既關(guān)注數(shù)學(xué)文化，又夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)*
——2015年湖北省高考理科數(shù)學(xué)試卷分析

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 袁素群

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 李志斌

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 徐章韜

既關(guān)注數(shù)學(xué)文化，又夯實(shí)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)*
——2015年湖北省高考理科數(shù)學(xué)試卷分析

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 袁素群

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 李志斌

☉華中師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)學(xué)院 徐章韜

2015年湖北高考數(shù)學(xué)卷的命制，貫徹了《考試大綱》的要求，體現(xiàn)了“穩(wěn)中求創(chuàng)新”的成熟設(shè)計(jì)理念.堅(jiān)持對(duì)“四基”的考查.試卷結(jié)構(gòu)穩(wěn)定，考點(diǎn)分布合理，試題注意謀篇布局與中學(xué)教學(xué)內(nèi)容相協(xié)調(diào)，注重試題表述方式與教材一致，為關(guān)鍵詞加點(diǎn)以提醒考生注意審題，具有人文關(guān)懷.

一、總體評(píng)析

今年湖北省高考理科數(shù)學(xué)卷繼承了湖北卷一貫的風(fēng)格.

一方面，它以數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)體系的重點(diǎn)內(nèi)容為基礎(chǔ).綜合知識(shí)點(diǎn)間的內(nèi)在聯(lián)系，從多個(gè)角度考查了學(xué)生對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)體系的認(rèn)識(shí)和理解.既落實(shí)了數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求，又綜合考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解、學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)等.如表1所示，從試卷考查的知識(shí)內(nèi)容來(lái)看，主要考查代數(shù)、幾何及選做題三個(gè)部分.試卷在各知識(shí)點(diǎn)所賦分值與現(xiàn)行教材的課時(shí)安排基本保持一致.代數(shù)知識(shí)約占試卷總分?jǐn)?shù)的69.4%，其中函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、概率統(tǒng)計(jì)等內(nèi)容占的比重較大，而這些知識(shí)正是新課程標(biāo)準(zhǔn)所著重強(qiáng)調(diào)的.幾何部分約占27.3%，高考依然重視對(duì)解析幾何、立體幾何、向量的考查.幾何證明選講、坐標(biāo)系與參數(shù)方程保持5分的分值不動(dòng)，它們以選做題的形式出現(xiàn)，給考生提供了選擇的空間.

表1：知識(shí)點(diǎn)分布表

另一方面，綜合難題的表現(xiàn)形式既通俗易懂，又包含了數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)思想方法之間的交叉、綜合與滲透.如表2所示，考查學(xué)生能否綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法，做到融會(huì)貫通.同時(shí)命題專家們?yōu)椴糠衷囶}挑選了合理的背景、引入數(shù)學(xué)史知識(shí)來(lái)擴(kuò)展學(xué)生的知識(shí)面，有利于促進(jìn)學(xué)生對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)文化的了解.試題能夠達(dá)到檢測(cè)學(xué)生內(nèi)在數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)是否完整的目的，有利于高考的選拔.

表2：綜合知識(shí)點(diǎn)與數(shù)學(xué)史分布表

二、試題特色

1.重視基礎(chǔ)，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)本質(zhì)

縱觀歷年高考試題，有相當(dāng)一部分試題對(duì)基本概念、定理、性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)和通性、通法進(jìn)行了多角度、多層次的考查.注重考查基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，檢驗(yàn)考生理解數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的能力.今年也不例外，選擇題第1－4題都是直接對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)進(jìn)行考查的中低檔難度的試題，試題設(shè)計(jì)靈活，對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查呈現(xiàn)多角度性.分別考查了復(fù)數(shù)的基本概念、樣本估計(jì)、二項(xiàng)式系數(shù)和正態(tài)分布曲線.第5題考查的是等比數(shù)列、充分必條件與必要條件，根據(jù)柯西不等式、等式成立的條件，可以判斷p是q的充分條件，但不是q的必要條件.對(duì)于第8題，考生既可按雙曲線離心率的計(jì)算公式和真分?jǐn)?shù)不等式進(jìn)行推理，也可借助雙曲線的離心率的幾何意義解題，其間隱現(xiàn)著雙曲線的離心率動(dòng)態(tài)變化的本質(zhì)特征.

試題設(shè)計(jì)依綱靠本，定位貼近教材，呈現(xiàn)方式自然，主干知識(shí)突出.填空題第11題考查了平面向量的加法法則，向量垂直和向量的模與數(shù)量積.第12題考查了二倍角的正弦、余弦公式，誘導(dǎo)公式以及函數(shù)的零點(diǎn).第13題考查了三角形內(nèi)角和定理、三角函數(shù)、有關(guān)測(cè)量中的幾個(gè)術(shù)語(yǔ)和正弦定理.解答題第17題考查了三角函數(shù)的性質(zhì)、平移、“五點(diǎn)法”，第18題考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和.這些題目分別源自教材的相關(guān)例題、習(xí)題，依據(jù)教材中的素材，經(jīng)過(guò)組合加工、改造整合和拓展延伸而來(lái).這些試題以熟悉的面孔出現(xiàn)，有利于考生穩(wěn)定心態(tài)，正常發(fā)揮.

