數(shù)學(xué)史選修課開課模式與評價標(biāo)準(zhǔn)研究

☉浙江臨安天目高級中學(xué) 湯麗芬

☉浙江臨安天目高級中學(xué) 趙國勝

數(shù)學(xué)史選修課開課模式與評價標(biāo)準(zhǔn)研究

☉浙江臨安天目高級中學(xué) 湯麗芬

☉浙江臨安天目高級中學(xué) 趙國勝

“在大多數(shù)的學(xué)科里，一代人的建筑為下一代人所摧毀，一個人的創(chuàng)造被另一個人所破壞.惟獨(dú)數(shù)學(xué)，每一代人都在古老的數(shù)學(xué)大廈上添加一層樓”，一百多年前，德國數(shù)學(xué)史家漢克爾就如此形象地指出了數(shù)學(xué)與其他自然科學(xué)的顯著差異，形象地指出了數(shù)學(xué)這門學(xué)科的積累特性.從這個意義上說，不了解數(shù)學(xué)史就不可能全面了解數(shù)學(xué)科學(xué).

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出“數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分，不同的民族有不同的數(shù)學(xué)傳統(tǒng).數(shù)學(xué)課程應(yīng)適當(dāng)介紹數(shù)學(xué)的歷史、應(yīng)用和發(fā)展趨勢；數(shù)學(xué)對推動社會發(fā)展的作用；數(shù)學(xué)的社會需求；社會發(fā)展對數(shù)學(xué)發(fā)展的推動作用；數(shù)學(xué)科學(xué)的思想體系；數(shù)學(xué)的美學(xué)價值；數(shù)學(xué)家的創(chuàng)新精神.數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用；逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀”.

一、數(shù)學(xué)史選修課開課的意義

數(shù)學(xué)科學(xué)作為一種文化，不僅是整個人類文化的重要組成部分，而且始終是推進(jìn)人類文明的重要力量.在高中開設(shè)數(shù)學(xué)史選修課，能使學(xué)生了解到數(shù)學(xué)知識、方法、思想產(chǎn)生的歷史背景，加深對數(shù)學(xué)概念、方法、思想的理解，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)和發(fā)展脈絡(luò)，使學(xué)生養(yǎng)成獨(dú)立思考、積極探索的習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維能力和激發(fā)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

1.數(shù)學(xué)史的科學(xué)意義

每一門科學(xué)都有其發(fā)展的歷史，數(shù)學(xué)科學(xué)具有悠久的歷史，與自然科學(xué)相比，數(shù)學(xué)更是積累性科學(xué)，其概念和方法更具有延續(xù)性，比如古代文明中形成的十進(jìn)位制記數(shù)法和四則運(yùn)算法則，我們今天仍在使用，數(shù)學(xué)傳統(tǒng)與數(shù)學(xué)史材料可以在現(xiàn)實(shí)的數(shù)學(xué)研究中獲得發(fā)展.國內(nèi)外許多著名的數(shù)學(xué)大師都具有深厚的數(shù)學(xué)史修養(yǎng)或者兼及數(shù)學(xué)史研究，并善于從歷史素材中汲取養(yǎng)分，做到古為今用，推陳出新.

2.數(shù)學(xué)史的文化意義

美國數(shù)學(xué)史家m.克萊因曾經(jīng)說過：“一個時代的總的特征在很大程度上與這個時代的數(shù)學(xué)活動密切相關(guān).這種關(guān)系在我們這個時代尤為明顯”“數(shù)學(xué)不僅是一種方法、一門藝術(shù)或一種語言，數(shù)學(xué)更主要是一門有著豐富內(nèi)容的知識體系，其內(nèi)容對自然科學(xué)家、社會科學(xué)家、哲學(xué)家、邏輯學(xué)家和藝術(shù)家十分有用，同時影響著政治家和神學(xué)家的學(xué)說”.數(shù)學(xué)廣泛影響著人類的生活和思想，是形成現(xiàn)代文化的主要力量.數(shù)學(xué)史是從一個側(cè)面反映的人類文化史，又是人類文明史的最重要的組成部分.許多歷史學(xué)家通過數(shù)學(xué)這面鏡子，了解古代其他主要文化的特征與價值取向，教育人們?nèi)ミM(jìn)行抽象的推理，激發(fā)人們對理想與美的追求.

