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    活用三角形射影定理解高考題更精彩

    2015-06-21 12:57:31云南省大理州漾濞縣第一中學(xué)秦慶雄
    中學(xué)數(shù)學(xué)雜志 2015年17期
    關(guān)鍵詞:邊角大理州射影

    ☉云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄

    ☉云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 范花妹

    活用三角形射影定理解高考題更精彩

    ☉云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 秦慶雄

    ☉云南省大理州漾濞縣第一中學(xué) 范花妹

    一、緣起

    早在1990年,就有老師撰文“建議在中學(xué)數(shù)學(xué)教材中補(bǔ)充射影定理公式”,在普通高中新課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材數(shù)學(xué)必修5(人教A版)第22頁(yè),編者雖以習(xí)題的形式讓三角形射影定理嶄露頭角,但仍沒(méi)有將其命名為三角形射影定理.

    三角形射影定理,其結(jié)構(gòu)優(yōu)美、和諧,可以和三角形中赫赫有名的正弦定理和余弦定理相媲美,是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理之一.

    筆者發(fā)現(xiàn),很多有關(guān)三角形邊角關(guān)系的高考試題,若能靈活、恰當(dāng)?shù)貞?yīng)用三角形射影定理,往往比用正弦定理或余弦定理更加快速、簡(jiǎn)捷,可使問(wèn)題化繁為簡(jiǎn)、化難為易,收到事半功倍的效果.

    二、什么是三角形射影定理

    在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,則有:

    a=bcosC+ccosB,

    b=ccosA+acosC,

    c=acosB+bcosA.

    三、三角形射影定理的證明

    證明:(1)當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)(如圖1),不妨設(shè)角B為直角,由直角三角形邊角關(guān)系得a=bcosC,又cosB=0,所以a=bcosC+ccosB;

    (2)當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)(如圖2),過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,由直角三角形邊角關(guān)系得BD= ccosB,DC=bcosC,所以a=BD+DC=ccosB+bcosC.

    (3)當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)(如圖3),不妨設(shè)角B為鈍角,過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC,垂足為D,由直角三角形邊角關(guān)系得DC=bcosC,BD=ccos∠ABD=ccos(π-B)=-ccosB,所以a=DC-DB=bcosC-(-ccosB)=bcosC+ccosB.

    綜上所述,在任意△ABC中,都有a=bcosC+ccosB.

    同理可證b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.

    圖1

    圖2

    圖3

    評(píng)注:在三角形射影定理頗多的證明中,上述證明顯然是最煩瑣,但卻是最直觀的.三角形射影定理的幾何意義從證明過(guò)程中清楚明白地呼之欲出,即三角形中任意一邊的長(zhǎng)度是另外兩邊在該邊上的射影的代數(shù)和,三角形射影定理由此而得名.

    下面我們分別利用向量、余弦定理和正弦定理,給出三種簡(jiǎn)證.

    即a2=accosB+abcosC.

    從而有a=bcosC+ccosB.

    同理可證b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.

    從而有a=bcosC+ccosB.

    同理可證b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.

    簡(jiǎn)證3:由正弦定理,得bcosC+ccosB=2R·sinBcosC+ 2R·sinCcosB=2R(sinBcosC+sinCcosB)=2R·sin(B+C)= 2R·sinA=a.

    從而有a=bcosC+ccosB.

    同理可證b=ccosA+acosC,c=acosB+bcosA.

    四、三角形射影定理在解高考題中的應(yīng)用

    例1(2014年廣東卷理科第12題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,已知bcosC+ccosB=2b,則=________.

    簡(jiǎn)解:由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB,則a= 2b,于是.故答案為2.

    例2(2013年新課標(biāo)Ⅱ卷理科第17題)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c,已知a=bcosC+csinB.

    (Ⅰ)求B;

    (ⅠⅠ)若b=2,求△ABC的面積的最大值.

    簡(jiǎn)解:(Ⅰ)由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB,則bcosC+ccosB=bcosC+csinB?ccosB=csinB?cosB=sinB?tanB=1.

    (ⅠⅠ)略.

    例3(2013年遼寧卷理科第5題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,asinBcosC+csinBcosA=,且a>b,則B=().

    (Ⅰ)求cosA的值;

    (ⅠⅠ)求邊c的值.

    (ⅠⅠ)由三角形射影定理得c=acosB+bcosA=acos2A+ bcosA=a(2cos2A-1)+bcosA=3,所以c=5.

    例5(2013年陜西卷理科第7題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,若bcosC+ccosB=asinA,則△ABC的形狀為().

    A.銳角三角形B.直角三角形

    C.鈍角三角形D.不確定

    簡(jiǎn)解:由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB,則asinA=bcosC+ccosB=a?sinA=1,則.故答案為B.

    例6搖(2008年山東卷理科第15題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,向量(cosA,sinA),若m⊥n,且acosB+bcosA=csinC,則B= ______.

    由三角形射影定理得c=acosB+bcosA,則c=csinC,則sinC=1.

    例7(2008年湖北卷理科第12題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a=3,b=4,c=6,則bccosA+accosB+ abcosC的值為_(kāi)_____.

    簡(jiǎn)解:由三角形射影定理得a=bcosC+ccosB,b= ccosA+acosC,c=acosB+bcosA,則bccosA+accosB+abcosC=[a(bcosC+ccosB)+b(acosC+ccosA)+c(bcosA+acosB)]

    例8(2008年全國(guó)Ⅰ卷理科第17題)設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且acosB-bcosA求tanAcotB的值.

    簡(jiǎn)解:由三角形射影定理得c=acosB+bcosA,則acosB-bcosA

    例9(2008年浙江卷理科第13題)在△ABC中,內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c.若cosA=acosB,則cosA=______.

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