計(jì)算光柵零級(jí)衍射場(chǎng)的模態(tài)層吸收法

鄧 浩，陳樹強(qiáng)，馬 磊

計(jì)算光柵零級(jí)衍射場(chǎng)的模態(tài)層吸收法

鄧 浩，陳樹強(qiáng)，馬 磊

(電子科技大學(xué)物理電子學(xué)院 成都 610054)

通過將嚴(yán)格耦合波分析的傅里葉展開過程與一種差分技術(shù)——層吸收法(SAM)的高斯消元迭代過程相結(jié)合，實(shí)現(xiàn)對(duì)任意復(fù)雜光柵零級(jí)衍射場(chǎng)的計(jì)算。在滿足精度要求條件下，如果SAM所需網(wǎng)格數(shù)小于RCWA所需階梯近似層數(shù)的兩倍左右，SAM更高效；對(duì)于示例結(jié)構(gòu)，相對(duì)于RCWA，SAM最高可以減少40%的計(jì)算時(shí)間。因此該方法具有輔助應(yīng)用于集成電路納米量級(jí)微結(jié)構(gòu)分析/測(cè)試的價(jià)值。

衍射; 光柵; 測(cè)試; 嚴(yán)格耦合波分析; 層吸收法

光柵衍射場(chǎng)的模擬計(jì)算對(duì)于光柵、光子晶體等周期結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)與分析[1-3]都具有重要意義。同時(shí)，在半導(dǎo)體微電子制造產(chǎn)業(yè)的計(jì)量領(lǐng)域，尤其是集成電路結(jié)構(gòu)的分析/測(cè)試中，零級(jí)衍射場(chǎng)的模擬計(jì)算同樣有著廣泛的應(yīng)用[4]。對(duì)于集成電路中普遍周期性結(jié)構(gòu)的實(shí)際測(cè)量，模擬計(jì)算的效率是一個(gè)十分關(guān)鍵的因素。光柵結(jié)構(gòu)的模擬計(jì)算方法一般分為標(biāo)量衍射模型與矢量衍射模型。標(biāo)量衍射模型計(jì)算速度快，適用于大尺寸微米量級(jí)周期結(jié)構(gòu)的分析測(cè)量。但是隨著半導(dǎo)體產(chǎn)業(yè)持續(xù)往更先進(jìn)的技術(shù)節(jié)點(diǎn)邁進(jìn)，工程實(shí)際中對(duì)模擬計(jì)算的精度要求也不斷提高，矢量衍射模型逐漸成為主流。其中，基于傅里葉空間展開實(shí)現(xiàn)的RCWA[5]是應(yīng)用最成熟、廣泛的方法。RCWA非常適合于垂直側(cè)壁一維光柵結(jié)構(gòu)的衍射模擬，對(duì)于任意形貌的復(fù)雜周期結(jié)構(gòu)則往往需要通過階梯近似技術(shù)采用傳輸矩陣法計(jì)算[6]。階梯近似的多層劃分對(duì)于RCWA的效率影響較大，一些改進(jìn)的方法有基于坐標(biāo)變換的C-RCWA[7]、基于快速傅里葉分解(FFF)的微分算法[8]、基于微擾近似的P-RCWA[9]等。但是它們的應(yīng)用往往具有局限性，坐標(biāo)變換技術(shù)難以處理復(fù)雜邊界的多層周期結(jié)構(gòu)，P-RCWA則僅能處理側(cè)壁變化微小的光柵結(jié)構(gòu)。其中，F(xiàn)FF微分算法雖然是一種更嚴(yán)格的滿足3個(gè)傅里葉分解原則的通用方法[8]，但是其矩陣計(jì)算階次通常為RCWA的兩倍，同時(shí)對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)的垂直矢量場(chǎng)的構(gòu)造(尤其是二維光柵)較為困難且耗時(shí)。

