曲邊三角形上的Baskakov型算子

(杭州電子科技大學(xué)數(shù)學(xué)研究所，浙江 杭州310018)

0 引 言

算子逼近是數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域中的重要課題。它在許多行業(yè)都有廣泛的應(yīng)用，如機(jī)械制造、動(dòng)力系統(tǒng)分析、導(dǎo)彈軌跡等。Baskakov算子是由Baskakov 利用概率論的幾何分布提出來(lái)的一類(lèi)新的算子。近年來(lái)Baskakov算子在國(guó)際數(shù)學(xué)界又引起了廣泛的興趣，并取得了重要的研究成果[1-5]。同時(shí)隨著q-Bernstein 算子的提出，又有人提出了q-Baskakov算子，并得到了這些方面的很多很好的性質(zhì)[6，7]。關(guān)于插值逼近在許多算子逼近的研究中也有應(yīng)用[]7 。樣條分析在實(shí)際應(yīng)用中更具有一般而直觀的效果。曲邊三角形在算子逼近中的應(yīng)用也受到了廣大學(xué)者的青睞。文獻(xiàn)8 中給出了Bernstein 算子在曲邊三角形中的逼近性質(zhì)研究，并且得到了很好的結(jié)果。本文利用Baskakov算子在曲邊三角形上的逼近性質(zhì)，給出相應(yīng)逼近結(jié)果。

1 相關(guān)定義

在區(qū)間[g2(y)，g3(y)]和[f1(y)，f3(y)]，x ∈[0，h]上來(lái)探討，定義插入點(diǎn):Δxm=并定義Baskakov算子Vxm和Vyn分別為:其中:pn，k(x，y)=這樣可以看到，Vxm表示的是一個(gè)從V1開(kāi)始沿不同路徑到達(dá)橫坐標(biāo)軸的一系列點(diǎn)列構(gòu)成的點(diǎn)陣 (eij);同時(shí)Vyn表示的是從V2開(kāi)始到達(dá)縱坐標(biāo)軸的一系列點(diǎn)構(gòu)成的點(diǎn)陣 (eij)。

2 主要結(jié)論及證明

定理1 對(duì)于定義在曲邊三角形Th上的實(shí)函數(shù)F，以上定義的Baskakov算子Vxm和Vyn具有下列Korovkin型性質(zhì):

(1)在γ2∪γ3上，有:VxmF 收斂到F，即VxmF=F;

(2)在γ1∪γ3上，有:VynF 收斂到F，即VynF=F;

(3)對(duì) 于 Vxm，在點(diǎn)陣上有:

(4)對(duì) 于 Vyn，在點(diǎn)陣上也有:和

證明 (1)由上面關(guān)于pm，i(x，y)和pn，j(x，y)的定義，并且經(jīng)典的Baskakov算子滿(mǎn)足Korovkin 定理知道此時(shí)有:同理對(duì)于pn，j(x，f1(x))有:pn，j(x，f1(x))1，這樣:VynF=F。

(2)在γ1∪γ3上，對(duì)于VynF 利用上面的證明可知:VynF 收斂到F 即VynF=F 成立。

(4)同(3)的證明過(guò)程，結(jié)論顯然。

定理2 設(shè)F(·，y)∈C[g2(y)，g3(y)]，y∈[0，h]，那么:

其中ω (F(·，y);δ)和ω (F(x，·);η)表示是實(shí)值函數(shù)F (·，y)和F (x，·)關(guān)于自變量x和y的一階連續(xù)模。

同理(2)亦證得。

證明 這兩個(gè)結(jié)論完全對(duì)稱(chēng)，所以這里只給出(1)的證明，(2)的證明類(lèi)似。

其中:δ和η表示不同于δ1和δ2的常數(shù)。這個(gè)結(jié)果與定理中僅是符號(hào)的區(qū)別，得證。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)構(gòu)造的曲邊三角形，利用Baskakov算子的性質(zhì)研究了Baskakov算子在曲邊三角形上的逼近效果，對(duì)沿不同路徑下Baskakov算子之間的逼近效果做了比較，同時(shí)也考慮了不同路徑下的相互作用效果。

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