Padé近似下模擬一般色散媒質(zhì)的FDTD改進(jìn)方案

劉廣東

·物理電子學(xué)·

Padé近似下模擬一般色散媒質(zhì)的FDTD改進(jìn)方案

劉廣東

(阜陽(yáng)師范學(xué)院物理與電子工程學(xué)院 安微 阜陽(yáng) 236037)

為了方便模擬不同媒質(zhì)的色散特性，提出了一種時(shí)域有限差分(FDTD)改進(jìn)方案，適用于統(tǒng)一處理幾類各向同性、線性、有磁電色散媒質(zhì)的電波傳播問(wèn)題：媒質(zhì)類型可以是Havriliak-Negami(H-N)媒質(zhì)、Davidson-Cole(D-C)媒質(zhì)、Cole-Cole(C-C)媒質(zhì)、Debye媒質(zhì)、常規(guī)(非色散)媒質(zhì)或其任意組合；媒質(zhì)屬性可以是單極或多極的、有電耗的或無(wú)電耗的。該方案利用帕德(Padé)近似法，導(dǎo)出了一組整數(shù)階的輔助微分方程(ADEs)，既克服了其中分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的主要困難，又展現(xiàn)了通用性好、復(fù)雜度低的優(yōu)勢(shì)。通過(guò)對(duì)一維及三維算例解析、數(shù)值結(jié)果之間的對(duì)比，初步證實(shí)了改進(jìn)方案的可行性和有效性。

輔助微分方程; 時(shí)域有限差分法; 色散媒質(zhì); 帕德近似法

實(shí)驗(yàn)測(cè)量證實(shí)：生物組織、大地、巖石、水、液晶、聚合物材料等眾多媒質(zhì)的電參數(shù)展現(xiàn)了頻率相關(guān)性(這些媒質(zhì)稱作電色散媒質(zhì))；不同媒質(zhì)還可能展現(xiàn)不同的電色散特性[1-2]。至今已提出好幾種經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｐ鸵悦枋霾煌碾娚⑻匦?，一般可概括為兩大類型[3]：第一大類主要有Debye模型[4](如人體組織、等離子體、土壤)、Drude模型[5](如等離子體、金屬)和Lorentz模型[2](如光學(xué)材料、人工介質(zhì))，其共性在于：媒質(zhì)的(復(fù))介電常數(shù)是jω(j表示虛數(shù)單位，ω表示角頻率)整數(shù)次冪的函數(shù)[3]；第二大類主要包含Cole-Cole(C-C)模型[6-8](如生物組織、高分子材料)、Davidson-Cole(D-C)模型[3](如甘油、丙二醇)和Havriliak-Negami(H-N)模型[9](如聚合物)，其共性在于：媒質(zhì)的(復(fù))介電常數(shù)是jω分?jǐn)?shù)次冪的函數(shù)[3]。后文將以不同媒質(zhì)對(duì)應(yīng)的色散模型(或所屬大類)命名以區(qū)分不同的媒質(zhì)類型(如稱色散特性滿足C-C模型的媒質(zhì)為C-C媒質(zhì))。

近幾年來(lái)，由于媒質(zhì)的色散特性引起了較多關(guān)注[10-11]，相應(yīng)地，F(xiàn)DTD法的解算對(duì)象已由常規(guī)的非色散媒質(zhì)[12]拓展到色散媒質(zhì)[6,13]。

FDTD建模第一大類(Debye、Drude、Lorentz)媒質(zhì)，已發(fā)展了多種方法，主要有3種思路：1) 引入ADE[2,7-9]；2) 利用遞歸卷積(recursive convolution, RC)[2,13]；3) 定義移位算子(shift operator, SO)[2,14]。