另一方面，上述微分方法不可避免地需要計(jì)算特征值這一耗時(shí)問題，一些非特征值求解方法如Rayleigh法則局限于深寬比在特定范圍的結(jié)構(gòu)。因此，傅里葉空間的層吸收法(SAM)成為本文研究的出發(fā)點(diǎn)[10]?；诓罘只膶?shí)空間或傅里葉空間麥克斯韋旋度方程，針對(duì)時(shí)諧電磁場(chǎng)問題，文獻(xiàn)[10]提出了一種高斯消元計(jì)算方法——SAM。其核心思想是通過引入差分矩陣算子，得到沿光柵側(cè)壁方向網(wǎng)格化后的二階差分方程組；該二階方程組的系數(shù)矩陣(又稱波動(dòng)矩陣)是一個(gè)三對(duì)角元矩陣，從而可以采用高斯消元將網(wǎng)格方程逐個(gè)消去，最后結(jié)合邊界條件得到待求位置處電磁場(chǎng)問題的解。但是原始的SAM相對(duì)于RCWA過程繁瑣，矩陣階次也過大，而且目前只是少量應(yīng)用于微米量級(jí)光子晶體分析中。本文結(jié)合RCWA與SAM的計(jì)算特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)納米量級(jí)任意光柵結(jié)構(gòu)的模擬計(jì)算。

1 基本方法

圖1為任意角度入射光投射到一維光柵平面的示意圖。入射光源Einc從覆蓋層(通常為空氣)照射到光柵，其空間入射模型特性由3個(gè)角度限定：入射角θ(0°≤θ＜ 90°)、方位角φ(0°≤φ＜360°)、偏振角ψ(0°≤ψ＜360°)。當(dāng)Einc垂直于入射平面，即ψ=90°或270°時(shí)為TE偏振；當(dāng)Einc平行于入射平面，即ψ=0°或180°時(shí)為TM偏振。Λ為光柵周期，電磁衍射模擬問題區(qū)域被劃分為：覆蓋層(折射率為nc)、光柵區(qū)域(折射率為n)、襯底層(折射率為nsub)。

圖1 任意角度入射光入射一維光柵平面示意圖

如果光柵區(qū)域?yàn)槿我鈴?fù)雜光柵結(jié)構(gòu)，則可以采用階梯近似技術(shù)將光柵區(qū)域劃分為多個(gè)小層，如圖2所示，其中i為各小層的層標(biāo)(i=1～I(xiàn))。整個(gè)問題區(qū)域滿足弗洛奎特條件，其一維平面衍射為：

式中，m是x方向的衍射階次；k0=2π/λ0是自由空間中的波矢大小(λ0為自由空間中入射光波長)；kxm是沿x方向的第m階諧波波矢大小；,lzmk是覆蓋層與襯底層沿z方向的第m階諧波波矢大小。

圖2 任意光柵結(jié)構(gòu)的階梯近似剖面示意圖

1.1 平面衍射：TE偏振入射

對(duì)于一維周期結(jié)構(gòu)TE偏振入射的平面衍射情況，其入射場(chǎng)為：

根據(jù)RCWA的傅里葉空間展開原則[11]，覆蓋層與襯底層的衍射場(chǎng)可以表示為：

光柵區(qū)域的場(chǎng)量為：

因此，將式(5)～式(6)代入麥克斯韋旋度方程，可以得到光柵區(qū)域傅里葉空間的微分旋度方程。如果按照?qǐng)D3的梯近似多層結(jié)構(gòu)Yee式網(wǎng)格模型，對(duì)該旋度方程差分化，則可進(jìn)一步得到光柵區(qū)域各網(wǎng)格的一階差分旋度方程：

式中，j為網(wǎng)格標(biāo)號(hào)(1≤j＜≤Ji)；Di為對(duì)角元為1/Δzi′ =1/(k0Δzi)的對(duì)角矩陣；Δzi為第i層的空間步長；Kx為以kxm/k0為對(duì)角元的對(duì)角矩陣；為光柵區(qū)域第i層第j網(wǎng)格處電場(chǎng)/磁場(chǎng)的傅里葉系數(shù)向量；Ei為第i層的介電系數(shù)函數(shù)對(duì)應(yīng)的托普利茲矩陣(其中)。雙介質(zhì)周期結(jié)構(gòu)(介質(zhì)1折射率為n1，介質(zhì)2折射率為n2)的介電系數(shù)函數(shù)εi(x)的傅里葉系數(shù)為：