3.數(shù)學(xué)史的教育意義

歌德曾經(jīng)說過：“一門科學(xué)的歷史就是這門科學(xué)本身.”數(shù)學(xué)的歷史也就是數(shù)學(xué)本身，或者至少也是數(shù)學(xué)本身不可分割的一部分.數(shù)學(xué)史不僅可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解，最重要的是，它能使學(xué)生對數(shù)學(xué)的理解更加完整.將數(shù)學(xué)史適當(dāng)?shù)貞?yīng)用到數(shù)學(xué)教學(xué)中，發(fā)揮數(shù)學(xué)史料的教育功能，是數(shù)學(xué)教育改革的一項(xiàng)有力措施.

例1天才數(shù)學(xué)家歐拉介紹.

圖1

歐拉是數(shù)學(xué)史上著名的數(shù)學(xué)家，他在數(shù)論、幾何學(xué)、天文數(shù)學(xué)、微積分等好幾個數(shù)學(xué)的分支領(lǐng)域中都取得了出色的成就.歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強(qiáng)的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的.

通過介紹數(shù)學(xué)家的感人的歷史事例，有助于了解數(shù)學(xué)的發(fā)生和發(fā)展；了解歷史上中外杰出的數(shù)學(xué)家的生平和數(shù)學(xué)成就；有助于感受前輩大師嚴(yán)謹(jǐn)治學(xué)、鍥而不舍的探索精神；有助于培養(yǎng)興趣、開闊視野、開拓創(chuàng)新，更深刻體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用.

4.數(shù)學(xué)史的“現(xiàn)實(shí)”意義

反映數(shù)學(xué)的科學(xué)和人文價值，是高中數(shù)學(xué)課程建設(shè)的基本理念.自高考實(shí)行各省市自主命題以來，開創(chuàng)了百花齊放、百家爭鳴的良好局面，也使數(shù)學(xué)史閃耀出燦爛光芒.

作為高中數(shù)學(xué)教師，要不斷更新教育理念，時刻關(guān)注教育發(fā)展和改革動向.我們不但可以通過對數(shù)學(xué)史的研究改進(jìn)課堂教學(xué)，而且還要關(guān)注高考數(shù)學(xué)試題的數(shù)學(xué)史背景（命題背景、解題背景）.

例2（2014年高考湖北卷文10/理8）《算數(shù)書》竹簡于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“□蓋”的術(shù)：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長L與高h(yuǎn)，計算其體積V的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率π近似取為3.那么，近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的π近似取為（）.

例3（2014年高考陜西卷理14）觀察分析表中的數(shù)據(jù)：

?

猜想一般凸多面體中F、V、E所滿足的等式是________．

上述兩個例子均來源于2014年高考試題，一個出自《算數(shù)書》，一個需要考生通過推理得出多面體歐拉公式.

二、數(shù)學(xué)史選修課開課模式

高中階段數(shù)學(xué)史主要有兩種呈現(xiàn)方式，一是在數(shù)學(xué)教材中以各種方式滲透，這在高中的數(shù)學(xué)教材中都有體現(xiàn)；二是在高中階段開設(shè)專門的選修課程.

