一種三自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊的剛度分析

宋軼民，翟學(xué)東，孫 濤，董 罡，連賓賓

一種三自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊的剛度分析

宋軼民，翟學(xué)東，孫 濤，董 罡，連賓賓

(天津大學(xué)機(jī)構(gòu)理論與裝備設(shè)計(jì)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，天津 300072)

研究了一種三自由度并聯(lián)模塊的剛度建模方法．該模塊采用冗余驅(qū)動(dòng)技術(shù)，可滿足攪拌摩擦焊作業(yè)高剛度、大工作空間/機(jī)座體積比要求．分析了該模塊的結(jié)構(gòu)組成與工作原理，并應(yīng)用螺旋理論建立其剛度解析模型，所獲廣義雅可比矩陣與驅(qū)動(dòng)/約束剛度矩陣物理含義清晰．借助有限元分析驗(yàn)證剛度解析模型的有效性，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)全域剛度性能預(yù)估，為該模塊的剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)及物理樣機(jī)開發(fā)提供了理論依據(jù)．

并聯(lián)機(jī)構(gòu)；冗余驅(qū)動(dòng)；剛度；螺旋理論；廣義雅可比矩陣

攪拌摩擦焊是英國焊接研究所于1991年首創(chuàng)的一種新型固態(tài)焊接技術(shù)，現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于深海鋼結(jié)構(gòu)裂紋修復(fù)、高壓油氣管道在線開孔作業(yè)中[1]．為提供足夠的法向壓力并相對待焊接對象移動(dòng)，現(xiàn)有攪拌摩擦焊裝備多為龍門式串聯(lián)構(gòu)型，其體積龐大，制造成本高[2]．

近年來，以Tricept[3]、Exechon等為代表的一類五坐標(biāo)混聯(lián)構(gòu)型裝備，因具有剛度高、工作空間/機(jī)座體積比大、可重構(gòu)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，受到了學(xué)術(shù)界與工業(yè)界的廣泛關(guān)注．其中，西班牙PKM公司開發(fā)的Tricept 9000型五坐標(biāo)混聯(lián)作業(yè)單元，已成功應(yīng)用于攪拌摩擦焊作業(yè)[4]．

為突破國際專利技術(shù)壁壘，黃田等[5]發(fā)明了一種新型五坐標(biāo)混聯(lián)作業(yè)單元——Tricept-IV．該作業(yè)單元由一個(gè)三自由度并聯(lián)模塊(3-UPS&UPP 機(jī)構(gòu))與一個(gè)二自由度轉(zhuǎn)頭(A/C轉(zhuǎn)頭)串接而成．研究表明，因采用了冗余驅(qū)動(dòng)技術(shù)，該并聯(lián)模塊可獲得更大的工作空間/機(jī)座體積比[6]，且可調(diào)節(jié)各支鏈伺服電機(jī)功率分配[7]．

剛度設(shè)計(jì)是并/混聯(lián)構(gòu)型裝備性能設(shè)計(jì)的重要環(huán)節(jié)之一．為研制上述具有我國自主知識產(chǎn)權(quán)的混聯(lián)構(gòu)型攪拌摩擦焊裝備，必須深入開展剛度分析/預(yù)估技術(shù)研究，以便為物理樣機(jī)詳細(xì)機(jī)械結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)提供理論依據(jù)．

近年來，國內(nèi)外學(xué)者已對并/混聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能進(jìn)行了深入的研究．Goldsmith[8]應(yīng)用結(jié)構(gòu)矩陣分析法建立了3-UPU機(jī)構(gòu)的剛度解析模型．Company等[9]借助矢量法和變形疊加原理，研究了一種三坐標(biāo)并聯(lián)機(jī)床的運(yùn)動(dòng)學(xué)與剛度設(shè)計(jì)問題．Tsai等[10]分析了3-RUU等三自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)的剛度性能，但僅計(jì)入了驅(qū)動(dòng)裝置的彈性．Zhang等[11]應(yīng)用螺旋理論，并引入虛設(shè)鉸鏈約束，構(gòu)造出了Tricept機(jī)構(gòu)的剛度解析模型．此外，Wang等[12]借助有限元技術(shù)，預(yù)估了五自由度混聯(lián)機(jī)器人TriVariant的剛度性能．需要指出的是，上述研究均未涉及冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)構(gòu)．