式中，f為介質(zhì)2的寬度在第i層占據(jù)單位周期長度的比值(占空比)；f1、f2為介質(zhì)2的上下側(cè)占空比。

圖3 階梯近似多層結(jié)構(gòu)各層的Yee式網(wǎng)格模型

此時(shí)，根據(jù)一階差分旋度方程式(7)～式(8)，可以給出第i?1層最后一個(gè)網(wǎng)格(j=Ji?1)的差分旋度方程與第i層第1個(gè)網(wǎng)格的旋度方程，并綜合此兩組方程可得到第i層的上邊界網(wǎng)格差分波動(dòng)方程：

令ai=, ai,1=DiDi-1, bi,1=??DiDi-1?Ai，則第i層的上邊界網(wǎng)格波動(dòng)方程可以改寫為：

并且，根據(jù)一階差分旋度方程式(7)～式(8)，可以得到第i層內(nèi)非上邊界網(wǎng)格的重復(fù)網(wǎng)格差分波動(dòng)方程：

式中，Ai=。且定義系數(shù)矩陣bi=?Ai，則第i層內(nèi)的重復(fù)網(wǎng)格差分波動(dòng)方程可以改寫為：

至此光柵區(qū)域非覆蓋層、襯底層邊界位置的各網(wǎng)格差分波動(dòng)方程均已給出。

圖4 TE偏振平面衍射的全場(chǎng)/散射場(chǎng)模型

覆蓋層、襯底層邊界處的網(wǎng)格差分波動(dòng)方程則通過全場(chǎng)/散射場(chǎng)模型[10]與傳輸邊界條件(全稱TBC)給出，如圖4所示。TE偏振入射時(shí)，電場(chǎng)源Einc,y設(shè)置在覆蓋層第0網(wǎng)格處。此時(shí)綜合覆蓋層第?1網(wǎng)格的旋度差分方程(散射場(chǎng)內(nèi))與覆蓋層第0網(wǎng)格的旋度差分方程(散射場(chǎng)內(nèi))，并加入TBC邊界條件，可以得到第0格的差分波動(dòng)方程：

式中，b0=是TBC邊界條件定義下的對(duì)角矩陣；；f1sy,src是Einc,y的傅里葉系數(shù)組成的列向量[… 0 1 0 …]T。

綜合覆蓋層第0網(wǎng)格的旋度差分方程(散射場(chǎng)內(nèi))與階梯近似第1層第1網(wǎng)格的旋度差分方程(全場(chǎng)內(nèi))，可以得到階梯近似第1層第1網(wǎng)格的差分波動(dòng)方程(包括兩個(gè)形式)：

或

式中，1,srcuxf為Einc,y對(duì)應(yīng)磁場(chǎng)源的傅里葉系數(shù)的列向量[…0 ?jcosθ 0 …]T。式(16)的右側(cè)源比式(17)右側(cè)源包含了更多的近似。

襯底層與光柵區(qū)域邊界只需考慮TBC邊界條件，階梯近似第I層第JI格(最后一格)的波動(dòng)方程為：

式中，bI,JI=bI+aIZtrn，Ztrn是TBC邊界條件定義下的對(duì)角矩陣。

最后，從覆蓋層到襯底層逐網(wǎng)格排列出一個(gè)線性方程組(依次包括：式(15)、式(16)、式(17)、式(12)、式(14)、式(18))，最終可以寫成一個(gè)形如式(22)的塊矩陣波動(dòng)方程。其中，f1、f2根據(jù)式(15)、式(16)、式(17)可以表示為兩種形式：

塊矩陣波動(dòng)方程的左側(cè)波動(dòng)矩陣即為層吸收法所需建立3對(duì)角元矩陣，如式(22)所示。該塊矩陣波動(dòng)方程由逐網(wǎng)格波動(dòng)方程組成，各網(wǎng)格波動(dòng)方程來源于鄰近兩個(gè)網(wǎng)格的一階差分旋度方程。這樣的構(gòu)造過程避免了層吸收法所需的矩陣重排序(Reordering)步驟，同時(shí)能直接的應(yīng)用RCWA算法中微分波動(dòng)方程的矩陣形式：

