隨機(jī)利息力ARCH模型下的遞增定期壽險(xiǎn)

李 婷， 劉凌晨

（1.山西大學(xué)商務(wù)學(xué)院，山西 太原 030031；2.南開(kāi)大學(xué) 經(jīng)濟(jì)學(xué)院，天津 300071）

0 引 言

人壽保險(xiǎn)是一項(xiàng)長(zhǎng)期性的業(yè)務(wù)，利率和死亡率是壽險(xiǎn)精算業(yè)務(wù)中要考慮的最重要的因素。在傳統(tǒng)的精算當(dāng)中，利率假定是一個(gè)常數(shù)，但利率具有很強(qiáng)的隨機(jī)性，會(huì)隨著經(jīng)濟(jì)、政策等一系列因素發(fā)生變化。對(duì)于保險(xiǎn)公司，如果假定利息力是一個(gè)常數(shù)，其隨機(jī)性帶來(lái)的風(fēng)險(xiǎn)將會(huì)消失，在這種假設(shè)情況下，存在的只有死亡風(fēng)險(xiǎn)。縱觀目前金融市場(chǎng)，這一假定完全不符合現(xiàn)實(shí)情況，所以，研究利息力的隨機(jī)性具有重要的理論意義和實(shí)際意義。

傳統(tǒng)的精算模型當(dāng)中，假定利率是一個(gè)常數(shù)，但實(shí)際上利率具有很強(qiáng)的隨機(jī)性。1971年，Pollard J.H.［1］首次把隨機(jī)利率引入精算領(lǐng)域，將利率作為隨機(jī)變量引入精算函數(shù)進(jìn)行研究。1976年，Boyle［2］假設(shè)利息力產(chǎn)生自白噪聲，研究了隨機(jī)利息力對(duì)精算函數(shù)的影響，結(jié)果表明，利息力在連續(xù)期間上存在相關(guān)性。1990年，F(xiàn)rees［3］研究了隨機(jī)利息力MA（1）模型，推導(dǎo)出了利息力的期望和方差。1994年，Haberman［4］把文獻(xiàn)［3］的可逆的一階平均移動(dòng)模型推廣到隨機(jī)利息力MA（2）模型，推導(dǎo)出了生存年金的一階、二階矩，但仍有其不足。1997年，Haberman［5］對(duì)隨機(jī)利息力移動(dòng)平均模型改進(jìn)，研究了隨機(jī)利息力AR（1）模型的矩母函數(shù)。1998年，Dhaene［6］在Haberman的一階自回歸模型基礎(chǔ)上進(jìn)一步研究了利息力AR（2）模型的矩母函數(shù)及其性質(zhì)，但該模型的主要不足是利息力的方差為一常數(shù)。2001年，Perry等［7］進(jìn)一步研究了AR（p）利息力模型下生存年金精算現(xiàn)值。國(guó)內(nèi)學(xué)者師應(yīng)來(lái)和蔡超［8］、解強(qiáng)和李秀芳［9］研究了隨機(jī)利息力ARMA（p，q）模型下的企業(yè)年金精算現(xiàn)值和生存年金精算現(xiàn)值問(wèn)題，其不足是假定利息力的殘差序列相互獨(dú)立且方差是定值。郭芳［10］建立隨機(jī)利息力ARCH模型，彌補(bǔ)了ARMA（p，q）模型的不足。文中基于隨機(jī)利息力ARCH模型，推導(dǎo)出遞增n年死亡保險(xiǎn)保費(fèi)公式、準(zhǔn)備金計(jì)提公式指出了隨機(jī)利息力ARCH模型在保險(xiǎn)精算業(yè)務(wù)中的應(yīng)用性。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)δt是區(qū)間（t－1，t］上的利息力，則自回歸條件異方差A(yù)RCH模型為：

其中a0，a1，…，at和l1，l2，…，lq為已知。

引理1 未來(lái)k時(shí)刻單位價(jià)格1在0時(shí)刻的精算現(xiàn)值為：

引理2 在隨機(jī)利息力ARCH模型下，未來(lái)k時(shí)刻1單位價(jià)值的精算現(xiàn)值為：

其中

2 基于隨機(jī)利息力ARCH模型下的遞增n年定期壽險(xiǎn)