從課程實(shí)施的目的來說，“數(shù)學(xué)史”希望使學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展過程中若干重要事件、重要人物和重要成果，初步了解數(shù)學(xué)產(chǎn)生和發(fā)展的過程，體會數(shù)學(xué)對人類文明發(fā)展的作用，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，加深對數(shù)學(xué)的理解，感受數(shù)學(xué)家嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度和鍥而不舍的探索精神，進(jìn)而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.專題呈現(xiàn)

由于課時安排無法滿足對數(shù)學(xué)史系統(tǒng)性和完整性的闡述，因此數(shù)學(xué)史選修課宜采用專題形式展開，這樣更容易體現(xiàn)課程內(nèi)容的彈性，有重點(diǎn)地突出思想.專題教學(xué)，就是按照問題來組織課堂教學(xué)，打破原有教材的章節(jié)體系限制，選取若干專題作為深入分析講授的教學(xué)方式.在對教材內(nèi)容全面系統(tǒng)把握的基礎(chǔ)上，結(jié)合現(xiàn)實(shí)需要和學(xué)生特點(diǎn)，將教材中的知識點(diǎn)用專題的形式貫穿起來，重在每個專題內(nèi)知識結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性以及回答學(xué)生的思想困惑問題.這種教學(xué)方式至少存在以下兩大優(yōu)勢：第一，專題式教學(xué)具有針對性、現(xiàn)實(shí)性的特征，能夠克服學(xué)生內(nèi)在學(xué)習(xí)動力不足的問題，有效提高學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣；第二，專題式教學(xué)具有開放性特征，能夠充分發(fā)揮教師的專業(yè)所長，有效提高教學(xué)質(zhì)量和科研水平.

專題呈現(xiàn)，內(nèi)容要反映出數(shù)學(xué)發(fā)展的不同時代的特點(diǎn)，要講史實(shí)，更重要的是通過史實(shí)介紹數(shù)學(xué)的思想方法.內(nèi)容的安排可以采取多種形式，既可以由古至今，追尋數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史；也可以從現(xiàn)實(shí)的、學(xué)生熟悉的數(shù)學(xué)問題出發(fā)，追根溯源，回眸數(shù)學(xué)發(fā)展中的重要事件和人物.

下面是筆者開設(shè)的“數(shù)學(xué)史”選修課的專題設(shè)置表.

表1：數(shù)學(xué)中選修課課程內(nèi)容安排

?

歷史上一連串的數(shù)學(xué)悖論動搖了人們對數(shù)學(xué)可靠性的信仰，數(shù)學(xué)史上曾經(jīng)發(fā)生了三次數(shù)學(xué)危機(jī).數(shù)學(xué)悖論的產(chǎn)生和危機(jī)的出現(xiàn)，不單給數(shù)學(xué)帶來麻煩和失望，更重要的是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮.危機(jī)產(chǎn)生、解決、又產(chǎn)生的無窮反復(fù)過程，不斷推動著數(shù)學(xué)的發(fā)展，這個過程也是數(shù)學(xué)思想獲得重要發(fā)展的過程.

例4專題5《數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)》教學(xué)過程：危機(jī)發(fā)生的背景→危機(jī)的起源→危機(jī)的解決→危機(jī)產(chǎn)生的影響.（以第一次數(shù)學(xué)危機(jī)為例）

（1）背景.

第一次危機(jī)發(fā)生在古希臘，當(dāng)時人們對于無理數(shù)的概念一無所知.數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯建立了帶有濃厚宗教色彩的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.這個學(xué)派進(jìn)行了大量的教學(xué)研究，并取得了眾多的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)，他們還提出了“萬物皆數(shù)”的論斷，指出“萬物都可以歸結(jié)為整數(shù)之比”并且相信宇宙的本質(zhì)就在于這種“數(shù)的和諧”.

（2）起源.

①“萬物都可以歸結(jié)為整數(shù)之比”.

對于任意兩條線段，畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員相信上面的操作過程總會在進(jìn)行了有限步之后結(jié)束，他們相信，只要有耐心總能找到那個度量單位.所以任何兩個同類量都是可通約的，即萬物都?xì)w結(jié)為整數(shù)之比.

②希帕索斯悖論.

古希臘人錯誤地認(rèn)為，宇宙間的一切現(xiàn)象都?xì)w結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比.希帕索斯根據(jù)勾股定理通過邏輯推理發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形的直角邊與斜邊不可公度！即有理數(shù)并非一切數(shù)，存在有理數(shù)以外的數(shù)，有理數(shù)不可以完全填滿整條線段.這就是希帕索斯悖論：存在不可公度量！

（3）危機(jī)的解決.

