等分三角形面積的直線的可視化探究

●陳咸存 (寧波教育學(xué)院 浙江寧波 315010)

等分三角形面積的直線的可視化探究

●陳咸存 (寧波教育學(xué)院 浙江寧波 315010)

文獻(xiàn)［1］考慮了平分三角形面積的直線的存在性，且給出了滿足條件的直線方程.本文將分別用傳統(tǒng)演繹推理及現(xiàn)代信息技術(shù)考慮一般情形即n(其中n≥1)等分三角形面積的直線的存在性，并補(bǔ)充文獻(xiàn)［1］中的遺漏情形.

1 演繹推理

如圖1，假設(shè)n(其中n≥1)等分△ABC面積的直線存在.設(shè)該直線為 l，則 l必與△ABC的2條邊相交，不妨設(shè)與邊BC，CA分別交于點(diǎn)D，E，且.建立如圖1所示的直角坐標(biāo)系，設(shè)S△ABC=S，|BC|=a，|CA|=b，|AB|=c，|CD|=λ，|CE|=μ，∠ACB= θ，則D(λ，0)，E(μcosθ，μsinθ)，從而得到直線l的方程為

圖1

2 信息技術(shù)

下面將用數(shù)學(xué)軟件“幾何畫板”來探究等分三角形面積的直線問題，從線包絡(luò)、點(diǎn)軌跡這2個角度直觀顯示相應(yīng)結(jié)論，形象把握數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征.

2.1 線包絡(luò)

如圖2，用幾何畫板［變換］菜單中的［縮放］作出點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)C(中心)的縮放點(diǎn)B'，即，顯 然.選中線段BB'，在［構(gòu)造］菜單中的［線段上的點(diǎn)］得線段BB'上的點(diǎn)D，聯(lián)結(jié)DA，過點(diǎn)B'作B'E∥DA交 AC于點(diǎn) E，聯(lián)結(jié) DE.易證 S△B'EA= S△B'ED'，則 S△AB'C=S△CDE，因而，故DE為n等分△ABC面積的一條直線.同時選中點(diǎn)D及線段DE，在［構(gòu)造］菜單中的［軌跡］可得過線段CB上的點(diǎn)且n等分△ABC面積的所有直線(如圖3所示)，即為過線段CB上的點(diǎn)且n等分△ABC面積的直線的包絡(luò).類似可得過△ABC另2條邊AB，AC上的點(diǎn)且n等分△ABC面積的所有直線(如圖4所示).特殊地，可得平分△ABC面積的所有直線(如圖5所示).

圖2

圖3

圖4

圖5

圖6

2.2 點(diǎn)軌跡

我們知道點(diǎn)軌跡與直線包絡(luò)相互對偶，由第1部分的結(jié)論知圖3中過線段CB上的點(diǎn)且n等分△ABC面積的直線的包絡(luò)對偶的點(diǎn)的軌跡為方程(5).如圖2，用幾何畫板可先作線段DE的中點(diǎn)F，同時選中點(diǎn)D及點(diǎn)F，在［構(gòu)造］菜單中的［軌跡］可得過線段CB上的點(diǎn)且n等分△ABC面積的直線的包絡(luò)的對偶的點(diǎn)的軌跡(如圖6所示).類似可得另2條邊AB，AC上滿足條件的相應(yīng)的點(diǎn)的軌跡(如圖7所示).特殊地，可得到平分△ABC面積的直線包絡(luò)相應(yīng)的點(diǎn)的軌跡(如圖8所示).

圖7

圖8

由圖5、圖8易得平分三角形面積的直線的結(jié)論:

結(jié)論設(shè)P為平面內(nèi)任一點(diǎn)，則

1)當(dāng)P為曲邊△LMN內(nèi)一點(diǎn)時，過點(diǎn)P有3條直線平分△ABC的面積;

2)當(dāng)P為曲邊△LMN邊上一點(diǎn)時(除頂點(diǎn)L，M，N)，過點(diǎn)P有2條直線平分△ABC的面積;

3)當(dāng)P為曲邊△LMN外的點(diǎn)或點(diǎn)L，M，N時，過點(diǎn)P有1條直線平分△ABC的面積.

可見文獻(xiàn)［1］關(guān)于過點(diǎn)P平分△ABC的面積的直線問題中遺漏了點(diǎn)P在曲邊△LMN邊上的情形.另外從圖5可見任給一方向，有且僅有1條以此為方向的直線平分△ABC的面積.

顯然文中的n∈R(不必要求n∈N).

［1］ 潘洪亮.等分三角形面積的直線［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)，1996(4):19-20.

［2］ 李勤儉.直線等分三角形面積的一般性思考［J］.數(shù)學(xué)通報，2010(8):28-29.

［3］ 范文貴.基于信息技術(shù)開展數(shù)學(xué)探究可視化的研究［J］.中國電化教育，2008(8):69-73.