MATLAB在定積分教學中的應用

任晴晴 霍振香 靳志同 趙宜賓

作者簡介：任晴晴（1987.2-），女，漢族，山東高密人，研究生，講師，研究方向：統(tǒng)計學。

霍振香（1985.8-），女，漢族，河北邯鄲人，研究生，講師，研究方向：應用數(shù)學。

靳志同（1984.2-），男，漢族，河北邯鄲人，研究生，講師，研究方向：應用數(shù)學。

趙宜賓（1976.12-），男，漢族，河北三河人，研究生，教授，研究方向：應用數(shù)學。

摘要：本文借助于MATLAB軟件將定積分的定義過程進行動態(tài)演示，并將程序運行結果以圖表形式呈現(xiàn)。結合軟件將理論知識進行形象直觀展示，有利于學生對于知識的理解和掌握。

關鍵詞：MATLAB;定積分;直觀展示

中圖分類號：O172.2文獻標志碼：A文章編號：2095-9214（2015）03-0099-02

高等數(shù)學是本科理工類學生的一門非常重要的基礎課，該課程理論嚴謹，應用廣泛。傳統(tǒng)的高等數(shù)學教學過于注重理論推導和邏輯訓練，導致學生學習興趣不高。為提高學生學習高等數(shù)學的興趣，可盡量使得理論教學形象化，幫助學生直觀、形象理解所學內容。

定積分是高等數(shù)學研究的重點之一。定積分定義中涉及到“大化小、常代變、近似和、取極限”的過程。該定義過程理論性較強，抽象難理解而缺少形象的直觀展示，這使得部分學生抵觸定積分的學習。

MATLAB是由美國MathWorks公司出品用于算法開發(fā)、數(shù)據(jù)可視化、數(shù)據(jù)分析及數(shù)值計算的商用數(shù)學軟件。本文將借助于MATLAB軟件實現(xiàn)定積分定義過程的動態(tài)演示，將枯澀難懂的理論進行直觀展示，幫助學生們在直觀展示中學習并掌握定積分的定義。

1、定積分的定義

設函數(shù)y=f（x）是有界閉區(qū)間[a，b]上的有界函數(shù)。在區(qū)間[a，b]中任意插入n-1個分點：

a=x0

將[a，b]分為n個子區(qū)間，每個子區(qū)間的長度為Δxi=xi-xi-1，（i=1，2，…，n）。在每個子區(qū)間[xi-1，xi]（i=1，2，…，n）上任取一點ξi，然后作和：Sn=∑ni=1f（ξi）Δxi。

令λ=maxΔx1，Δx2，…，Δxn。若無論[a，b]怎樣劃分，也無論在子區(qū)間[xi-1，xi]上ξi怎樣選取，總存在常數(shù)I使得當λ趨于0時，和Sn趨于I，則稱該極限值I為函數(shù)f（x）在[a，b]上的定積分，記作∫baf（x）dx，即：

∫baf（x）dx=I=limλ→0Sn=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi

2、定積分的動態(tài)演示

求下列定積分：I=∫60（x+x2）dx。

首先編寫名為dingyi.m的M函數(shù)文件，該文件將實現(xiàn)定積分的定義過程。

function s=dingyi（fun，a，b，n）

h=（b-a）/n;s=0;

for k=1：n

x（1）=a+（k-1）*h;x（2）=a+k*h;

x（3）=x（2）;x（4）=x（1）;

t=（x（3）+x（4））/2;

y（1）=0;y（2）=0;

y（3）=feval（fun，t）;y（4）=y（3）;

s=s+h*y（3）;

fill（x，y，[0 0 1]）;

hold on

end

fplot（fun，[a，b]）

hold off

然后編寫下列名為zhuchengxu.m的M文件，通過調用dingyi.m的M函數(shù)文件將直觀地動態(tài)展示定積分的定義過程，其中n為[a，b]所分成的子區(qū)間的個數(shù)。

a=0;b=6;c=（a+b）/2;

fun=inline（‘x+x.^2）;fun1=inline（‘-x-x.^2）;

[xmax，fval]=fminbnd（fun1，a，b）;

fval=-fval;

tol=;

for n=10：30

s=dingyi（fun，a，b，n）;

tol=[tol;n，s];

title（‘定積分的動態(tài)演示）;

strs=strcat（‘n=，num2str（n），‘，s=，num2str（s））;

text（c，fval，strs，‘HorizontalAlignment，‘center）;

pause（2）

end

調用zhuchengxu.m的M文件運行結果（動態(tài)演示的最后一步）如圖1所示。

圖1zhuchengxu.m運行結果

圖2不同n值運行結果

表1定積分定義過程中不同n值對應的運行結果

n積分和n積分和n積分和

1089.82001789.93772489.9688

1189.85121889.94442589.9712

1289.87501989.95012689.9734

1389.89352089.95502789.9753

1489.90822189.95922889.9770

1589.92002289.96282989.9786

1689.92972389.96603089.9800

調用下列程序計算積分的真值：

syms x;int（x+x2，0，6）

輸出結果為：90。

隨著n值的改變，zhuchengxu.m的運行結果如圖2所示。圖中顯示隨著子區(qū)間數(shù)目n值的增大，運行結果越接近于定積分的真值90.通過修改函數(shù)f（x）的表達式和積分區(qū)間[a，b]上述程序可實現(xiàn)不同函數(shù)對應于不同區(qū)間的定積分動態(tài)演示過程。

借助于MATLAB軟件將定積分的定義過程進行動態(tài)演示有助于學生對該部分內容的理解與掌握，調動學習興趣。在以后的授課過程中可結合軟件實現(xiàn)理論的直觀展示。

（作者單位：防災科技學院基礎課教學部）

資助基金：防災科技學院教研項目（JY2014B11）;河北省高等教育教學改革研究與實踐項目（2015GJJG256）。

參考文獻：

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[4]李娜等，MATLAB在高等數(shù)學教學中的應用研究[J].大學教育，2012，1（11）：66-67，74.