然而，F(xiàn)DTD建模第二大類(C-C、D-C、H-N)媒質(zhì)，仍是當(dāng)前的難點(diǎn)之一，其主要困難是差分實(shí)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[3]。對(duì)此，文獻(xiàn)[15]進(jìn)行了一系列開創(chuàng)性的基礎(chǔ)工作：利用帕德(Padé)近似法，導(dǎo)出了一組整數(shù)階ADEs，克服了分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)困難，分別提出了處理(無(wú)磁、線性、各向同性的)單極、多極C-C媒質(zhì)[7-8]、單極D-C媒質(zhì)[3]和單極H-N媒質(zhì)[9]的FDTD方案；一維的系列仿真結(jié)果初步證實(shí)了這些方案的可行性[7-9]。文獻(xiàn)[6]給出了建模多極C-C媒質(zhì)的FDTD改進(jìn)方案和三維的仿真測(cè)試。

為了增加通用性和降低復(fù)雜度，方便統(tǒng)一編程處理不同類型色散媒質(zhì)的電波傳播問(wèn)題，本文主要以文獻(xiàn)[7-9]為基礎(chǔ)，提出了一種FDTD改進(jìn)方案，創(chuàng)新(改進(jìn))之處主要體現(xiàn)在：1) 從單極色散媒質(zhì)推廣到多極情形；2) 從無(wú)磁媒質(zhì)推廣到有磁情形；3) 增加了靜態(tài)電導(dǎo)率項(xiàng)；4) 增加了三維數(shù)值算例檢驗(yàn)該方案的性能和精度。

1 問(wèn)題描述

首先給出后文滿足的假設(shè)條件和必要的符號(hào)說(shuō)明：1) 假設(shè)所研究的色散媒質(zhì)是各向同性、線性、有磁和電色散的，該假設(shè)條件經(jīng)常應(yīng)用于地球物理勘探、微波醫(yī)學(xué)成像、紅外與毫米波技術(shù)等領(lǐng)域[1-5]；2) 符號(hào)頂部加點(diǎn)表示其值為復(fù)數(shù)。

若問(wèn)題空間r處存在一般的(同時(shí)存在電極化損耗和歐姆損耗)多極H-N媒質(zhì)，則頻域本構(gòu)關(guān)系為：

式中，D˙和E˙分別表示電位移矢量和電場(chǎng)強(qiáng)度矢量；ω = 2πf，f為頻率；ε0為真空介電常數(shù)；多極H-N媒質(zhì)的相對(duì)介電常數(shù)定義為[16]：

式中，ε∞為光學(xué)相對(duì)介電常數(shù)；σs為靜態(tài)電導(dǎo)率；Δεw= εs,w?ε∞；εs,w為第w極的靜態(tài)相對(duì)介電常數(shù)；W為極總數(shù)；第w極的復(fù)值因子wf˙為：

式中，αw(0≤αw≤1)；βw(0≤βw≤1)為第w極色散參數(shù)；wz˙= jωτw(r)；τw表示第w極的弛豫時(shí)間。

本文采用的色散模型是較為通用的形式：1) 當(dāng) W = 1時(shí)，簡(jiǎn)化為單極情形；2) 當(dāng)W = 1且αs= 0時(shí)，簡(jiǎn)化為文獻(xiàn)[9]的式(1)；3) 如果W = 1、αw= 1且σs= 0時(shí)，退化為文獻(xiàn)[3]的式(1)；4) 如果βw= 1且σs= 0時(shí)，退化為文獻(xiàn)[8]的式(1)；5) 如果W = 1、βw= 1且σs= 0時(shí)，變?yōu)槲墨I(xiàn)[7]的式(1)；6) 如果αw= 1且βw= 1時(shí)，變?yōu)镈ebye模型[4]；7) 假如αw= 1、βw= 1且Δεw= 0時(shí)，轉(zhuǎn)化為非色散情形。

2 輔助微分方程(ADEs)

為了克服FDTD方案中分?jǐn)?shù)(αw、βw一般為分?jǐn)?shù))階導(dǎo)數(shù)的困難，首先，借鑒文獻(xiàn)[7-9]的研究思路，利用帕德(Padé)近似法[15]，并由wf˙在wz˙= 1處解析，將wf˙近似為：

