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    隨機(jī)利息力ARCH模型下的遞增定期壽險(xiǎn)

    2015-06-12 12:02:58劉凌晨
    關(guān)鍵詞:隨機(jī)性現(xiàn)值壽險(xiǎn)

    李 婷, 劉凌晨

    (1.山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院,山西 太原 030031;2.南開(kāi)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院,天津 300071)

    0 引 言

    人壽保險(xiǎn)是一項(xiàng)長(zhǎng)期性的業(yè)務(wù),利率和死亡率是壽險(xiǎn)精算業(yè)務(wù)中要考慮的最重要的因素。在傳統(tǒng)的精算當(dāng)中,利率假定是一個(gè)常數(shù),但利率具有很強(qiáng)的隨機(jī)性,會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)、政策等一系列因素發(fā)生變化。對(duì)于保險(xiǎn)公司,如果假定利息力是一個(gè)常數(shù),其隨機(jī)性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)消失,在這種假設(shè)情況下,存在的只有死亡風(fēng)險(xiǎn)。縱觀目前金融市場(chǎng),這一假定完全不符合現(xiàn)實(shí)情況,所以,研究利息力的隨機(jī)性具有重要的理論意義和實(shí)際意義。

    傳統(tǒng)的精算模型當(dāng)中,假定利率是一個(gè)常數(shù),但實(shí)際上利率具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。1971年,Pollard J.H.[1]首次把隨機(jī)利率引入精算領(lǐng)域,將利率作為隨機(jī)變量引入精算函數(shù)進(jìn)行研究。1976年,Boyle[2]假設(shè)利息力產(chǎn)生自白噪聲,研究了隨機(jī)利息力對(duì)精算函數(shù)的影響,結(jié)果表明,利息力在連續(xù)期間上存在相關(guān)性。1990年,F(xiàn)rees[3]研究了隨機(jī)利息力MA(1)模型,推導(dǎo)出了利息力的期望和方差。1994年,Haberman[4]把文獻(xiàn)[3]的可逆的一階平均移動(dòng)模型推廣到隨機(jī)利息力MA(2)模型,推導(dǎo)出了生存年金的一階、二階矩,但仍有其不足。1997年,Haberman[5]對(duì)隨機(jī)利息力移動(dòng)平均模型改進(jìn),研究了隨機(jī)利息力AR(1)模型的矩母函數(shù)。1998年,Dhaene[6]在Haberman的一階自回歸模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了利息力AR(2)模型的矩母函數(shù)及其性質(zhì),但該模型的主要不足是利息力的方差為一常數(shù)。2001年,Perry等[7]進(jìn)一步研究了AR(p)利息力模型下生存年金精算現(xiàn)值。國(guó)內(nèi)學(xué)者師應(yīng)來(lái)和蔡超[8]、解強(qiáng)和李秀芳[9]研究了隨機(jī)利息力ARMA(p,q)模型下的企業(yè)年金精算現(xiàn)值和生存年金精算現(xiàn)值問(wèn)題,其不足是假定利息力的殘差序列相互獨(dú)立且方差是定值。郭芳[10]建立隨機(jī)利息力ARCH模型,彌補(bǔ)了ARMA(p,q)模型的不足。文中基于隨機(jī)利息力ARCH模型,推導(dǎo)出遞增n年死亡保險(xiǎn)保費(fèi)公式、準(zhǔn)備金計(jì)提公式指出了隨機(jī)利息力ARCH模型在保險(xiǎn)精算業(yè)務(wù)中的應(yīng)用性。

    1 預(yù)備知識(shí)

    設(shè)δt是區(qū)間(t-1,t]上的利息力,則自回歸條件異方差A(yù)RCH模型為:

    其中a0,a1,…,at和l1,l2,…,lq為已知。

    引理1 未來(lái)k時(shí)刻單位價(jià)格1在0時(shí)刻的精算現(xiàn)值為:

    引理2 在隨機(jī)利息力ARCH模型下,未來(lái)k時(shí)刻1單位價(jià)值的精算現(xiàn)值為:

    其中

    2 基于隨機(jī)利息力ARCH模型下的遞增n年定期壽險(xiǎn)

    假設(shè)x歲的人(x)投保離散型的按算術(shù)數(shù)列遞增的n年期定期壽險(xiǎn),即若保險(xiǎn)人在第k+1個(gè)保單年度內(nèi)死亡,則在該年年度末支付保單受益人(k+1)元(k=0,1,2,…,n-1),假定均衡純保費(fèi)P,每期期初繳納,δk是(k-1,k]年度的利息力,為方便計(jì)算,定義兩個(gè)隨機(jī)變量:

    則遞增定期壽險(xiǎn)的損失變量為:

    定理1 假設(shè)死亡率與利息力相互獨(dú)立,則遞增的n年期定期死亡保險(xiǎn)投保人的均衡純保費(fèi)P為

    證明 由等價(jià)定理及隨機(jī)利率與隨機(jī)死亡率相互獨(dú)立得:

    將引理2代入上式,并整理得

    定理2 假設(shè)在遞增的n年期定期壽險(xiǎn)中,隨機(jī)死亡率與隨機(jī)利率相互獨(dú)立,投保人的均衡純保費(fèi)為P,則保險(xiǎn)公司對(duì)該保單在第k年的責(zé)任準(zhǔn)備金:

    證明 保險(xiǎn)人在k時(shí)的未來(lái)隨機(jī)損失變量為:

    記kV=E(kL),則由引理2可得:

    將定理1得到的均衡保費(fèi)P代入上式,并整理得

    3 結(jié) 語(yǔ)

    傳統(tǒng)的精算模型當(dāng)中,假定利率是一個(gè)常數(shù),但利率具有隨機(jī)性。自回歸移動(dòng)平均模型用殘差來(lái)代替一系列因素對(duì)利率產(chǎn)生的波動(dòng)影響,是較為符合實(shí)際情況的一種方法,比假定利率是常數(shù)更有說(shuō)服力。而隨機(jī)利息力ARCH模型主要考慮到異方差性,該因素比ARMA模型更加符合現(xiàn)實(shí)情況。文中正是基于隨機(jī)利息力ARCH模型給出更為符合客觀結(jié)果的遞增n年死亡保險(xiǎn)保費(fèi)公式、準(zhǔn)備金計(jì)提公式。保險(xiǎn)公司根據(jù)更為符合客觀結(jié)果的ARCH模型厘定保費(fèi)和計(jì)提準(zhǔn)備金,從而盡可能降低風(fēng)險(xiǎn),穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)。

    [1] Pollard J H.On fluctuating interest rates[J].Bull.Assoc.Roy.Actuaires Belge,1971,66:68-97.

    [2] Boyle P P.Rates return as random variables[J].Journal of Risk and Insurance,1976,43(4):693-713.

    [3] Frees E W.Stochastic life contingencies with solvency considerat ions[J].Transaction of Societies of Actuaries,1990(42):91-148.

    [4] Haberman S,Sung J H.Dynamic approaches to pension funding[J].Insurance:Mathematics and Economics,1994,15(23):151-162.

    [5] Haberman S.Stochastic investment returns and contribution rate risk in a defined benefit pension scheme[J].Insurance:Mathematics and Economics,1997,19(2):127-139.

    [6] Dhaene J.On approximating distribution by their de pril transforms[J].Scandinavian Actuarial Journal,1998(1):1-27.

    [7] Perry D,Stadje W.Long-Termstochastic interest rate models[J].Insurance Mathematics Economics,2001(29):73-82.

    [8] 師應(yīng)來(lái),蔡超.基于ARMA(p,q)模型的企業(yè)年金精算研究[J].數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究,2008(11):127-136.

    [9] 解強(qiáng),李秀芳.基于ARMA(p,q)利息力生存年金精算現(xiàn)值模型[J].數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí),2009(3):74-79.

    [10] 郭芳.隨機(jī)利率下的壽險(xiǎn)精算模型研究[D].北京:北京交通大學(xué),2008.

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