān)系的認(rèn)識(shí)。第一學(xué)段的“了解直角、銳角和鈍角”；第二學(xué)段的“了解周角、平角、鈍角、直角、銳角之間的大小關(guān)系”“了解三角形兩邊之和大于第三邊”；第三學(xué)段的“會(huì)比較線(xiàn)段的長(zhǎng)短”等，都是對(duì)圖形大小關(guān)系的研究。

（2）測(cè)量教學(xué)的策略

測(cè)量不僅僅是計(jì)算，計(jì)算只是其中的一部分，用數(shù)據(jù)刻畫(huà)圖形的大小，進(jìn)一步理解圖形的特征、估測(cè)等內(nèi)容應(yīng)提到議事日程。這部分內(nèi)容的教學(xué)要體會(huì)建立統(tǒng)一度量單位的重要性：理解與把握度量單位的實(shí)際意義，對(duì)測(cè)量結(jié)果有很好的感悟；在具體的問(wèn)題情境中恰當(dāng)?shù)剡x擇度量單位、工具和方法進(jìn)行測(cè)量；重視估測(cè)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用；幫助學(xué)生在圖形測(cè)量活動(dòng)中感悟數(shù)學(xué)思想，了解、掌握測(cè)量的基本方法，積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。

（3）圖形與運(yùn)動(dòng)的方式

在小學(xué)階段，圖形的運(yùn)動(dòng)主要是圖形的平移、旋轉(zhuǎn)和軸對(duì)稱(chēng)。平移有方向、有距離，平移過(guò)程中最重要的是找對(duì)應(yīng)；旋轉(zhuǎn)需要有固定點(diǎn)和角度；對(duì)稱(chēng)包括軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)、點(diǎn)對(duì)稱(chēng)等?！皥D形運(yùn)動(dòng)”強(qiáng)調(diào)了研究圖形性質(zhì)的一種有效方法。

（4）圖形與位置內(nèi)容梳理

第一、二學(xué)段“圖形與位置”的內(nèi)容是按兩條線(xiàn)索展開(kāi)的：一是確定物體的相對(duì)位置；二是辨認(rèn)方向和使用路線(xiàn)圖。這兩方面內(nèi)容是有區(qū)別的，但是它們并非截然分開(kāi)，而是有聯(lián)系的，無(wú)論是上下、前后、左右，還是東、南、西、北，都既可以用來(lái)描述物體的相對(duì)位置，又可以用來(lái)說(shuō)明方向。

2.讀懂各部分知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系

（1）從運(yùn)動(dòng)角度認(rèn)識(shí)圖形

在認(rèn)識(shí)圖形的教學(xué)中，可以借助運(yùn)動(dòng)，直觀地刻畫(huà)圖形的屬性。例如，長(zhǎng)方形、正方形、圓、長(zhǎng)方體、正方體、圓錐等圖形，在認(rèn)識(shí)它們的特征時(shí)可以通過(guò)平移、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱(chēng)的變換，發(fā)現(xiàn)圖形的特征。

（2）從運(yùn)動(dòng)角度理解度量

小學(xué)階段，在面積和體積公式的推導(dǎo)過(guò)程中，時(shí)刻都能感受到運(yùn)動(dòng)的價(jià)值。教學(xué)“三角形、平行四邊形、梯形、圓的面積公式的推導(dǎo)”時(shí)，會(huì)用到拼湊、割補(bǔ)等多種推導(dǎo)方法，這些方法都利用了圖形的運(yùn)動(dòng)。

一條射線(xiàn)沿著端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后就能成為大小不一的角；圓是從定點(diǎn)到定長(zhǎng)的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡；一個(gè)長(zhǎng)方形沿著長(zhǎng)或?qū)捫D(zhuǎn)360°后就會(huì)成為一個(gè)圓柱；一個(gè)長(zhǎng)方形平放（與地面平行）后平移一定的距離就會(huì)形成長(zhǎng)方體；沿著直角三角形的直角邊旋轉(zhuǎn)360°就會(huì)得到一個(gè)圓錐……這就是面動(dòng)成體。