式中，N、M分別表示分子、分母多項(xiàng)式的階數(shù)；pn、qm分別表示分子、分母多項(xiàng)式的系數(shù)，可通過(guò)求解線性方程組獲得，相關(guān)細(xì)節(jié)參見文獻(xiàn)[7-9]。

將式(3a)代入式(2a)，易得相對(duì)介電常數(shù)的帕德近似值為：

這樣，相對(duì)介電常數(shù)已全部轉(zhuǎn)化為jω整數(shù)次冪的函數(shù)，有利于后文FDTD方案的討論。

其次，定義第w極(輔助的)頻域電極化強(qiáng)度矢量為：

最后，應(yīng)用傅里葉逆變換(inverse Fourier transform, IFT)，可以得到一組(W個(gè))關(guān)于時(shí)域電極化強(qiáng)度矢量Pw的ADEs為：

其中：

式中，E表示時(shí)域電場(chǎng)強(qiáng)度矢量；t表示時(shí)間。至此，這組輔助微分方程由于包含了整數(shù)階的時(shí)間導(dǎo)數(shù)，可以方便地通過(guò)有限差分法實(shí)現(xiàn)時(shí)間的離散化。

3 時(shí)域有限差分方案

前述電色散媒質(zhì)中，時(shí)域(微分形式)的麥克斯韋(Maxwell)方程組為[8]：

式中，H(為了表達(dá)簡(jiǎn)潔，省略了自變量，下文同)表示磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量H(r,t)；μr表示相對(duì)磁導(dǎo)率，當(dāng)μr= 1時(shí)，媒質(zhì)簡(jiǎn)化為文獻(xiàn)[7-9]的無(wú)磁特例。

在t=iΔt(i和Δt分別表示時(shí)間步的指標(biāo)和步長(zhǎng))時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量Ei，其n階的時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)可通過(guò)中心差分近似為[7-9]：

式中，l=n/2表示對(duì)n/2上取整；Qnm為中心差分參數(shù)[6-9]；Pw的中心差分近似可類似地獲得。至此，就實(shí)現(xiàn)了式(5)的FDTD時(shí)間離散化。

文獻(xiàn)[9]顯示，欲使FDTD方案穩(wěn)定，需滿足N≤M。為了簡(jiǎn)化描述，假定M = N(其原因后文給出)，則有l(wèi)M=lN。進(jìn)一步假定已知iΔt時(shí)刻的Pw、E和(i+0.5)Δt時(shí)刻的H，分別差分式(8)～式(9)，并引入輔助矢量Φw[8]，經(jīng)過(guò)整理，多極H-N媒質(zhì)的FDTD時(shí)間迭代步進(jìn)方案可簡(jiǎn)述如下：

1) 計(jì)算輔助矢量為：

其中：

式中，k = ?lM,?lM+1,…,lM；ν = max{2|k|?1,0}。

2) 更新(i+1)Δt時(shí)刻的電場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：

3) 更新(i+1)Δt時(shí)刻的電極化強(qiáng)度矢量為：

4) 更新(i+1.5)Δt時(shí)刻的磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量為：

前述FDTD方案中，對(duì)于每個(gè)離散的網(wǎng)格，每個(gè)場(chǎng)分量的存儲(chǔ)量為M(W+1)+W，磁場(chǎng)以外的計(jì)算時(shí)間(乘法運(yùn)算次數(shù))為(2M+1)W+3，當(dāng)W=1時(shí)與文獻(xiàn)[9]的結(jié)果相同。

該FDTD方案的時(shí)間迭代步進(jìn)流程(技術(shù)路線)如圖1所示[6]。

圖1 FDTD時(shí)間迭代步進(jìn)流程圖

4 結(jié)果與討論

由于前述FDTD方案中采用了帕德(Padé)近似，下面首先檢驗(yàn)帕德近似的精度。

4.1 帕德近似的精度

定義帕德近似的相對(duì)均方(relative mean square, RMS)誤差為[3,7]：

式中，媒質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)的解析值ε˙r和Padé近似值ε˙?r可分別通過(guò)式(2a)和式(3b)求得；fH、fL分別表示上、下限頻率。