①無理數(shù)的出現(xiàn).

畢達(dá)哥拉斯學(xué)派相信任何兩條線段a與b都可公度，用我們現(xiàn)在的語言表述就是指任何兩條線段的比是整數(shù)或是一個分?jǐn)?shù).簡言之，是一個有理數(shù).而希帕索斯不可公度量的發(fā)現(xiàn)就是：等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比既不是一個整數(shù)，也不是一個分?jǐn)?shù)，或者簡言之，不是一個有理數(shù)，而是一個當(dāng)時人們完全不了解的全新的數(shù)，這類數(shù)后來被稱為無理數(shù).人類歷史上誕生的第一個無理數(shù)就是希帕索斯發(fā)現(xiàn)的

②悖論所引發(fā)的問題.

無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)被認(rèn)為是悖論，動搖了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)與哲學(xué)根基，它將推翻畢達(dá)哥拉斯學(xué)派“萬物皆數(shù)”的基本哲學(xué)信條，摧毀了建立在“任何兩條線段都是可通約的”這一觀點(diǎn)背后的數(shù)學(xué)觀念.更重要的是，這一發(fā)現(xiàn)摧毀了人們通過經(jīng)驗(yàn)與直覺獲得的一些常識.

（4）第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響.

希帕索斯悖論的出現(xiàn)，導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，這一危機(jī)的影響是巨大的，它不僅推動了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展，使古希臘數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)發(fā)生了根本性的變化，而且推動了整個科學(xué)的發(fā)展，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們第一次認(rèn)識到了無理數(shù)的存在，無理數(shù)從此誕生了，之后，許多數(shù)學(xué)家正式研究了無理數(shù)，給出了無理數(shù)的嚴(yán)格定義，提出了一個含有有理數(shù)和無理數(shù)的新的數(shù)類——實(shí)數(shù)，并建立了完整的實(shí)數(shù)理論，為數(shù)學(xué)分析的發(fā)展奠定了基礎(chǔ).在古希臘，數(shù)學(xué)和哲學(xué)是結(jié)盟的，哲學(xué)使古希臘的數(shù)學(xué)趨于抽象和真理，正是由于古希臘的哲學(xué)背景，使其有可能建立世界上第一個數(shù)學(xué)公理系統(tǒng)，并最終導(dǎo)致了近代科學(xué)的誕生.

2.游戲呈現(xiàn)

游戲“題內(nèi)有話、話外有話”，教師應(yīng)該更多地攜“數(shù)學(xué)游戲”進(jìn)入課堂.皮亞杰認(rèn)為“智慧自游戲發(fā)端，活動是連接主客體的橋梁”.

圖2

例5故事發(fā)生在18世紀(jì)的哥尼斯堡城.流經(jīng)那里的一條河中有兩個小島，還有七座橋把這兩個小島與河岸聯(lián)系起來，那里風(fēng)景優(yōu)美，游人眾多.在這美麗的地方，人們議論著一個有趣的問題：一個游人怎樣才能不重復(fù)地一次走遍七座橋，最后又回到出發(fā)點(diǎn)呢？

直到1836年，瑞士著名的數(shù)學(xué)家歐拉才證明了這個問題的不可能性.

圖3

歐拉解決這個問題的方法非常巧妙.他認(rèn)為：人們關(guān)心的只是一次不重復(fù)地走遍這七座橋，而并不關(guān)心橋的長短和島的大小，因此，島和岸都可以看作一個點(diǎn)，而橋則可以看成是連接這些點(diǎn)的一條線.這樣，一個實(shí)際問題就轉(zhuǎn)化為一個幾何圖形（如圖3）能否一筆畫出的問題了.

所謂圖的一筆畫，指的就是：從圖的一點(diǎn)出發(fā)，筆不離紙，遍歷每條邊恰好一次，即每條邊都只畫一次，不準(zhǔn)重復(fù).易知：能一筆畫出的圖首先必須是連通圖.