考慮到A/C轉(zhuǎn)頭的剛度問題相對簡單，本文以Tricept-IV作業(yè)單元的冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊為研究對象，應(yīng)用螺旋理論創(chuàng)建其剛度解析模型，進(jìn)而預(yù)估其全域剛度分布規(guī)律，以期為后續(xù)的剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)奠定基礎(chǔ)．

1 機(jī)構(gòu)組成及工作原理

如圖1所示，該冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊由靜平臺、動(dòng)平臺、3條UP S支鏈和1條UPP,支鏈組成；U、P、S分別表示虎克鉸鏈、移動(dòng)副和球鉸鏈，,P,表示主動(dòng)移動(dòng)副．機(jī)構(gòu)初始位形時(shí)，3條UP S支鏈關(guān)于UPP,支鏈呈軸對稱分布．UPS支鏈一端通過虎克鉸鏈與靜平臺相連，另一端通過球鉸鏈與動(dòng)平臺相連．UPP,支鏈一端通過虎克鉸鏈與靜平臺相連，中部通過絲杠螺母副與動(dòng)平臺相連，末端則與A/C轉(zhuǎn)頭(圖1中未示出)固接．

圖1 三自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊虛擬樣機(jī)Fig.1 Virtual prototype of 3-DOF redundantly actuated parallel module

UP S支鏈與UPP,支鏈的機(jī)械結(jié)構(gòu)組成分別如圖2和圖3所示．

該冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)示意如圖4所示．其中，點(diǎn)Bi(i=1,2,3)為第i條UPS 支鏈連架虎克鉸鏈中心，點(diǎn)Ai(i=1,2,3)為第i條UPS支鏈球鉸鏈中心；點(diǎn)O為UPP,支鏈連架虎克鉸鏈中心，點(diǎn)A4為UPP,支鏈經(jīng)絲杠螺母副與動(dòng)平臺的連接點(diǎn)．定義由點(diǎn)Bi(i=1,2,3)構(gòu)成的等邊三角形為靜平臺，由點(diǎn)Ai(i=1,2,3,4)構(gòu)成的正三棱錐為動(dòng)平臺，其底面為等邊三角形△A1A2A3．需要指出的是，UPP,支鏈中兩移動(dòng)副軸線重合且正交于△A1A2A3．

圖2 UPS支鏈的機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.2 Structure diagram of UPS limb

圖3 UPP支鏈的機(jī)械結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure diagram of UPPlimb

圖4 三自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)示意Fig.4 chematic diagram of motion of 3-DOF redundantly actuated parallel module

如圖4所示，該模塊為一球坐標(biāo)型并聯(lián)機(jī)構(gòu)，其自由度數(shù)目為3．如鎖定UPP,支鏈P,副，該模塊將退化為3-UP S&UP機(jī)構(gòu)，通過各UPS支鏈P,副的相互配合，UPP,支鏈末端點(diǎn)可到達(dá)工作空間內(nèi)某點(diǎn)A5．之后，如鎖定各UPS支鏈P,副并釋放UPP,支鏈P,副，因螺母與動(dòng)平臺固接(參見圖3)，UPP,支鏈將相對動(dòng)平臺移動(dòng)，其末端點(diǎn)可到達(dá)工作空間內(nèi)另一點(diǎn)A6．如各支鏈P,副同時(shí)驅(qū)動(dòng)，該模塊則可實(shí)現(xiàn)上述兩運(yùn)動(dòng)的合成．因此，該冗余驅(qū)動(dòng)模塊可實(shí)現(xiàn)更大的工作空間[6]，并可調(diào)節(jié)各支鏈伺服電機(jī)的功率分配[7]．