2.知識(shí)與能力并重

試題堅(jiān)持知識(shí)立意、問(wèn)題立意和能力立意并重，注重在知識(shí)交匯點(diǎn)設(shè)計(jì)試題.第6、9、10題，采用新定義、新概念立意設(shè)題，題型新穎別致，能有效地區(qū)分考生對(duì)數(shù)學(xué)概念的理解程度，考查考生的數(shù)學(xué)能力.第9題將新定義的集合運(yùn)算與整點(diǎn)問(wèn)題、向量平移、不等式表示的平面區(qū)域等知識(shí)巧妙地結(jié)合在一起，綜合性強(qiáng)，解法多樣，能較好地甄別考生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).第16題結(jié)合參數(shù)方程與極坐標(biāo)考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.第20題將概率統(tǒng)計(jì)與線性規(guī)劃有機(jī)融合，用生活中普遍存在的隨機(jī)規(guī)劃問(wèn)題展現(xiàn)數(shù)學(xué)的應(yīng)用價(jià)值.

借試題情境體驗(yàn)、感悟和反思數(shù)學(xué)問(wèn)題，以突出對(duì)通性、通法和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查.這些試題把數(shù)學(xué)知識(shí)、思想方法和數(shù)學(xué)能力融會(huì)貫通，要求考生在試題所創(chuàng)設(shè)的情境中，有意識(shí)地應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和技能處理問(wèn)題，綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法找到合理簡(jiǎn)捷的解題途徑.

3.數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入

（1）引入數(shù)學(xué)史，彰顯數(shù)學(xué)文化.

試題中有不少與數(shù)學(xué)史等知識(shí)有關(guān)的數(shù)學(xué)文化.數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入使數(shù)學(xué)充滿人文氣息，使得數(shù)學(xué)知識(shí)更易于被學(xué)生接受.如在第2題中，引入九章算術(shù)中的“米谷粒分”問(wèn)題實(shí)際上是簡(jiǎn)單的抽樣統(tǒng)計(jì)，數(shù)學(xué)史的引入能讓學(xué)生體會(huì)到抽樣統(tǒng)計(jì)方法在生活中的應(yīng)用.

數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入是試題形式上的創(chuàng)新.如第19題，命題者用我們并不常見(jiàn)的幾何體（“陽(yáng)馬”和“蹩□”）為背景引入.相比普通的幾何題引入更能讓學(xué)生留下深刻的印象.這兩個(gè)詞語(yǔ)對(duì)相當(dāng)一部分老師和學(xué)生來(lái)說(shuō)可能并不熟悉，但它們的出現(xiàn)并不影響解題.

第21題源于荷蘭數(shù)學(xué)家舒騰（F.vanSchooten）的橢圓作圖工具［1］.這樣的作圖工具相對(duì)于課本上的橢圓作圖更為古老，但是通過(guò)思考，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的形成并不是一氣呵成的，而是在前人的基礎(chǔ)上一步步創(chuàng)新才得以發(fā)展與完善.

（2）引入數(shù)學(xué)史知識(shí)的意義.

數(shù)學(xué)史知識(shí)的引入并不多余，建構(gòu)主義強(qiáng)調(diào)在真實(shí)而富有意義的情境中進(jìn)行學(xué)習(xí)與教學(xué).近年來(lái)的高考題所考查的內(nèi)容，都盡量回避陳題，尋求新面貌、新形式.有的甚至引入高等數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)創(chuàng)設(shè)新情境.當(dāng)考生遇到自己不曾接觸的問(wèn)題或語(yǔ)詞時(shí)，也要保持積極的心態(tài)繼續(xù)往前.這有利于考查他們臨危不亂、不被困難所擊敗的精神.取材于數(shù)學(xué)史料的高考題還能幫助中學(xué)生了解我國(guó)早期在數(shù)學(xué)研究上的一些杰出的成就，讓學(xué)生體會(huì)到我國(guó)博大精深的數(shù)學(xué)文化，有利于培養(yǎng)民族自信心.

數(shù)學(xué)史的引入與新課標(biāo)卷相互關(guān)聯(lián).今年的湖北數(shù)學(xué)高考題作為湖北省自主命題的收官之作，它與新課標(biāo)全國(guó)卷有著密切的聯(lián)系.如湖北卷理科第2題與新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ第6題都是取自中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》.師生應(yīng)克服畏難心理，回歸課標(biāo)，從提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)入手，提高綜合能力；有針對(duì)性地進(jìn)行解題訓(xùn)練；完善知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，優(yōu)化數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).

4.設(shè)置綜合難題，強(qiáng)調(diào)知識(shí)交匯

高考題大多不是基礎(chǔ)知識(shí)的簡(jiǎn)單羅列或再現(xiàn).高考作為選拔人才的考試，選拔性主要體現(xiàn)在綜合難題上.今年的湖北高考題也站在數(shù)學(xué)學(xué)科整體高度設(shè)計(jì)試題，注重知識(shí)之間的交叉、滲透、綜合，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處命題，提高了試題的難度，體現(xiàn)了高考的選拔作用［2］.