歐拉定理：①凡是由偶點(diǎn)組成的連通圖，一定可以一筆畫成，畫時可以任一偶點(diǎn)為起點(diǎn)，最后一定能以這個點(diǎn)為終點(diǎn)畫完此圖；②凡是只有兩個奇點(diǎn)（其余均為偶點(diǎn)）的連通圖，一定可以一筆畫完，畫時必須以一個奇點(diǎn)為起點(diǎn)，另一個奇點(diǎn)為終點(diǎn)；③其他情況的圖，都不能一筆畫出.

好的數(shù)學(xué)游戲，不僅可以充實(shí)學(xué)生的游戲生活，而且可以激發(fā)他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，同時豐富他們的思維想象能力，在趣味盎然的氣氛中發(fā)展他們的智力.正如布魯納所說：“游戲活動是生命的自由表現(xiàn)，它是生活樂趣.”

游戲與數(shù)學(xué)的相似保證了數(shù)學(xué)游戲有利于數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，能使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)的精神.就思想方法講思想方法，如果直接揭示，學(xué)生會感到枯燥無味，是不能真正掌握數(shù)學(xué)思想方法的.因此數(shù)學(xué)思想必須融入內(nèi)容和應(yīng)用中，而把數(shù)學(xué)思想融入數(shù)學(xué)游戲中，更易為學(xué)生接受.

3.視頻呈現(xiàn)

以學(xué)生的學(xué)為中心，以符合教學(xué)規(guī)律和學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律為前提，通過多媒體信息技術(shù)手段的使用，優(yōu)化課堂設(shè)計，可以極大地發(fā)揮其優(yōu)勢，有利于素質(zhì)教育的實(shí)施，培養(yǎng)學(xué)生的記憶力、思維等多項(xiàng)能力.恰當(dāng)使用多媒體，能夠培養(yǎng)學(xué)生主動學(xué)習(xí)的能力.

多媒體集圖、文、聲、像多重刺激于一體，使學(xué)生大腦的視覺、聽覺等中樞都處于興奮狀態(tài)，相關(guān)知識在大腦中就會留下深刻印象.多媒體符合人類的記憶過程，多媒體展示知識空間的聯(lián)系，將知識系統(tǒng)化，形成網(wǎng)絡(luò)，有利于學(xué)生對知識進(jìn)行比較、加工、歸納，形成理解基礎(chǔ)上的記憶.多媒體輔助教學(xué)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納思維能力.

圖4

例6《“古怪老頭”畢達(dá)哥拉斯》專題的授課采用PPT與網(wǎng)絡(luò)視頻相結(jié)合的形式，介紹了畢達(dá)哥拉斯、畢達(dá)哥拉斯學(xué)派、畢達(dá)哥拉斯定理，借助網(wǎng)絡(luò)視頻告訴學(xué)生為什么畢達(dá)哥拉斯被稱為“古怪老頭”.

當(dāng)然在數(shù)學(xué)史教學(xué)中視頻的效果也并非越多越好，教師應(yīng)根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用多媒體，使多媒體成為啟迪學(xué)生認(rèn)知、思維的工具，而不是教學(xué)內(nèi)容的展示工具.

對于“數(shù)學(xué)史”的教學(xué)，《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》指出，“教學(xué)方式應(yīng)靈活多樣，可采取講故事、討論交流、查閱資料、撰寫報告等方式進(jìn)行.教師應(yīng)鼓勵學(xué)生對數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件和人物，寫出自己的研究報告.”教師在教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用現(xiàn)代信息技術(shù)，將現(xiàn)代化技術(shù)與教學(xué)有機(jī)融合.

選修課教學(xué)中教學(xué)內(nèi)容的選擇、教學(xué)方式的優(yōu)化更是需要開課教師“精打細(xì)算”，“不必追求數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的系統(tǒng)性和完整性，通過學(xué)生生動活潑的語言與喜聞樂見的事例呈現(xiàn)內(nèi)容，使學(xué)生體會數(shù)學(xué)的重要思想和發(fā)展軌跡”.

