基于“過程教育”的“一元二次方程的解法”教學(xué)實(shí)錄及說明

鄔云德

[摘 要] 通過“過程教育”指導(dǎo)下的多次螺旋式加深發(fā)展的教學(xué)探索與反思，初步的理論求證與實(shí)踐驗(yàn)證表明，探索中形成的教學(xué)操作方法對促進(jìn)學(xué)生全面、和諧發(fā)展有積極的影響.

[關(guān)鍵詞] 過程教育；一元二次方程的解法；教學(xué)探索；教學(xué)說明

課例背景

“過程教育”是旨在滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要，關(guān)注數(shù)學(xué)結(jié)果形成與應(yīng)用的過程和獲得數(shù)學(xué)結(jié)果（或解決問題）之后反思過程的育人活動. 浙教版《義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)》八年級下冊“2.2 一元二次方程的解法（第1課時）”是認(rèn)識一元二次方程的繼續(xù)——從一元二次方程的概念到一元二次方程的解法. 因式分解方法是解一元二次方程的基本方法，用因式分解法解一元二次方程的技能是進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的基本技能；研究用因式分解法解一元二次方程的“基本套路”具有普遍適用性. 生成用因式分解法解一元二次方程的原理及用因式分解法解一元二次方程的方法的過程和蘊(yùn)涵的“降次”思想、化歸思想、分類思想、歸納思想，用生成的原理和方法解有代表性的一元二次方程的過程和蘊(yùn)涵的“降次”思想、演繹思想等，這些對發(fā)展學(xué)生的智力、能力和個性有積極的影響. 基于“過程教育”的“一元二次方程的解法（第1課時）”的教學(xué)，怎樣操作才能發(fā)揮其蘊(yùn)涵的教育價值？筆者在“過程教育”指導(dǎo)下的多次螺旋式加深發(fā)展的教學(xué)探索與反思的基礎(chǔ)上，將形成的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)在象山縣全員教研活動中進(jìn)行了再實(shí)踐，課后獲得了觀課教師的廣泛好評，現(xiàn)把它整理出來，以饗讀者.

教學(xué)實(shí)錄

環(huán)節(jié)1：經(jīng)歷揭示課題的過程——明確研究的問題

師：我們知道，一元二次方程與一元一次方程、二元一次方程（組）一樣，都是特殊的方程（組），因此，一元二次方程的研究內(nèi)容和研究方法可以與一元一次方程、二元一次方程（組）類比.

師：一元一次方程研究了哪些內(nèi)容？

生1：研究了一元一次方程的概念、一元一次方程的解法、一元一次方程的實(shí)際應(yīng)用.

師：好的. 我們已經(jīng)研究了一元二次方程的概念，大家認(rèn)為還應(yīng)該研究什么？

生2：還應(yīng)該研究一元二次方程的解法和一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用.

師：好的. 我們知道，利用運(yùn)算律、等式的基本性質(zhì)，通過去分母、去括號、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)等能求出一元一次方程的解；我們也知道，通過消元能將二元一次方程組轉(zhuǎn)化為一元一次方程. 類比二元一次方程組的解法，能否將一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程？用什么方法能將“二次”降為“一次”？本節(jié)就來研究一元二次方程的解法.（揭示課題）

環(huán)節(jié)2：探索一元二次方程的解法——因式分解法

師：現(xiàn)在請大家思考并回答問題.

師：我們已經(jīng)會解一元一次方程2x+3=0和2x-3=0，那能解一元二次方程（2x+3）（2x-3）=0嗎？請大家合作研討.

師（待學(xué)生研討后）：誰來說說思維過程？

生3：由（2x+3）（2x-3）=0，可以推出2x+3=0，2x-3≠0 或2x+3≠0，2x-3=0 或2x+3=0，2x-3=0. 因?yàn)?x+3=0，2x-3≠0 的解是x=-■，2x+3≠0，2x-3=0 的解是x=■，2x+3=0，2x-3=0 無解，所以（2x+3）（2x-3）=0的解是x=-■或x=■.

師：好的. 一般地，若A·B=0，則可得怎樣的結(jié)論？

生4：由A·B=0，可以推出A=0，B≠0 或A≠0，B=0 或A=0，B=0.

師：好的. “A=0，B≠0 或A≠0，B=0 或A=0，B=0”的含義是什么？

生5：A和B中至少有一個為0.

師：好的. 以后我們會知道，“A和B中至少有一個為0”與“A=0或B=0”等價，這樣我們便得到了一個基本結(jié)論——若A·B=0，則A=0或B=0. 利用這個結(jié)論可以將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

師：利用這個結(jié)論能解方程x2-3x=0嗎？

生6：由x2-3x=0，可得x（x-3）=0，即x=0或x-3=0，解得x=0或x=3.

師：好的. 利用這個結(jié)論能解方程25x2=16嗎？

生7：由25x2=16可得25x2-16=0，可得（5x-4）（5x+4）=0，即5x-4=0或5x+4=0，解得x=■或x=-■.

師：好的. 解上述兩個一元二次方程的基本策略是什么？

生8：先用因式分解法把一元二次方程化為“A·B=0”的形式，再運(yùn)用基本結(jié)論把一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程.

師：好的. 這個過程體現(xiàn)了化歸思想，上述基本結(jié)論是實(shí)現(xiàn)化未知為已知的橋梁.