對(duì)于TM偏振入射平面衍射與二維光柵的衍射問

題，直接應(yīng)用收斂性改進(jìn)研究方面的各類矩陣形式[9-10]，對(duì)改進(jìn)層吸收法的收斂同樣有效。

1.2 平面衍射：TM偏振入射

對(duì)于TM偏振入射，其入射場(chǎng)可以表示為：類似TE偏振入射，可以最終寫成如下的磁變量的塊矩陣方程：

式(24)給出的波動(dòng)方程對(duì)應(yīng)的全場(chǎng)/散射場(chǎng)模型與TE偏振入射有所區(qū)別，它的源Hinc,y應(yīng)設(shè)置在覆蓋層第?1網(wǎng)格處(U?′1)，如圖5所示，這樣才能保證f1、f2可以對(duì)類似式(19)與式(20)這兩種形式的源都適用。對(duì)于TM偏振入射，f1、f2為：

式中，f1uy,src的向量形式與TE偏振情況中f1sy,src一致，f1sx,src與TE偏振情況中f1ux,src一致。如果Hinc,y設(shè)置在覆蓋層第0網(wǎng)格處，則只有式(23)適用。

圖5 TM偏振平面衍射的全場(chǎng)/散射場(chǎng)模型

2 層吸收原理

對(duì)于連續(xù)的3個(gè)網(wǎng)格方程(k?1、k、k+1)，可以實(shí)現(xiàn)如下消元過程：

同時(shí)從式(22)、式(24)給出的矩陣方程形式，可以看出階梯近似層內(nèi)，如果網(wǎng)格數(shù)很多，則會(huì)存在大量的重復(fù)網(wǎng)格方程，從而可以層內(nèi)采用串聯(lián)倍速算法(cascading and doubling algorithm)[10]對(duì)其實(shí)現(xiàn)加速。反射場(chǎng)傅里葉系數(shù)向量R可以通過如下方程得到：

式中，0β、0α、Jα、Jβ是對(duì)塊矩陣波動(dòng)方程完成所有層吸收消元后的系數(shù)矩陣。

3 數(shù)值示例

根據(jù)傅里葉空間的層吸收法，計(jì)算一個(gè)如圖1所示垂直側(cè)壁雙介質(zhì)光柵。

示例 1 垂直側(cè)壁雙介質(zhì)光柵(如圖1所示)的襯底材料為硅，光柵的雙介質(zhì)材料為空氣/硅(介質(zhì)2)，覆蓋層為空氣，周期為500 nm，光柵區(qū)域厚度為500 nm，介質(zhì)2的占空比為0.5，入射角θ=10°，方位角為φ=0°，入射波長范圍為190～1 000 nm。圖6為TE/TM偏振入射兩種情況分別與RCWA結(jié)果比較的零級(jí)反射譜。本文的數(shù)值示例統(tǒng)一設(shè)以±12為計(jì)算的傅里葉展開截?cái)嚯A次，數(shù)值收斂判定條件為均方差σ＜10?3。由圖中可以看出，當(dāng)數(shù)值結(jié)果穩(wěn)定收斂時(shí)，傅里葉空間層吸收法在TE/TM偏振入射下的零級(jí)反射譜與RCWA結(jié)果完全吻合。示例1采用了串聯(lián)倍速算法，網(wǎng)格數(shù)為194，計(jì)算時(shí)間幾乎為RCWA的兩倍。因此，對(duì)于垂直側(cè)壁RCWA比SAM的計(jì)算效率更高；只有考慮RCWA所需階梯近似層數(shù)與SAM所需光柵區(qū)域總網(wǎng)格數(shù)相差不大的結(jié)構(gòu)，SAM才能實(shí)現(xiàn)衍射場(chǎng)的快速計(jì)算。