三、數(shù)學(xué)史選修課的評價標(biāo)準(zhǔn)

選修課程評價過程是促進(jìn)學(xué)生潛能充分發(fā)展的過程，是教師了解和研究學(xué)生、關(guān)注每一個學(xué)生在原有水平基礎(chǔ)上主動發(fā)展的過程，是建立民主、平等、和諧的師生關(guān)系的過程，是學(xué)生正確認(rèn)識自己和教師改進(jìn)教學(xué)的過程.

由于選修課的性質(zhì)、特點(diǎn)、任務(wù)、作用與必修課不完全一樣，我們必須根據(jù)選修課自身的規(guī)律開展課程評價.數(shù)學(xué)史選修課是為對數(shù)學(xué)有興趣并希望進(jìn)一步提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)的學(xué)生而開設(shè)的，主要是試圖通過數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展線索幫助學(xué)生進(jìn)一步理解數(shù)學(xué)方法和一些重要的數(shù)學(xué)思想，拓寬學(xué)生的數(shù)學(xué)視野.對于選修課的評價應(yīng)該多樣化，對學(xué)生評價的主要方法有觀察法、調(diào)查法、測驗(yàn)法.

1.觀察法

觀察法主要指教師在課堂教學(xué)中通過觀察學(xué)生行為的具體表現(xiàn)，對知識與能力、學(xué)習(xí)過程與方法、情感態(tài)度價值觀三維目標(biāo)的達(dá)成程度進(jìn)行評價，特別是對學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、學(xué)習(xí)方法以及相關(guān)的情意目標(biāo)的感受程度等進(jìn)行即時或歷時評價，以引導(dǎo)學(xué)生更積極投入于學(xué)習(xí)的一種教學(xué)評價法.

教師在邊教學(xué)邊觀察的過程中，應(yīng)該重點(diǎn)觀察學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度和學(xué)習(xí)方法，并加以正確的引導(dǎo).使用觀察法評價，教師對學(xué)生的行為觀察不宜集中在那些行為比較突出的學(xué)生身上（反應(yīng)敏捷行為活躍的學(xué)生、學(xué)習(xí)尖子、學(xué)有專長的學(xué)生、調(diào)皮的學(xué)生和學(xué)習(xí)不專心的學(xué)生等），而是要客觀對待班級每一個學(xué)生行為的感受和印象，教師應(yīng)明確，自己的腦海中若沒有某個學(xué)生行為的印象，就應(yīng)該對該學(xué)生做觀察補(bǔ)償或重點(diǎn)觀察了，或者反思自己對學(xué)生的行為觀察是否有所偏失.

2.測驗(yàn)法

測驗(yàn)在測評學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效果中扮演著極為重要的角色.測驗(yàn)就是通過讓學(xué)生回答一系列與教育目標(biāo)有關(guān)的有代表性的問題，從學(xué)生對問題的回答中提取信息，并根據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行判斷的過程.教師在編制測驗(yàn)題目時可根據(jù)主觀性試題、客觀性試題所存在的優(yōu)缺點(diǎn)，針對檢測目的進(jìn)行選擇.在測驗(yàn)編制過程中，應(yīng)同時制訂測驗(yàn)的答案和評分標(biāo)準(zhǔn)，具體包括客觀性試題的標(biāo)準(zhǔn)答案、主觀性試題的答案要點(diǎn)、評定的記分規(guī)則.

例7《數(shù)學(xué)史》選修課測試題.

（1）公式eix=cosx+isinx中e是自然對數(shù)的底，i是虛數(shù)單位，它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.發(fā)現(xiàn)這個著名公式的數(shù)學(xué)家是（）.

A．高斯B.歐拉C.柯西D.牛頓

（2）歷史上這個學(xué)派任意地把非物質(zhì)的、抽象的數(shù)夸大為宇宙的本原，認(rèn)為“萬物皆數(shù)”.以“萬物皆數(shù)”為信條的古希臘數(shù)學(xué)學(xué)派是（）.