師：像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.

環(huán)節(jié)3：參與嘗試方法應(yīng)用的活動——合作解有代表性的一元二次方程

師：現(xiàn)在請大家用因式分解法解下列一元二次方程（允許小組合作）.

（1）（x-5）（3x-2）-10=0；（2）（3x-4）2=（4x-3）2；（3）x2=2■x-2.

師（待學(xué)生完成任務(wù)）：誰來展示方程（1）的解題過程？

生9：化簡方程，得3x2-17x=0；將方程左邊因式分解，得x（3x-17）=0；所以x=0或3x-17=0，解得x■=0，x■=■.

師（追問）：解這個方程的策略是什么？具體經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生9：策略——將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；步驟——先化一元二次方程為一般形式，再將方程左邊因式分解，然后運(yùn)用基本結(jié)論解兩個一元一次方程.

師：好的，誰來展示方程（2）的解題過程？

生10：移項(xiàng)，得（3x-4）2-（4x-3）2=0；將方程左邊因式分解，得[（3x-4）+（4x-3）]·[（3x-4）-（4x-3）]=0，即（7x-7）（-x-1）=0，所以7x-7=0或-x-1=0，解得x■=1，x■=-1.endprint

師（追問）：解這個方程的策略是什么？具體經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生10：策略——將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；步驟——先移項(xiàng)，再將方程左邊因式分解，然后運(yùn)用基本結(jié)論解兩個一元一次方程.

師：好的，誰來展示方程（3）的解題過程？

生11：移項(xiàng)，得x2-2■x+2=0，即x2-2■x+（■）2=0，所以（x-■）2=0，解得x■=x■=■.

師（追問）：解這個方程的策略是什么？具體經(jīng)歷了哪幾個步驟？

生11：策略——將一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程；步驟——先移項(xiàng)，再將方程左邊因式分解，然后運(yùn)用基本結(jié)論解兩個一元一次方程.

師：好的，一般地，用因式分解法解一元二次方程需要經(jīng)歷哪幾個基本步驟？

生12：（1）移項(xiàng)，使方程的右邊為零；（2）將方程左邊因式分解；（3）根據(jù)“A·B=0，則A=0或B=0”，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個一元一次方程.

師：好的. 用因式分解法解一元二次方程的基本原理是：“若A·B=0，則A=0或B=0”，這種解一元二次方程的方法以后會經(jīng)常用到.

接下來，教師要求學(xué)生完成課本中的練習(xí)題.

環(huán)節(jié)4：參與回顧與思考的活動——合作進(jìn)行反思與總結(jié)

首先，教師出示下列“問題清單”，并要求學(xué)生圍繞“問題清單”進(jìn)行回顧與思考.

（1）本節(jié)課研究了哪些內(nèi)容？我們是怎樣研究的？

（2）解一元二次方程的基本策略是什么？

（3）用因式分解法解一元二次方程需要經(jīng)歷哪幾個步驟？

其次，教師組織學(xué)生合作交流，同時教師邊傾聽、邊評價.

第三，在此基礎(chǔ)上教師進(jìn)行總結(jié)性講解.

■ 教學(xué)說明

根據(jù)“一元二次方程的解法（第1課時）”的地位與作用及其蘊(yùn)涵的教育價值，落實(shí)其全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)，需要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷解法生成與解法應(yīng)用的實(shí)質(zhì)性思維過程. 但當(dāng)前在這節(jié)課的教學(xué)中普遍存在生成解法的認(rèn)知過程短暫和生成解法及用解法解有代表性的一元二次方程之后的反思過程缺失的問題，這有悖于“過程教育”，不能滿足學(xué)生全面、和諧發(fā)展的需要. 本節(jié)課以有代表性的一元二次方程為載體，采用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放方法，引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷了完整的認(rèn)知過程——既有嘗試解特定的一元二次方程、研討基本結(jié)論和用基本結(jié)論解簡單一元二次方程的認(rèn)知過程，以感知用因式分解法解一元二次方程的原理，也有感性認(rèn)識基礎(chǔ)上反思的認(rèn)知過程，以內(nèi)化用因式分解法解一元二次方程的原理和感悟蘊(yùn)涵的化歸思想；既有用生成的解法解有代表性的一元二次方法的認(rèn)知過程，以鞏固解法和發(fā)展智慧技能，也有解具體一元二次方程之后追問與反思的認(rèn)知過程，以積淀用因式分解法解一元二次方程的經(jīng)驗(yàn). 這體現(xiàn)了“過程教育”，對落實(shí)全面、和諧的教學(xué)目標(biāo)有積極的影響. 教學(xué)實(shí)踐表明，在方法教學(xué)中要實(shí)現(xiàn)知識、技能、能力、態(tài)度的完美統(tǒng)一，需要教師增強(qiáng)揭示方法所蘊(yùn)涵的思維活動過程的自覺性，而引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷實(shí)質(zhì)性思維過程需要教師充分貫徹啟發(fā)式教學(xué)思想——以符合“最近發(fā)展區(qū)”理論的題材為載體，運(yùn)用教師價值引導(dǎo)與學(xué)生自主建構(gòu)相結(jié)合的適度開放方法，使學(xué)生經(jīng)歷“過程”中的思維“站點(diǎn)”，從而促進(jìn)學(xué)生全面、和諧地發(fā)展.endprint