算例 1 以文獻(xiàn)[9]中的均勻單極H-N媒質(zhì)(聚丙烯酸正辛酯，聚丙烯酸的一種衍生物)為測(cè)試目標(biāo)，各模型參數(shù)分別為W = 1、ε∞= 2.61、σs= 0.001 S/m、εs,1= 3.88、τ1= 39.98 ps、α1= 0.73、β1= 0.66。上、下限頻率分別取為fH= 100 GHz、fL= 10 MHz，分母多項(xiàng)式的階數(shù)取為M = 3,4,…,10，分子多項(xiàng)式階數(shù)分別取為N = M、N = M?1和N = M?2時(shí)，帕德近似的相對(duì)均方誤差e隨M的變化關(guān)系如圖2所示(誤差軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，后文同)，其中當(dāng)M=3、4、5、6時(shí)，本文的誤差與文獻(xiàn)[9]的誤差對(duì)比如表1所示。

圖2 算例1相對(duì)均方誤差隨M的變化關(guān)系

表1 相對(duì)均方誤差隨N、M的變化關(guān)系

分析圖2發(fā)現(xiàn)：1) 當(dāng)M相同時(shí)，在N = M、N = M?1、N = M?2的3種情形下，第一種情形誤差最小，這正是前文討論FDTD時(shí)間步進(jìn)方案時(shí)選取N = M的依據(jù)；2) 在N = M、N = M?1、N = M?2的3種情形下，隨著M的增加，誤差均逐漸減小(然而，實(shí)現(xiàn)FDTD方案所需的存儲(chǔ)量M(W+1)+W和計(jì)算時(shí)間(2M+1)W+3也同時(shí)增加，建議折中選擇M、N)。

結(jié)合表1可知：1) 在表中所列舉的12種情形下，本文的誤差均略大于文獻(xiàn)[9]的誤差(適當(dāng)增加離散頻點(diǎn)數(shù)可使二者相當(dāng))，因此，文獻(xiàn)[9]的單極情形可視為本文改進(jìn)方案的一個(gè)特例；2) 當(dāng)N = M = 4時(shí)，本文的誤差約為0.003 6，不僅計(jì)算精度能被一般的工程應(yīng)用所接受，而且計(jì)算速度比較適中。

算例 2 (為不失一般性)選取一種2極(即W=2)的均勻H-N媒質(zhì)為測(cè)試目標(biāo)，其余模型參數(shù)分別為ε∞= 2.61、σs= 0.01 S/m、εs,1= 3.88、εs,2= 3.50、τ1= 39.98 ps、τ2= 29.98 ns、α1= 0.73、α2= 0.80、β1= 0.66、β2= 0.70。頻率上、下限及多項(xiàng)式的階數(shù)均與算例1相同，相對(duì)均方誤差e隨M的變化關(guān)系如圖3所示。

由圖3可見：對(duì)于多極H-N媒質(zhì)，也有類似于算例1(單極情形)的結(jié)果，只是誤差略微增加。當(dāng)N = M = 4時(shí)，相對(duì)均方誤差約為0.004 3，還能滿足一般的工程應(yīng)用需求，因此，在后文的FDTD方案中，多項(xiàng)式的階數(shù)也默認(rèn)這組取值。4.2 FDTD方案的可行性

圖3 算例2相對(duì)均方誤差隨M的變化關(guān)系

為了檢驗(yàn)前述FDTD改進(jìn)方案的可行性，再給出兩個(gè)算例，選擇算例基于以下考慮：1) 問(wèn)題空間涵蓋不同物理維度；2) 色散媒質(zhì)涵蓋不同類型；3) 媒質(zhì)涵蓋不同極數(shù)；4) 色散模型參數(shù)涵蓋文獻(xiàn)作者自擬和真實(shí)測(cè)量；5) 測(cè)試采用不同類型目標(biāo)參數(shù)。