A.愛奧尼亞學(xué)派B.伊利亞學(xué)派

C.詭辯學(xué)派D.畢達(dá)哥拉斯學(xué)派

（3）1955年希臘發(fā)行了一枚郵票，圖案是由三個棋盤排列而成，這枚郵票是紀(jì)念兩千五百年前希臘的一個學(xué)派和宗教團(tuán)體──畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它的成立以及在文化上的貢獻(xiàn).郵票上的圖案是對數(shù)學(xué)上一個非常重要定理的說明.它是初等幾何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理，在我國，人們稱它為勾股定理或商高定理；在歐洲，人們稱它為畢達(dá)哥拉斯定理.請你敘述該定理：_________________.

圖5

（4）最早使用“函數(shù)”（function）這一術(shù)語，并引入函數(shù)符號y=f（x）的數(shù)學(xué)家是（），在我國，清代數(shù)學(xué)家李善蘭在1859年和英國傳教士偉烈亞力合譯的《代微積拾級》中首次將“function”譯作“函數(shù)”.

A.萊布尼茨B.約翰·伯努利

C.雅各布·伯努利D.歐拉

（5）用圓圈符號“o”表示零，可以說是（）數(shù)學(xué)的一大發(fā)明，有零號的數(shù)碼和十進(jìn)位制記數(shù)在公元8世紀(jì)傳入阿拉伯國家，后又通過阿拉伯人傳至歐洲.中國古代的籌算數(shù)碼中開始沒有“零”，遇到“零”就空位.數(shù)字中沒有“零”，是很容易發(fā)生錯誤的.

A.中國B.阿拉伯C.印度D.古希臘

（6）在人類歷史的早期，生活在尼羅河畔的古埃及人創(chuàng)造了先進(jìn)的文化和高度發(fā)達(dá)的文明.古埃及文明的重要成就之一就是科學(xué)技術(shù)發(fā)明，其中數(shù)學(xué)成就引人注目.從現(xiàn)今遺留下來的古埃及數(shù)學(xué)文獻(xiàn)可看出，古埃及人的數(shù)學(xué)知識包括算術(shù)、代數(shù)和幾何三個方面.古埃及的數(shù)學(xué)知識常常記載在（）.

A.紙草書上B.竹片上C.木板上D.泥板上

（7）從已知的事實(shí)出發(fā)，不斷運(yùn)用已掌握的（知識庫中的）知識推出或歸納出新的事實(shí)（包括目標(biāo)結(jié)論）的過程稱為推理.請問在這個邏輯思維訓(xùn)練中，問號處的數(shù)字是什么？

5，10，17，26，37，（？）

圖6

（8）一筆畫問題源于哥尼斯堡七橋問題，歐拉通過對七橋問題的研究，不僅圓滿地回答了哥尼斯堡居民提出的問題，而且得到并證明了更為廣泛的有關(guān)一筆畫的三條結(jié)論，人們通常稱之為歐拉定理.圖6是一個公園的平面圖，要使游人走遍每一條路不重復(fù)，請問出口和入口應(yīng)設(shè)在哪兒？

（9）幻方也稱縱橫圖，它是科學(xué)的結(jié)晶與吉祥的象征，發(fā)源于我國古代的洛書——九宮圖.把“洛書”用數(shù)字表達(dá)就是一個“幻方”.下面請將1-7這七個數(shù)字填寫到如圖7所示的小圓圈中，使每條直徑上的三個數(shù)字之和都為10.

（10）數(shù)獨(dú)前身為“九宮格”，最早起源于中國.1783年，瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉發(fā)明了一種當(dāng)時稱作“拉丁方塊”（LatinSquare）的游戲，這個游戲是一個n×n的數(shù)字方陣，每一行和每一列都是由不重復(fù)的n個數(shù)字或者字母組成的.1984年4月，在日本游戲雜志《字謎通訊Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上出現(xiàn)了“數(shù)獨(dú)”游戲，提出了“獨(dú)立的數(shù)字”的概念，意思就是“這個數(shù)字只能出現(xiàn)一次”或者“這個數(shù)字必須是惟一的”，并將這個游戲命名為“數(shù)獨(dú)”（sudoku）.請完成下面的數(shù)獨(dú)題.