為準(zhǔn)確描述該模塊的運(yùn)動(dòng)，建立如圖4所示的坐標(biāo)系．以△B1B2B3中心點(diǎn)O為原點(diǎn)建立固定坐標(biāo)系O-xyz，其x軸與UPP,支鏈連架虎克鉸鏈外圈軸線重合，z軸正交于靜平臺并指向動(dòng)平臺，y軸滿足右手定則．分別以點(diǎn)A5、A6為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)5x′y′z′和A6x′′y′′z′′，其坐標(biāo)軸與Oxyz的坐標(biāo)軸保持瞬時(shí)平行.圖4中，s1,i和s2,i(i＝1，2，3)分別表示第i條UP S支鏈連架虎克鉸鏈外圈和內(nèi)圈軸線的單位矢量；qi和s3,i(i＝1，2，3)分別表示第i條UP S支鏈的長度及其軸線單位矢量；s1,4和s2,4分別表示UPP,支鏈連架虎克鉸鏈外圈和內(nèi)圈軸線的單位矢量；q4和qp分別表示點(diǎn)O至點(diǎn)A5的距離和點(diǎn)A5至點(diǎn)A6的距離，ai(i＝1，2，3)為點(diǎn)A5至點(diǎn)Ai的矢量；s3,4表示UPP,支鏈軸線的單位矢量．

此外，為構(gòu)建該模塊的剛度解析模型，以點(diǎn)A5為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)5uvw，其v軸與UPP,支鏈連架虎克鉸鏈內(nèi)圈軸線保持瞬時(shí)平行，w軸與UPP,支鏈軸線保持瞬時(shí)平行，u軸滿足右手定則．以點(diǎn)A6為原點(diǎn)建立動(dòng)坐標(biāo)系A(chǔ)6u′v′w′，其坐標(biāo)軸與A5uvw的坐標(biāo)軸保持瞬時(shí)平行．

2 廣義雅可比矩陣

本文用射線坐標(biāo)描述運(yùn)動(dòng)螺旋，用軸線坐標(biāo)描述力螺旋[13]．

如前所述，如鎖定UPP,支鏈P,副，該模塊可等效為3-UPS&UP機(jī)構(gòu)．此時(shí)，UPP,支鏈末端點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)5x′y′z′下的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋$t,A5可表示為

式中：03×1為3行1列零矩陣；ai=Rai′，a′i為點(diǎn)Ai在坐標(biāo)系A(chǔ)5uvw下的位移矢量；R為坐標(biāo)系A(chǔ)5uvw相對于坐標(biāo)系A(chǔ)5x′y′z′的姿態(tài)轉(zhuǎn)換矩陣，且

定義$?wa,3,i為第i條UPS支鏈中與其P,副對應(yīng)的單位驅(qū)動(dòng)力螺旋，$?wc,j,4為UPP,支鏈中與第jc個(gè)單位受限

c螺旋對應(yīng)的單位約束力螺旋．將式(1)兩端關(guān)于$?wa,3,i作內(nèi)積，得

將式(2)兩端關(guān)于$?wc,jc,4作內(nèi)積，得

當(dāng)UPP,支鏈末端點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)A5時(shí)，如鎖定各UPS支鏈P,副并釋放UPP,支鏈P,副，通過絲杠螺母副，UPP,支鏈末端將沿其軸線相對于動(dòng)平臺移動(dòng)至點(diǎn)A6．此時(shí)，靜平臺、動(dòng)平臺及3條UP S支鏈可等效為一新的靜平臺，而該模塊則可等效為一僅能沿UPP支鏈軸線移動(dòng)的P,支鏈．此時(shí)，UPP,支鏈末端點(diǎn)在坐標(biāo)系A(chǔ)6x′′y′′z′′下的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)螺旋$t,A6可表示為

式中：$?ta,1,5、δρa(bǔ),1,5分別為該等效支鏈的單位許動(dòng)螺旋及沿該單位許動(dòng)螺旋的線變形；$?tc,j,5、δρc,j,5分別

cc為該等效支鏈中第jc(jc＝1～5)個(gè)單位受限螺旋及沿(繞)該單位受限螺旋的線(角)變形，且

定義$?wa,1,5為UPP,支鏈中與P,副對應(yīng)的單位驅(qū)動(dòng)力螺旋，將式(5)兩端關(guān)于$?wa,1,5作內(nèi)積，得

由圖4以及點(diǎn)A6相對于點(diǎn)A5的運(yùn)動(dòng)，可知

式中：tT為射線坐標(biāo)描述方法下坐標(biāo)系5Axyz′′′′′′相對于坐標(biāo)系6Axyz′′′′′′的66×變換矩陣；Ei為i階單位矩陣；3,4[]×s為3,4s的反對稱矩陣[14]．