如選擇題第6題在符號(hào)函數(shù)的基礎(chǔ)上構(gòu)造新函數(shù)，考查函數(shù)的單調(diào)性.選擇題第10題自定義取整函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)，綜合考查了復(fù)合函數(shù)的定義域和值域，需要借助相關(guān)的不等式組知識(shí)求得答案.填空題第14題第二問(wèn)取材于阿波羅尼斯圓.第20題將概率統(tǒng)計(jì)與線性規(guī)劃相結(jié)合，以線性規(guī)劃為基礎(chǔ)，結(jié)合分類討論的思想，將概率題的難度提高，如果學(xué)生不能很好地解決線性規(guī)劃問(wèn)題，就很難繼續(xù)作答.第21題第二問(wèn)考查直線與直線、直線與圓錐曲線之間的位置關(guān)系，還考查了學(xué)生能否靈活運(yùn)用分類討論的思想方法，有效地結(jié)合方程思想解題.特別是壓軸題第22題，將函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法、均值不等式、不等式證明和合情推理等融于一爐，構(gòu)思獨(dú)特而富有韻味，能夠考查考生的數(shù)學(xué)思維能力、數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)和學(xué)習(xí)潛能.

三、總結(jié)與建議

1.夯實(shí)基礎(chǔ)，抓住數(shù)學(xué)本質(zhì)

萬(wàn)變不離其宗，數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)是數(shù)學(xué)的根基，沒(méi)有這個(gè)根基，數(shù)學(xué)思維和能力的生成與發(fā)展就猶如無(wú)本之木，不會(huì)有長(zhǎng)遠(yuǎn)的發(fā)展.教材是高考試題的重要來(lái)源，它包含了重要知識(shí)、思想和方法.為了夯實(shí)學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，我們應(yīng)回歸教材，以不變應(yīng)萬(wàn)變.教師應(yīng)抓住數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵與外延，抓住數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)進(jìn)行教學(xué).注重采用變式教學(xué)，強(qiáng)調(diào)抽象與具體的統(tǒng)一，注重?cái)?shù)學(xué)概念思維的發(fā)展.不能讓學(xué)生陷入紛繁復(fù)雜的題海戰(zhàn)術(shù)之中.

2.在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的靈魂，它是解題的指南針［3］.隨著“課程標(biāo)準(zhǔn)”取代“教學(xué)大綱”，數(shù)學(xué)思想方法得到了更加廣泛的重視，數(shù)學(xué)思想方法成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育的重要目標(biāo).掌握數(shù)學(xué)思想方法有助于提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的效率，形成良好的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).教師在平時(shí)的教學(xué)中，應(yīng)深入鉆研教材，充分挖掘其中的思想方法，將數(shù)學(xué)思想方法滲透到教學(xué)中去.

3.提升教師自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)

“站得更高，所以看得更遠(yuǎn)”，數(shù)學(xué)教學(xué)也是如此，新時(shí)代背景下的數(shù)學(xué)教師，要跟上時(shí)代的步伐，提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng).如將信息技術(shù)與數(shù)學(xué)教學(xué)有機(jī)結(jié)合起來(lái).幾何畫板、超級(jí)畫板等新型教育技術(shù)軟件的出現(xiàn)，有利于幫助教師形象地展示數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與發(fā)展.

教師要關(guān)注數(shù)學(xué)教育研究領(lǐng)域最新、最前沿的研究成果.如在文4中介紹了塹堵（兩底面是直角三角形的正柱體）、陽(yáng)馬（直角四棱錐體）、蹩□（四個(gè)面都是勾股形的四面體）的由來(lái)和性質(zhì).在文5中詳細(xì)介紹了用符號(hào)函數(shù)表示函數(shù)的單調(diào)性、刻畫絕對(duì)值等應(yīng)用.符號(hào)函數(shù)作為一種特殊的數(shù)學(xué)記號(hào)是我們探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的有用工具.關(guān)注專業(yè)期刊雜志能幫助教師了解數(shù)學(xué)發(fā)展的方向，提升數(shù)學(xué)教師的專業(yè)水平的同時(shí)提高教師的數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.吳俊，汪曉勤.數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐：他山之石［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2014，52（2）.

2.劉春林.如何巧妙化解數(shù)學(xué)高考的難點(diǎn)：以2010年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷為例［J］.教學(xué)與管理，2011（3）.

3.胡典順，徐漢文.突出數(shù)學(xué)本質(zhì)，彰顯課程理念：對(duì)2009年高考數(shù)學(xué)湖北卷的評(píng)析［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2009，48（11）.

4.徐章韜，王春華.為什么圓錐體積是等底等高圓柱體積的［J］.湖南教育（下），2010（9）.

5.裴光亞.符號(hào)函數(shù)的應(yīng)用［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1996（1）.

*本文系華中師范大學(xué)研究生教學(xué)研究項(xiàng)目“數(shù)學(xué)教育方向研究生學(xué)術(shù)水平提升的研究”的部分戰(zhàn)果.