3.圖形認(rèn)識(shí)與圖形運(yùn)動(dòng)、測(cè)量、圖形與位置之間的聯(lián)系

“長(zhǎng)方形的認(rèn)識(shí)”的教學(xué)是從生活中的桌子面、屏幕面、數(shù)學(xué)書(shū)封面抽象出長(zhǎng)方形的特征——對(duì)邊相等，四個(gè)角都是直角，再回到生活中應(yīng)用。除此之外，還可以從哪些角度認(rèn)識(shí)長(zhǎng)方形呢？一是從運(yùn)動(dòng)和測(cè)量的角度認(rèn)識(shí)圖形：一條長(zhǎng)5厘米的線(xiàn)段水平放置，向下（上）平移3格（3厘米）后成為一個(gè)長(zhǎng)方形，這就是線(xiàn)動(dòng)成面，其中與測(cè)量也建立了聯(lián)系；二是可以從一個(gè)直角入手，在角的兩條邊上截取固定的長(zhǎng)度后，讓兩條邊平移需要的距離也能形成一個(gè)長(zhǎng)方形；三還可以從線(xiàn)之間的位置關(guān)系來(lái)刻畫(huà)：“對(duì)邊平行且相等”是平行四邊形的特征；再加上“鄰邊垂直”就是長(zhǎng)方形的特征，用這種方式刻畫(huà)，能讓學(xué)生體會(huì)到長(zhǎng)方形是特殊的平行四邊形。

利用聯(lián)系的觀點(diǎn)讀懂教材，既可以讓學(xué)生學(xué)好每一部分的知識(shí)，也能讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，體會(huì)到條條大路通羅馬的感覺(jué)。

三、讀懂核心概念背后蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)教材的編排除了知識(shí)這一條明線(xiàn)外，還有一條思想方法的暗線(xiàn)。在圖形與幾何領(lǐng)域，空間觀念、幾何直觀和推理能力是核心概念。在測(cè)量這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)中，什么是重要的？測(cè)量就是會(huì)計(jì)算周長(zhǎng)、面積、體積嗎？難道幾何就是計(jì)算？不，幾何更重要的是對(duì)圖形的刻畫(huà)，那么，在計(jì)算的背后蘊(yùn)含著哪些思想方法呢？

如：這有一塊長(zhǎng)方形地毯，長(zhǎng)是6米，寬是4米，它的周長(zhǎng)是多少米？它的面積是多少平方米？

封閉圖形一周的長(zhǎng)度是周長(zhǎng)。周長(zhǎng)就是從起點(diǎn)再回到起點(diǎn)，如何計(jì)算周長(zhǎng)？就是順邊加。長(zhǎng)度就是長(zhǎng)度單位個(gè)數(shù)的累加。面積是用面積單位去密鋪，這塊地毯一行鋪6個(gè)1平方米的正方形，鋪了4行，一共是24個(gè)1平方米，也就是24平方米。所以可以用長(zhǎng)×寬來(lái)計(jì)算長(zhǎng)方形的面積，面積就是面積單位個(gè)數(shù)的累加。

平面圖形面積的計(jì)算，一般情況下利用轉(zhuǎn)化思想，“轉(zhuǎn)化”的本質(zhì)是“所求面積轉(zhuǎn)化為‘小單位’面積的和”，“轉(zhuǎn)化”體現(xiàn)了等積變形，也可以說(shuō)蘊(yùn)含了等量代換的思想；其實(shí)，把一個(gè)平面圖形按照小單位進(jìn)行分割，然后求和，對(duì)于曲邊圖形（圓），采用化曲為直，利用無(wú)限逼近，滲透極限思想，為學(xué)生學(xué)習(xí)積分做好了準(zhǔn)備。

至于體積的計(jì)算，本質(zhì)是體積單位個(gè)數(shù)的累加。不論是計(jì)算長(zhǎng)度、面積還是體積，背后都滲透了度量的思想。度量的核心要素包括度量對(duì)象、單位、單位的個(gè)數(shù)，度量的本質(zhì)是“比”，度量的性質(zhì)有運(yùn)動(dòng)不變性、疊合性、有限可加性、無(wú)限不可公度性。

在度量過(guò)程中，“單位化”思想非常重要。數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域中認(rèn)數(shù)、數(shù)的計(jì)算都離不開(kāi)單位：數(shù)的認(rèn)識(shí)的關(guān)鍵就是數(shù)位和計(jì)數(shù)單位，數(shù)是由計(jì)數(shù)單位和個(gè)數(shù)累加得到的；小學(xué)階段學(xué)習(xí)的“數(shù)的加減法計(jì)算”都是在對(duì)計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)進(jìn)行相加減，除法就是在平均分計(jì)數(shù)單位的個(gè)數(shù)，乘法就是創(chuàng)造單位。估算、估計(jì)也離不開(kāi)單位，在制作統(tǒng)計(jì)圖時(shí)也需要考慮一個(gè)單位代表的數(shù)量。總之，單位化思想在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中有著舉足輕重的作用。

作為教師，讀懂教材是一項(xiàng)基本功，只有在教師了解了知識(shí)編排體系，理解各部分內(nèi)容之間的關(guān)系，把握概念背后的思想方法后，才能大膽地對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行選擇、重組、改造或補(bǔ)充，靈活能動(dòng)地運(yùn)用教材，設(shè)計(jì)有價(jià)值的活動(dòng)，讓學(xué)生在掌握知識(shí)的同時(shí)，習(xí)得方法，感悟思想。