函數(shù)最值問題在中學(xué)數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用

廣西柳州市柳石路第三小學(xué) 鐘蘇麗

一、前言

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，如果x0∈[a,b]，對(duì)于任意x0∈[a,b]，都有f(x0)≥f(x)[或f(x0)≤f(x)]，就稱是f(x0)在f(x)區(qū)間[a,b]上的最大值（或最小值）。最大值與最小值統(tǒng)稱為最值。

在生產(chǎn)實(shí)踐中，為了提高經(jīng)濟(jì)效益，必須要考慮在一定的條件下，怎樣才能使用料最省，費(fèi)用最低，效率最高，收益最大等問題。這類問題在數(shù)學(xué)上統(tǒng)統(tǒng)歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題。最值問題主要討論問題的兩個(gè)方面：最值的存在性；最值的求法。

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的主體內(nèi)容，貫穿于整個(gè)中學(xué)階段，而函數(shù)最值問題是函數(shù)的重要組成部分。函數(shù)最值問題往往與三角函數(shù)、二次函數(shù)、一元二次方程、不等式及某些幾何知識(shí)緊密聯(lián)系，在解析幾何還尤其表現(xiàn)為長度、面積的最值等。處理函數(shù)最值的過程就是實(shí)現(xiàn)新問題向舊問題的轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)未知向已知的轉(zhuǎn)化。雖然解決問題的具體過程不盡相同，但就其解決方法來說，初等函數(shù)求最值的八種常見方法有:配方法、反函數(shù)法、判別式法、重要不等式法、線性規(guī)劃法、換元法、幾何法、求導(dǎo)法。

二、配方法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

對(duì)于二次函數(shù)和經(jīng)換元可化為二次函數(shù)的函數(shù)求最值，常用配方法。配方法求函數(shù)的最值就是將函數(shù)解析式化成含有自變量的平方式與常數(shù)和，然后根據(jù)變量的取值范圍確定函數(shù)的值域(或最值)，但對(duì)一些形式上不是標(biāo)準(zhǔn)二次式的表達(dá)式，常常需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖儞Q，才能配方?，F(xiàn)就一些使用配方法的題目舉例如下。

例：求函數(shù)的值域。

解：由3+2 x-x2≥0，得-1≤x≤3，

因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)x=1時(shí)，ymin=2；當(dāng)x=-1或3時(shí)，ymin=4，所以原函數(shù)的值域?yàn)椋簕y|2≤y≤4}。

三、反函數(shù)法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

1.二次函數(shù)運(yùn)用反函數(shù)法求最值

由原函數(shù)反解出x=f(y)，根據(jù)x的范圍求出y的范圍，進(jìn)而得到y(tǒng)的最值的方法稱為反函數(shù)法。此方法適用于能順利求得反函數(shù)的函數(shù)，如形如y=a2+bx+c（a≠0）的函數(shù)，類似地，此方法也可推廣到可以解得g(x)=f(y)，且已知g(x)的取值范圍的函數(shù)。

2.三角函數(shù)運(yùn)用反函數(shù)法求最值

四、判別式法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

對(duì)于所求的最值問題，如果能將已知函數(shù)式經(jīng)適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)變形轉(zhuǎn)化為一元二次方程有無實(shí)根的問題，則常可利用判別式求得函數(shù)的最值。

因?yàn)閤∈R所以，

即4y2-4by-a2≤0，

由題意得：

所以4b=12，a2=16，即b=3，a=±4。

五、重要不等式法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

1.用均值不等式求最值

運(yùn)用均值不等式求最值，必須具備三個(gè)必要條件，即“一正二定三等”，缺一不可?！罢笔侵父黜?xiàng)均為正數(shù)，這是前提條件；“定”是指各項(xiàng)的和或積為定值；“等”是等號(hào)成立的條件。

2.用柯西不等式求最值

柯西不等式:

3.用琴森不等式求最值

琴森不等式：如果y=f(x)在某區(qū)間上是凹函數(shù)，則對(duì)于該區(qū)間上任意

六、線性規(guī)劃法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

簡單線性規(guī)劃問題，實(shí)質(zhì)是二元一次函數(shù)在定義域（即線性約束條件所表示的區(qū)域）內(nèi)求最值問題，我們可用轉(zhuǎn)化的思想，將二元一次函數(shù)在定義域（即線性約束條件所表示的區(qū)域）內(nèi)求最值問題轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)在定義域內(nèi)求最值的問題。

求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束下的最大值和最小值問題，稱線性規(guī)劃問題，其解題步驟一般是：據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型；出所求的目標(biāo)函數(shù)；將各頂點(diǎn)的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)，即可求得最值。

七、換元法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

用換元法求函數(shù)最值，就是根據(jù)函數(shù)表達(dá)式的特點(diǎn)，把某一部分看作一個(gè)整體或用一個(gè)新變?cè)獊泶?，達(dá)到化繁難為簡易，化陌生為熟悉，從而使原問題得解。換元法通常有三角代換和代數(shù)代換兩種。用換元法時(shí)，要特別關(guān)注中間變量的取值范圍。

第一，三角代換法求最值。

對(duì)于某些函數(shù)的最值，可利用三角代換巧妙地求解。在作代換時(shí)，可根據(jù)不同的函數(shù)解析式作相應(yīng)的代換。如x2+y2=a2(a＞0)，可令；可令。

第二，用代數(shù)代換法求最值。

八、幾何法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

某些二元函數(shù)最值問題具有圖形背景，這時(shí)我們可以將所給函數(shù)表達(dá)式化為具有一定幾何意義的代數(shù)表達(dá)式，再利用幾何圖形，對(duì)函數(shù)最值作出直觀的說明和解釋。

九、求導(dǎo)法在求解函數(shù)最值中的運(yùn)用

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)，在上可導(dǎo)，則f(x)在[a,b]上的最大值和最小值為f(x)在(a,b)內(nèi)的各極值與f(a)，f(b)中的最大值與最小值。要求三次及三次以上的函數(shù)的最值，以及利用其他方法很難求的函數(shù)似的最值，通常都用該方法。導(dǎo)數(shù)法往往就是最簡便的方法，應(yīng)該引起足夠重視。本文以多種方法分別求解了一些不同類型的函數(shù)的最值，豐富了函數(shù)最值的求解方法。事實(shí)上求函數(shù)最值這類問題的方法除了上述這些常用方法以外，在高中數(shù)學(xué)中還有復(fù)合函數(shù)法，放縮法等，應(yīng)該說函數(shù)的最值的求解方法靈活多樣，通過以上的歸納能夠?qū)瘮?shù)最值求法有一個(gè)系統(tǒng)的掌握，還要掌握各數(shù)學(xué)分支知識(shí)，能綜合運(yùn)用各種數(shù)學(xué)技能，然后靈活選擇合理的解題方法。本文的出發(fā)點(diǎn)是豐富函數(shù)最值方法，以及更進(jìn)一步理解函數(shù)最值的意義，所以在文中所討論的是一些基本方法在函數(shù)最值中的應(yīng)用．本文的不足點(diǎn)就是文中所討論的函數(shù)最值的解法有限．本文的優(yōu)點(diǎn)是豐富了求解函數(shù)最值的方法，更深刻地理解函數(shù)最值的意義和內(nèi)容。