將式(3)、(4)、(6)及(7)合并，并改寫成矩陣形式得

式(8)又可改寫為

式中：J、aJ及cJ分別為該冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊的廣義雅可比矩陣及其驅(qū)動(dòng)、約束子雅可比矩陣．

3 剛度解析模型

不失一般性，在構(gòu)造上述冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊的剛度解析模型時(shí)，視靜平臺、動(dòng)平臺均為理想剛體，忽略各軸承的接觸變形，并假定其余各零部件變形均屬線彈性小變形范疇、各鉸鏈所受約束均為理想約束．

由靜力學(xué)可知，作用于該模塊UPP,支鏈末端的外力螺旋應(yīng)與各支鏈提供的驅(qū)動(dòng)力螺旋及約束力螺旋構(gòu)成一個(gè)平衡力系．由圖4可知，作用于UPP,支鏈末端的外力螺旋$w，其一部分由UPP,支鏈提供的驅(qū)動(dòng)力螺旋和約束力螺旋平衡，而另一部分則需通過絲杠螺母副由3條UPS支鏈提供的驅(qū)動(dòng)力螺旋平衡．因此，有

式中：fa,3,i、fc,j,4、fa,1,5用以度量$?wa,3,i、$?wc,j,4及$?wa,1,5

c c對$w的貢獻(xiàn)；Tw為軸線坐標(biāo)描述方法下坐標(biāo)系A(chǔ)5x′y′z′相對于坐標(biāo)系A(chǔ)6x′′y′′z′′的6×6變換矩陣．

將式(13)、(14)代入式(12)，并注意到T=T-T，

wt

可得

根據(jù)虎克定律可知，

式中：Ka=diag[ka,i]，ka,i(i＝1，2，3)為第i條UPS支鏈沿其軸線方向的等效剛度系數(shù)，ka,4為UPP,支鏈沿其軸線方向的等效剛度系數(shù)；Kc=diag[kc,jc,4]，kc,jc,4(jc＝1，2，3)為UPP,支鏈中第jc個(gè)單位受限螺旋方向的等效剛度系數(shù)．

將式(16)、(17)、(9)、(10)代入式(15)，得

式中K、Ka及Kc分別為該模塊的剛度矩陣、驅(qū)動(dòng)剛度矩陣及約束剛度矩陣．

根據(jù)UP S、UPP,支鏈的機(jī)械結(jié)構(gòu)(見圖2和圖3)，可將其抽象為串聯(lián)彈簧系統(tǒng)[15]，并獲得其剛度系數(shù)分別為

式中：ka,i,m(m＝1，2，…，7)分別表示第i條UP S支鏈中球鉸鏈、伸縮桿、螺母、絲杠、軸承、套筒及虎克鉸鏈沿該支鏈軸向的剛度系數(shù)；ka,4,m(m＝1，2，…，5)分別表示UPP,支鏈中套筒、螺母、絲杠、軸承及虎克鉸鏈沿該支鏈軸向的剛度系數(shù)．

需要指出的是，式(17)中，kc,2,4為UPP,支鏈沿其連架虎克鉸鏈內(nèi)圈軸線s2,4方向的等效剛度系數(shù)，物理含義明確；而由kc,1,4和kc,3,4分別表示的UPP,支鏈繞n1,4方向和沿n2,4方向的等效剛度系數(shù)，其物理含義并不明確，難以獲得解析表達(dá)式．由該模塊機(jī)械結(jié)構(gòu)特點(diǎn)可知，UP S支鏈只提供驅(qū)動(dòng)而不提供約束，UPP,支鏈既提供驅(qū)動(dòng)又提供約束；即當(dāng)UPP,支鏈末端受到外力螺旋作用時(shí)，UPS支鏈只提供沿其支鏈軸線方向的驅(qū)動(dòng)力螺旋而不提供約束力螺旋，而UPP,支鏈則需提供1個(gè)驅(qū)動(dòng)力螺旋、2個(gè)約束力螺旋及1個(gè)約束力偶螺旋．

