例談初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解

廣東省梅州市梅縣區(qū)憲梓中學(xué) 許素芬

一、教師在教學(xué)中進(jìn)行“一題多解”訓(xùn)練的意義

通過十多年的初中數(shù)學(xué)教學(xué)，我覺得一些數(shù)學(xué)題用幾種方法都能解決。只有平時多講解和總結(jié)，才能鍛煉學(xué)生思維的靈活性，活躍思路，根據(jù)題目給出的已知條件，結(jié)合自身情況，不滿足僅僅得出一道習(xí)題的答案，而去追求更獨(dú)特、更快捷的解題方法；才能幫助學(xué)生靈活地選擇解題切入點(diǎn)，提高綜合思維能力；才能幫助學(xué)生積累解題經(jīng)驗，豐富解題方法，學(xué)會如何綜合運(yùn)用已有的知識不斷提高解題能力；才能讓學(xué)生溝通各知識的內(nèi)涵和外延，深化知識，培養(yǎng)發(fā)散性和創(chuàng)造性思維；才能讓學(xué)生多解歸一，學(xué)習(xí)提煉、分析問題和解決問題的通性、通法，從中擇優(yōu)，培養(yǎng)聚合思維；才能達(dá)到培養(yǎng)中學(xué)生舉一反三的創(chuàng)新能力的目的，使他們不但能解同類題、相似題，甚至從未見過的題。這樣在考試中就能節(jié)省時間，為考取高分提供了保障；就能培養(yǎng)出有綜合分析能力、善于解決問題的人才。

初中學(xué)生思維能力、想像能力、分析問題能力還不是很強(qiáng)，思維具有狹窄性，這就需要教師在平時的教學(xué)中針對教學(xué)目的、重難點(diǎn)等對學(xué)生進(jìn)行多方面的詳細(xì)講解和綜合訓(xùn)練，才能取得預(yù)期的教學(xué)效果。

下面我就教學(xué)中遇到的一些典型例題分析各種解法和教法。

二、一題多解的實(shí)用題型及培養(yǎng)途徑

（一）列方程解應(yīng)用題題型

例1：將進(jìn)價為40元/個的商品按50元/個出售時，就能賣出500個。已知這種商品每個漲價1元，其售量就減少10個。問為了賺得8000元的利潤，售價應(yīng)定為多少？商家為了用最少的成本獲利仍為8000元，應(yīng)怎樣定價？

先幫助學(xué)生理順各個數(shù)量關(guān)系，明確“總利潤＝單件利潤×數(shù)量”。

解法一：直接設(shè)題法。

設(shè)每個商品的售價為x元，則：[500-10（x-50）]（x-40）=8000。解得x1=60, x2=80。因為要獲取同等利潤定價高時進(jìn)商品個數(shù)就少，用的成本就少，故商家為了用最少成本仍獲利為8000元，售價應(yīng)定為80元。

解法二：簡接設(shè)題法。

設(shè)售價提高x元，則：(500-10x)（50+x-40）=8000 解得x1=10,x2=30 所以售價定為50+10=60或者50+30=80，結(jié)論同上。

（二）解直角三角形的邊角關(guān)系題型

例2：河對岸有一高層建筑物AB，為測其高，在C處由點(diǎn)D用測量儀測得頂端A的仰角為30°，向高層建筑物前進(jìn)50米，到達(dá)E處，由點(diǎn)F測得頂點(diǎn)A的仰角為45°，已知測量儀高CD=BF=1.2米，求高層建筑物AB的高。

我引導(dǎo)學(xué)生分析，根據(jù)題意要構(gòu)建直角三角形，所以延長DF與AB交于G，本題涉及到兩個直角三角形Rt△ADG、 Rt△AFG ，利用DF=DG-FGF構(gòu)造方程關(guān)系式，即可求出答案。

我引導(dǎo)學(xué)生觀察，因為∠AFG＝45°，所以Rt△AFG是等腰直角三角形，得出第二種解法。

補(bǔ)充：假如由點(diǎn)F測得頂點(diǎn)A的仰角為60°，其它條件不變，尋找快捷的解法。經(jīng)過剛才循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)，學(xué)生們已理解透徹，一學(xué)生口齒伶俐、思路清晰地講解了解答過程：根據(jù)題意首先構(gòu)造直角三角形，延長DF與AB交于G。因為∠ADF＝60°，它是△ADF的外角，而∠ADF＝30°，所以△ADF＝30°，所以△ADF是等腰三角形，所以AF=DF=50米，然后根據(jù)AG=50sin600即可求出答案。教室里頓時響起雷鳴般的掌聲。這不僅是題目的拓展，更是對知識的鞏固。

讓學(xué)生口述解題思路是一種值得學(xué)習(xí)和借鑒的教學(xué)方法。因為這種訓(xùn)練活動使學(xué)生的思維活躍起來，潛能得以充分的挖掘，課堂上氣氛熱烈、精采紛呈；更體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，提高了課堂實(shí)效，發(fā)展了學(xué)生思維能力，增強(qiáng)了合作、競爭意識，提升了解決問題的能力。

（三）應(yīng)用二次函數(shù)的題型

例3：一座拱橋的輪廓是拋物線型（如圖1所示），拱高6m，跨度20m，相鄰兩支柱間的距離均為5m。將拋物線放在所給的直角坐標(biāo)系中（如圖2所示），求拋物線的解析式。

解法一：因為拋物線的頂點(diǎn)在y軸上，所以用特殊解法。

解法二：因為已知三個頂點(diǎn)坐標(biāo)，所以設(shè)一般式。

解法三：因為知道函數(shù)圖像與x軸的兩個交點(diǎn)坐標(biāo)，所以設(shè)交點(diǎn)式。

顯然，第一種解法是常用解法，但我們也要認(rèn)同學(xué)生的其它解法，讓學(xué)生在完全理解的情況下選擇自己喜歡的方法。

三、研究“一題多解”時應(yīng)注意的問題

第一，對于一題多解的題，不用刻意強(qiáng)調(diào)最簡潔方法。因為，對于一道題，因?qū)W生的個體差異，會形成不同的解題思路，讓學(xué)生挑選適合自己的解法，這樣才能培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維，如果刻意的強(qiáng)調(diào)某種解法，會限制學(xué)生的思維發(fā)展。

第二，不要單純地追求一題多解，而是要著重通過練習(xí)活動，達(dá)到鍛煉思維、拓寬思路、增長知識、培養(yǎng)和提高創(chuàng)造性學(xué)習(xí)能力這個根本目的。

第三，要在學(xué)生對某部分知識或某幾部分知識熟練掌握、在綜合練習(xí)時進(jìn)行較恰當(dāng)。

第四，必須以班級、學(xué)生的具體情況而定，不要挫傷學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

總之，一題多解的訓(xùn)練，最后要多解歸一，培養(yǎng)學(xué)生的思維聚合性。任何一個創(chuàng)造過程，都是發(fā)散思維和聚合思維的完美結(jié)合。而多解歸一的訓(xùn)練，則是培養(yǎng)聚合性思維的重要途徑。培養(yǎng)學(xué)生抓住問題實(shí)質(zhì)的能力，達(dá)到觸類旁通、舉一反三、事半功倍的學(xué)習(xí)效果，是教學(xué)的最終目的。