算例 3 出自文獻(xiàn)[3]的一維問(wèn)題：?jiǎn)螛O均勻無(wú)磁D-C媒質(zhì)(媒質(zhì)參數(shù)分別為W = 1、μr= 1、ε∞= 2、σs= 0 S/m、εs,1= 50、τ1= 153 ps、β1= 0.9和α1= 1.0)充滿z≥0半空間，其余空間為真空；一列入射平面波(電場(chǎng)沿x方向極化)沿+z方向傳播，平面波由下述的超寬帶(ultra-wideband, UWB)調(diào)制高斯脈沖源s激勵(lì)產(chǎn)生[3]：

式中，參數(shù)a =1.26×1010s?1，中心頻率fc= 6 GHz，該脈沖的頻譜主要涵蓋0.1～10 GHz頻率范圍。

FDTD離散化的空間、時(shí)間步長(zhǎng)分別取為Δz = 1.1 mm、Δt = 1.5 ps，離散網(wǎng)格數(shù)、時(shí)間步數(shù)分別取為nz= 200、nt= 3 000。仿真區(qū)域?z一側(cè)采用簡(jiǎn)單的吸收邊界：Ex(zmax, t+Δt) = Ex(zmax?Δz, t)，其中zmax表示對(duì)應(yīng)的邊界位置坐標(biāo)。

記z、z+d分別表示D-C媒質(zhì)中的兩個(gè)不同位置，F(xiàn)DTD仿真并且存儲(chǔ)這兩處的時(shí)域電場(chǎng)Ex(z, t)、Ex(z+d, t)，后處理(傅里葉變換)獲得相應(yīng)的頻域電場(chǎng)E˙x(z, ω)、E˙x(z+d, ω)，則色散媒質(zhì)相對(duì)介電常數(shù)的FDTD估計(jì)值為[3,7]：

式中，c0表示真空光速；參數(shù)γR、γI分別為：

選取d = 20Δz時(shí)，復(fù)值相對(duì)介電常數(shù)實(shí)部和負(fù)虛部的解析值、Padé近似值、FDTD估計(jì)值隨頻率的變化關(guān)系如圖4所示(頻率軸為對(duì)數(shù)坐標(biāo)，后文同)。

從圖4可以看出，在UWB條件下，以一維問(wèn)題的相對(duì)介電常數(shù)為測(cè)試目標(biāo)，其FDTD估計(jì)值和Padé近似值或解析值之間差異不大(實(shí)際結(jié)果顯示相對(duì)均方誤差均小于1%)；再與文獻(xiàn)[3]中圖4a的結(jié)果對(duì)比發(fā)現(xiàn)，二者也基本保持一致，因此，文獻(xiàn)[3]的單極情形可視為本文改進(jìn)方案的又一個(gè)特例。

圖4 復(fù)值相對(duì)介電常數(shù)隨頻率的變化關(guān)系

算例 4 選取一個(gè)更具代表性的三維問(wèn)題：計(jì)算空氣(視為真空)中均勻4極C-C弱磁性介質(zhì)球的后向雷達(dá)散射截面(radar cross section, RCS)[2]，球半徑為50 mm，由浸潤(rùn)型脂類組織構(gòu)成，其模型參數(shù)(源于實(shí)驗(yàn)測(cè)量[17])分別為ε∞= 2.5、σs= 0.035 S/m、Δε1= 9.0、Δε2= 35、Δε3= 3.3×104、Δε4= 1.0×107、τ1= 7.96 ps、τ2= 15.92 ns、τ3= 159.15 μs、τ4= 15.915 ms、β1= 0.80、β2= 0.90、β3= 0.95、β4= 0.99；其余模型參數(shù)分別為μr= 1.2、W = 4、α1= α2= α3= α4= 1.0；采用的入射平面波與算例3相同。