圖7

圖8

（11）“一個違反萬物皆數(shù)的理論，葬身了一雙發(fā)現(xiàn)的眼睛；一次對真理苦苦的追尋，造就了基礎(chǔ)數(shù)學(xué)中最重要的課程；一回回不斷地完善理論系統(tǒng)，奠定了數(shù)學(xué)的基石”指的是數(shù)學(xué)史上的哪三次重大事件？

（12）簡述學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史的意義.

3.調(diào)查法

選修課程評價要重視學(xué)生個性發(fā)展、人格完善，重視積極發(fā)揮評價結(jié)果在促進(jìn)學(xué)生素質(zhì)全面發(fā)展中的作用.在對學(xué)生的評價中，學(xué)生應(yīng)成為評價主體，重視學(xué)生在學(xué)習(xí)活動中對師生關(guān)系的實(shí)際感受，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和獲得成功的體驗(yàn)等應(yīng)成為學(xué)生評價的重要內(nèi)容.

問卷調(diào)查是一種結(jié)構(gòu)化的調(diào)查，其調(diào)查問題的表達(dá)形式、提問的順序、答案的方式與方法都是固定的，而且是一種文字交流方式，因此，任何個人，無論是研究者還是調(diào)查員都不可能把主觀偏見代入調(diào)查研究之中.其調(diào)查的統(tǒng)計結(jié)果一般都能被量化出來.

四、開設(shè)“數(shù)學(xué)史”選修課的思考

數(shù)學(xué)課程應(yīng)幫助學(xué)生了解數(shù)學(xué)在人類文明發(fā)展中的作用，逐步形成正確的數(shù)學(xué)觀.數(shù)學(xué)史研究的任務(wù)在于弄清數(shù)學(xué)發(fā)展過程中的基本史實(shí)，再現(xiàn)其本來面貌，同時透過這些歷史現(xiàn)象對數(shù)學(xué)成就、理論體系與發(fā)展模式作出科學(xué)、合理的解釋、說明與評價，進(jìn)而探究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的規(guī)律與文化本質(zhì).

在高中階段開設(shè)“數(shù)學(xué)史”選修課的一個終極目的就是提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，使學(xué)生加深對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，增長知識面，擴(kuò)大視野.應(yīng)該說，“數(shù)學(xué)史”選修課的開設(shè)適應(yīng)高中數(shù)學(xué)教學(xué)需求，適應(yīng)數(shù)學(xué)發(fā)展現(xiàn)狀、社會發(fā)展現(xiàn)狀和學(xué)生心理發(fā)展現(xiàn)狀.它的產(chǎn)生，會不斷激起學(xué)生對數(shù)學(xué)的更大興趣，滿足學(xué)生想要深入了解數(shù)學(xué)的欲望.

當(dāng)然選修課的開設(shè)具有很大的局限性，只能滿足少部分學(xué)生的學(xué)習(xí)要求，同時也不能過多地結(jié)合課堂教學(xué)，對必修部分的促進(jìn)作用少之又少，因此數(shù)學(xué)史的選修可以說是杯水車薪，要想更好地更全面地用好數(shù)學(xué)史，一方面教師首先要具備和不斷充實(shí)數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)史知識，另一方面要在教學(xué)中恰當(dāng)安排數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)內(nèi)容.同時對于課程的開課模式和評價標(biāo)準(zhǔn)有待于進(jìn)一步的研究和實(shí)踐，因此我們也相信數(shù)學(xué)史選修課的開設(shè)是一個很好的契機(jī)，借此探求數(shù)學(xué)史教學(xué)的新途徑.

1.中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）［M］.人民教育出版社，2003.

2.張小明.HPM視角下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)：實(shí)踐與思考［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（上），2011（9）.

3.趙國勝.新課改背景下高中“數(shù)學(xué)史”選修課開設(shè)初探［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)（上），2014（11）.