圖6 示例1在TE/TM偏振入射下，SAM與RCWA的零級(jí)反射譜曲線比較圖

示例 2 雙介質(zhì)對(duì)稱梯形光柵結(jié)構(gòu)(其階梯近似模型如圖2所示)，光柵區(qū)域厚度為800 nm，梯形光柵的上下側(cè)占空比分別為0.1、0.6，其余參數(shù)與示例1相同。在滿足收斂條件(σ＜10?3，且最大絕對(duì)誤差δ＜0.002)下，SAM與RCWA的TE偏振入射零級(jí)反射譜比較如圖7所示。對(duì)于示例2，SAM需要?jiǎng)澐?57個(gè)網(wǎng)格，所需計(jì)算時(shí)間約為74.3 s；RCWA需要41個(gè)階梯近似層，所需時(shí)間約為47.5 s。因此對(duì)于層厚較厚的光柵SAM的計(jì)算效率并不占優(yōu)勢(shì)。表1給出了改變示例2厚度、占空比的其他梯形光柵(其余參數(shù)相同)的計(jì)算時(shí)間比較，收斂條件均為σ＜10?3且δ＜0.002?？梢钥闯?，對(duì)于薄層且傾斜度(f2:f1)較大的結(jié)構(gòu)SAM可能獲得潛在的效率優(yōu)勢(shì)(陰影部分?jǐn)?shù)據(jù))。

圖7 示例2在TE偏振入射下，SAM與RCWA的零級(jí)反射譜曲線比較圖

示例3與示例2是相似的對(duì)稱梯形光柵結(jié)構(gòu)，但是其襯底材料為鉻。圖8～圖10基于示例3給出了單獨(dú)改變厚度、占空比(1f、2f)、周期的3個(gè)幾何參數(shù)所對(duì)應(yīng)的兩種算法計(jì)算時(shí)間曲線?？梢钥闯龊穸扰c占空比的改變對(duì)RCWA/SAM的相對(duì)計(jì)算效率影響較大。如圖8所示，對(duì)于傾斜度較大(f1=0.1, f2=0.8)的結(jié)構(gòu)，厚度較小(小于380 nm)時(shí)，往往SAM更高效(d=140、160 nm時(shí)例外)，其效率最高提升約40%，絕對(duì)計(jì)算時(shí)間最多減少約17 s。如圖9所示，對(duì)于薄層(d=100 nm)結(jié)構(gòu)，保持f1=0.1時(shí)，f2越大SAM效率越高，但是保持f2=0.1、f1增加時(shí)，SAM相對(duì)于RCWA不具效率優(yōu)勢(shì)，因此傾斜度較大情況，RCWA/SAM的相對(duì)效率還需考慮光柵區(qū)域折射率分布的影響。特別的對(duì)于1f與2f接近的結(jié)構(gòu)，RCWA效率極高，示例3在1f=2f=0.1時(shí)，不采用串聯(lián)倍速算法的SAM需要約21 s，采用串聯(lián)倍速算法的SAM需要約3 s，而RCWA僅需要約1.5 s，因此傾斜度較小結(jié)構(gòu)，SAM不具效率優(yōu)勢(shì)。如圖10所示，對(duì)于示例3薄層傾斜度較大(d=100 nm, f1=0.1, f2=0.8)情況，周期對(duì)RCWA/SAM的相對(duì)計(jì)算效率影響較小，SAM效率最高提升約42%，絕對(duì)計(jì)算時(shí)間最多減少約14 s。相同計(jì)算平臺(tái)上(本文數(shù)值結(jié)果均基于Inter E31280處理器/MKL代數(shù)庫/Matlab數(shù)值軟件)對(duì)于同等規(guī)模的問題(傅里葉展開截?cái)酁椤?2)，RCWA/SAM的計(jì)算時(shí)間與階梯近似層數(shù)/網(wǎng)格數(shù)滿足如圖11所示的線性關(guān)系。因此相同收斂條件下對(duì)于該類光柵結(jié)構(gòu)，如果SAM所需網(wǎng)格數(shù)小于RCWA所需階梯近似層數(shù)的2倍左右，SAM更高(圖11中，trcwa(40)約需45.2 s，而tsam(80)約僅需37.2 s)。