FDTD離散化的空間網(wǎng)格尺寸、時(shí)間步長(zhǎng)分別取為Δ = Δx= Δy= Δz= 3 mm、Δt = Δ/(2.c0)，離散獲得的網(wǎng)格數(shù)、時(shí)間步數(shù)分別為n = 50×50×50、nt= 5 000。主FDTD區(qū)域周圍用10層卷積完全匹配層(convolution perfectly matched layer, CPML)[2]吸收邊界截?cái)唷?/p>

作為比較，RCS的解析值由Mie級(jí)數(shù)法[2]獲得，兩種方法的計(jì)算結(jié)果對(duì)比如圖5所示。

通過(guò)圖5發(fā)現(xiàn)，在較寬泛的頻率范圍，以三維吸波介質(zhì)球的后向RCS為測(cè)試目標(biāo)，其FDTD估計(jì)值和解析值仍然符合較好(結(jié)果顯示，相對(duì)均方誤差較一維情形有所增加，原因可能是網(wǎng)格剖分粗糙所致，有望通過(guò)先進(jìn)的網(wǎng)格剖分技術(shù)進(jìn)一步減小誤差[2])。

綜合以上4個(gè)算例可看出，利用前述FDTD改進(jìn)方案模擬UWB電磁波在C-C、D-C、H-N等幾類電色散媒質(zhì)中傳播，估計(jì)相對(duì)介電常數(shù)、后向雷達(dá)散射截面所產(chǎn)生的誤差，一般的工程應(yīng)用可以接受。這些仿真結(jié)果初步證實(shí)，利用本文發(fā)展的FDTD方案，模擬一般電色散媒質(zhì)中的電波傳播是可行的。

圖5 介質(zhì)球后向雷達(dá)散射截面隨頻率的變化關(guān)系

5 結(jié) 束 語(yǔ)

本文改進(jìn)了文獻(xiàn)[7-9]提出的FDTD方案，改進(jìn)后的方案具有適用范圍廣、實(shí)現(xiàn)復(fù)雜度低等優(yōu)勢(shì)，適用于統(tǒng)一處理射頻、微波、紅外和毫米波等工程中一般電色散媒質(zhì)的電波傳播問(wèn)題，媒質(zhì)可以是一維或多維的、單極或多極的、無(wú)磁或有磁的。算例的初步結(jié)果顯示，在超寬帶頻譜范圍，該方案具有較高的數(shù)值精度。該方案的魯棒性還需經(jīng)歷實(shí)驗(yàn)測(cè)量、噪聲影響等因素的檢驗(yàn)。

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編 輯 黃 莘

Improved FDTD Scheme Based on Padé Approximant Method for Modeling of Wave Propagation in General Dispersive Media

LIU Guang-dong

(School of Physical and Electronic Engineering, Fuyang Normal College Fuyang Anhui 236037)

A modified finite-difference time-domain (FDTD) scheme is developed to simulate wave propagation in different electrically dispersive media with isotropic, linear and magnetic properties. The presented scheme is applicable to several types of general frequency-dependent media such as Havriliak-Negami (H-N), Davidson-Cole (D-C), Cole-Cole (C-C), Debye dispersive media or nondispersive media, which are lossless or lossy, with single pole or multiple relaxation times. The main difficulty in this scheme is the appearance of fractional derivatives. Based on the Padé approximant method, a set of auxiliary differential equations (ADEs) of integer order are derived. Thus, this difficulty is circumvented, and its advantage in universality and complexity is also exhibited. The feasibility and validity of the presented scheme are preliminarily demonstrated by the comparisons between analytic and numerical results from several one-dimensional (1-D) and three-dimensional (3-D) examples.

auxiliary differential equation (ADE); finite-difference time-domain (FDTD) method; frequency-dependent media; Padé approximant method

O441.4

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.06.009

2014 ? 05 ? 30；

2015 ? 06 ? 11

國(guó)家自然科學(xué)基金(51271059)；安徽省教育廳自然科學(xué)研究重點(diǎn)項(xiàng)目(KJ2014A193)；安徽省科技計(jì)劃(12010302080, 1501031114)

劉廣東(1972 ? )，男，博士，副教授，主要從事電磁散射和逆散射方面的研究.