假設(shè)x歲的人（x）投保離散型的按算術(shù)數(shù)列遞增的n年期定期壽險(xiǎn)，即若保險(xiǎn)人在第k＋1個(gè)保單年度內(nèi)死亡，則在該年年度末支付保單受益人（k＋1）元（k＝0，1，2，…，n－1），假定均衡純保費(fèi)P，每期期初繳納，δk是（k－1，k］年度的利息力，為方便計(jì)算，定義兩個(gè)隨機(jī)變量：

則遞增定期壽險(xiǎn)的損失變量為：

定理1 假設(shè)死亡率與利息力相互獨(dú)立，則遞增的n年期定期死亡保險(xiǎn)投保人的均衡純保費(fèi)P為

證明 由等價(jià)定理及隨機(jī)利率與隨機(jī)死亡率相互獨(dú)立得：

得

將引理2代入上式，并整理得

定理2 假設(shè)在遞增的n年期定期壽險(xiǎn)中，隨機(jī)死亡率與隨機(jī)利率相互獨(dú)立，投保人的均衡純保費(fèi)為P，則保險(xiǎn)公司對(duì)該保單在第k年的責(zé)任準(zhǔn)備金：

證明 保險(xiǎn)人在k時(shí)的未來(lái)隨機(jī)損失變量為：

記kV＝E（kL），則由引理2可得：

將定理1得到的均衡保費(fèi)P代入上式，并整理得

3 結(jié) 語(yǔ)

傳統(tǒng)的精算模型當(dāng)中，假定利率是一個(gè)常數(shù)，但利率具有隨機(jī)性。自回歸移動(dòng)平均模型用殘差來(lái)代替一系列因素對(duì)利率產(chǎn)生的波動(dòng)影響，是較為符合實(shí)際情況的一種方法，比假定利率是常數(shù)更有說(shuō)服力。而隨機(jī)利息力ARCH模型主要考慮到異方差性，該因素比ARMA模型更加符合現(xiàn)實(shí)情況。文中正是基于隨機(jī)利息力ARCH模型給出更為符合客觀結(jié)果的遞增n年死亡保險(xiǎn)保費(fèi)公式、準(zhǔn)備金計(jì)提公式。保險(xiǎn)公司根據(jù)更為符合客觀結(jié)果的ARCH模型厘定保費(fèi)和計(jì)提準(zhǔn)備金，從而盡可能降低風(fēng)險(xiǎn)，穩(wěn)定經(jīng)營(yíng)。

［1］ Pollard J H.On fluctuating interest rates［J］.Bull.Assoc.Roy.Actuaires Belge，1971，66：68－97.

［2］ Boyle P P.Rates return as random variables［J］.Journal of Risk and Insurance，1976，43（4）：693－713.

［3］ Frees E W.Stochastic life contingencies with solvency considerat ions［J］.Transaction of Societies of Actuaries，1990（42）：91－148.

［4］ Haberman S，Sung J H.Dynamic approaches to pension funding［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1994，15（23）：151－162.

［5］ Haberman S.Stochastic investment returns and contribution rate risk in a defined benefit pension scheme［J］.Insurance：Mathematics and Economics，1997，19（2）：127－139.

［6］ Dhaene J.On approximating distribution by their de pril transforms［J］.Scandinavian Actuarial Journal，1998（1）：1－27.

［7］ Perry D，Stadje W.Long－Termstochastic interest rate models［J］.Insurance Mathematics Economics，2001（29）：73－82.

［8］ 師應(yīng)來(lái)，蔡超.基于ARMA（p，q）模型的企業(yè)年金精算研究［J］.數(shù)量經(jīng)濟(jì)技術(shù)經(jīng)濟(jì)研究，2008（11）：127－136.

［9］ 解強(qiáng)，李秀芳.基于ARMA（p，q）利息力生存年金精算現(xiàn)值模型［J］.數(shù)學(xué)的實(shí)踐與認(rèn)識(shí)，2009（3）：74－79.

［10］ 郭芳.隨機(jī)利率下的壽險(xiǎn)精算模型研究［D］.北京：北京交通大學(xué)，2008.