表1 改變示例2厚度、占空比的RCWA與SAM的計(jì)算時(shí)間比較

以上示例說明，傅里葉空間的SAM在所需網(wǎng)格數(shù)小于RCWA所需階梯近似層數(shù)的2倍左右的情況下，可以實(shí)現(xiàn)相對(duì)于RCWA的更高效計(jì)算，但其應(yīng)用范圍受到光柵幾何參數(shù)、材料特性、入射光源綜合影響。實(shí)際工程應(yīng)用中，可以通過前期模擬分析判斷特定結(jié)構(gòu)下SAM與RCWA的相對(duì)效率，再選擇合適的計(jì)算方式，最后實(shí)現(xiàn)集成電路結(jié)構(gòu)的在線檢測(cè)。此外，SAM避免了RCWA難以并行分解的特征值求解過程，因此相對(duì)于RCWA，它更適合應(yīng)用于并行架構(gòu)的高性能計(jì)算平臺(tái)以進(jìn)一步提高效率，如CPU-GPU架構(gòu)服務(wù)器[13]。

圖8 光柵厚度d對(duì)RCWA與SAM計(jì)算時(shí)間的影響(Λ=500 nm，f1=0.1，f2=0.8)

圖9 占空比(f1或f2)對(duì)RCWA與SAM計(jì)算時(shí)間的影響(d=100 nm，Λ=500 nm)

圖10 光柵周期Λ對(duì)RCWA與SAM計(jì)算時(shí)間的影響(d=100 nm，f1=0.1，f2=0.8)

圖11 RCWA/SAM的計(jì)算時(shí)間與階梯近似層數(shù)/網(wǎng)格數(shù)的線性關(guān)系

4 結(jié) 論

本文通過結(jié)合RCWA的傅里葉展開過程與層吸收法的差分迭代過程，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)任意復(fù)雜形貌光柵零級(jí)衍射場(chǎng)的有效計(jì)算。對(duì)于在給定精度要求下，SAM所需網(wǎng)格數(shù)小于RCWA所需階梯近似層數(shù)兩倍左右的衍射模擬問題，SAM更高效。該方法完全適用于采用RCWA的各類波動(dòng)矩陣形式(本文TM偏振平面衍射應(yīng)用了)，以提高收斂性最終提高效率。本文的數(shù)值示例雖然只是典型結(jié)構(gòu)的模擬計(jì)算，但是該方法對(duì)于任意復(fù)雜周期結(jié)構(gòu)(包括二維結(jié)構(gòu))均具有實(shí)現(xiàn)相對(duì)于RCWA更高效計(jì)算的潛力。由于集成電路結(jié)構(gòu)分析/測(cè)試應(yīng)用中往往對(duì)實(shí)時(shí)性有較高要求，因此該方法具有一定的工程應(yīng)用價(jià)值。傅里葉空間的SAM同樣適用于類似文獻(xiàn)[10]中的大規(guī)模的復(fù)雜光子晶體結(jié)構(gòu)的分析設(shè)計(jì)。

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編 輯 黃 莘

Calculation of Zero-Order Diffraction by Using the Modal Slice Absorption Method for Gratings

DENG Hao, CHEN Shu-qiang, and MA Lei

(School of Physics Electronics, University of Electronic Science and Technology of China Chengdu 610054)

The rigorous couple wave analysis (RCWA) is widely used in structure analysis/testing of integrated circuit (IC), in particular, efficient for gratings with vertical sidewalls. But for a complex grating, its efficiency is reduced due to the staircase approximation. Here we present a rapid calculation method of 0’s order diffraction field for arbitrary grating, which combines RCWA with the slice absorption method (SAM). Under a given accuracy requirement, when the girds needed by SAM are less than double of the staircase approximation slices needed by RCWA, the SAM is more efficient. In the numerical examples, a calculation time up to 40% of RCWA is reduced by SAM. Therefore, SAM could be the auxiliary method to RCWA in the nanoscale IC application.

diffraction; grating; measurements; rigorous couple wave analysis; slice absorption method

O436.1

A

10.3969/j.issn.1001-0548.2015.06.010

2014 ? 01 ? 03；

2015 ? 05 ? 26

國家自然科學(xué)基金(61501094)

鄧浩(1984 ? )，男，博士，主要從事微電子結(jié)構(gòu)光學(xué)測(cè)試技術(shù)方面的研究.