為獲得約束剛度矩陣的具體表達(dá)，在坐標(biāo)系A(chǔ)6x′′y′′z′′下，可將UPP支鏈的受限螺旋用另一組單位受限螺旋表示，即

式中：$?tc,1和$?tc,2分別表示UPP,支鏈末端沿n2,4和s2,4的單位撓度；$?tc,3和$?tc,4分別表示UPP,支鏈末端繞n2,4和s2,4的單位轉(zhuǎn)角；$?tc,5表示UPP,支鏈末端繞s3,4的單位扭角．

同理，在坐標(biāo)系A(chǔ)6x′′y′′z′′下，將UPP,支鏈所產(chǎn)生的約束力螺旋用另一組單位力螺旋表示，即

式中：$?wc,1和$?wc,2分別表示UPP支,鏈末端沿n2,4和s2,4方向的單位剪力；$?wc,3和$?wc,4分別表示UPP,支鏈末端繞n2,4和s2,4方向的單位彎矩；$?wc,5表示UPP,支鏈末端繞s3,4方向的單位扭矩．

因此，式(2)可改寫為

式中δρa(bǔ),ja,4和δρc,mc(mc＝1，2，…，5)分別為沿(繞)軸線的線(角)變形．

因UPP,支鏈末端繞$?tc,3和$?tc,4軸線的角變形δρc,3和δρc,4與沿$?tc,1和$?tc,2軸線的線變形δρc,1和δρc,2耦合，根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件，可將δρc,3和δρc,4用δρc,1和δρc,2表示[12]，有

將式(21)兩端關(guān)于$?wc,k,4(kc=1,2,3)做內(nèi)積，并

c與式(7)、(22)聯(lián)立，可得[16]

同理，在坐標(biāo)系A(chǔ)6x′′y′′z′′下，UPP,支鏈的約束力螺旋Tw$wc可用一組單位螺旋(kc＝1，2，3)表示，也可用上述定義的另一組單位螺旋(mc＝1，2，…，5)線性表示，即

式中fc,m(mc＝1，2，…，5)用以度量$?wc,m對$wc的

cc貢獻(xiàn)．

注意到式(21)兩端表示同一力螺旋，在相同的受限螺旋上做功相等．對式(21)兩端關(guān)于$t,A6作內(nèi)積，并將式(19)代入其中，即可建立fc,kc,4和fc,mc間的映射關(guān)系，即

由虎克定律知

式中：Ke為UPP,支鏈超單元的4×4界面彎曲剛度矩陣[12]；kα為UPP,支鏈末端繞軸線s3,4的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)，且

式中kα,i(i＝1，2，3)依次表示UPP,支鏈套筒前段、套筒后段及連架虎克鉸鏈繞該支鏈軸線的扭轉(zhuǎn)剛度系數(shù)(見圖3)．

將式(23)、(26)代入式(25)，得

將式(27)兩端左乘JT，并代入式(15)，可得

c

由此，可得該冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊的約束剛度矩陣Kc的具體表達(dá)式．

4 全域剛度預(yù)估

為方便全域剛度預(yù)估及后續(xù)剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)，將坐標(biāo)系A(chǔ)6x′y′z′下描述的剛度矩陣K轉(zhuǎn)換至坐標(biāo)系A(chǔ)6uvw下，可得該并聯(lián)模塊的整機(jī)剛度矩陣Ks為

不失一般性，給定該模塊的工作空間為一半徑R=400mm、高h(yuǎn)=300mm的圓柱體，如圖5所示．

當(dāng)鎖定UPP,支鏈P,副時(shí)，該模塊工作空間為一半徑400,mm、高100,mm的圓柱體．當(dāng)釋放UPP,支鏈P,副時(shí)，UPP,支鏈末端又可伸長h2＝200,mm．借助該模塊的虛擬樣機(jī)模型(見圖1)，針對工作空間中的典型位姿(見圖5)，利用商用軟件建立其有限元模型并求解模塊末端的各向剛度．位姿Ⅰ處，各UPS支鏈呈軸對稱分布，UPP,支鏈P,副伸長量達(dá)到最大值(200,mm)；位姿Ⅱ處，其UPP,支鏈P,副伸長量亦達(dá)到最大值，而此時(shí)模塊末端位于工作空間的邊緣處．

圖5 工作空間典型位姿Fig.5 Typical positions in the workspace

上述典型位姿處，剛度解析模型和有限元模型的計(jì)算結(jié)果如表1所示．

表1 剛度解析模型與有限元模型計(jì)算結(jié)果對比Tab.1 Comparison between analytical and FEA numerical results of stiffness models

在未計(jì)入靜、動(dòng)平臺彈性和忽略軸承接觸變形的前提下，解析模型和有限元模型的計(jì)算誤差小于15%．因此，上述剛度解析模型是有效的，可用以預(yù)估該模塊的全域剛度分布．

根據(jù)各零部件剛度，由解析模型可求得坐標(biāo)系A(chǔ)6uvw下，該模塊末端A6(x,y,z)在其工作空間上(z=1400mm)、中(z=1500mm)、下(z=1700mm)平面上的各向剛度分布情況．圖6中，klu、klv、klw分別表示沿u、v及w軸的線剛度；kau、kav、kaw分別表示繞u、v及w軸的角剛度．由圖6可知：

(1) 當(dāng)末端z坐標(biāo)一定時(shí)，各向剛度分布均關(guān)于x、y軸對稱；

(2) 當(dāng)末端z坐標(biāo)一定時(shí)，隨著(x2+y2)增大，各向剛度單調(diào)遞減；

(3) 當(dāng)末端22()xy+一定時(shí)，隨著z坐標(biāo)增大，各向剛度單調(diào)遞減．

此外，由表1及圖6可知：各向線剛度中，klw最大，klu與klv接近；各向角剛度中，kau、kav接近，kaw最?。?/p>

上述線(角)剛度分布特征與該冗余驅(qū)動(dòng)模塊中各支鏈、鉸鏈布置方式有關(guān)，且符合材料力學(xué)常識，進(jìn)一步驗(yàn)證了剛度解析模型的有效性．

圖6 三自由度冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊各向剛度分布Fig.6 Stiffness distribution of 3-DOF redundantly actuated parallel module

5 結(jié) 論

(1) 以新型五坐標(biāo)混聯(lián)構(gòu)型裝備Tricept-IV的冗余驅(qū)動(dòng)并聯(lián)模塊為研究對象，借助螺旋理論構(gòu)建了該模塊的靜剛度半解析模型，所推導(dǎo)的廣義雅可比矩陣及驅(qū)動(dòng)/約束剛度矩陣具有清晰的物理含義．

(2) 典型位姿處有限元分析及全域剛度預(yù)估結(jié)果表明，所建立的靜剛度解析模型有效，可用以指導(dǎo)該模塊的剛度優(yōu)化設(shè)計(jì)及物理樣機(jī)開發(fā)．

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(責(zé)任編輯：金順愛)

Stiffness Analysis of a 3-DOF Redundantly Actuated Parallel Module

Song Yimin，Zhai Xuedong，Sun Tao，Dong Gang，Lian Binbin
(Key Laboratory of Mechanism Theory and Equipment Design of Ministry of Education，Tianjin University，Tianjin 300072，China)

Stiffness modeling method of a 3-degree-of-freedom(3-DOF)parallel module was studied. The redundant joint of the module could meet the requirements of the friction-stir welding for high stiffness and large ratio of workspace to base. The topology structure and working mechanism of the module were analyzed and the stiffness model of the parallel module was established based on screw theory，whose Jacobian matrices of actuations and constraints were of clear physical implication. Effectiveness of the stiffness model was validated using finite element method and stiffness evaluation of the whole workspace was achieved，which provides theoretical foundation for optimal stiffness design and physical prototype development of the redundantly actuated parallel module.

parallel mechanism；redundantly actuated；stiffness；screw theory；generalized Jacobian matrix

TP241.2

A

0493-2137(2015)01-0025-08

10.11784/tdxbz201309083

2013-09-23；

2013-10-29.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(51475321，51075295，51205278)；高等學(xué)校博士學(xué)科點(diǎn)專項(xiàng)科研基金資助項(xiàng)目(2012003211003，2012003212003)；天津市應(yīng)用基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計(jì)劃資助項(xiàng)目(11JCZDJC22700，13JCQNJC04600).

宋軼民（1971— ），男，博士，教授，ymsong@tju.edu.cn.

孫 濤，stao@tju.edu.cn.

時(shí)間：2014-01-03．

http：//www.cnki.net/kcms/doi/10.11784/tdxbz201309083.html.