一道數(shù)學(xué)中考題的美學(xué)價(jià)值研究

●陳 平 (富陽(yáng)區(qū)鹿山中學(xué) 浙江杭州 311400)

●盛志軍 (富陽(yáng)區(qū)郁達(dá)夫中學(xué) 浙江杭州 311400)

一道數(shù)學(xué)中考題的美學(xué)價(jià)值研究

●陳 平 (富陽(yáng)區(qū)鹿山中學(xué) 浙江杭州 311400)

●盛志軍 (富陽(yáng)區(qū)郁達(dá)夫中學(xué) 浙江杭州 311400)

數(shù)學(xué)是美麗的，但數(shù)學(xué)的美麗是一種“冰冷的美麗”.為了讓這份“冰冷的美麗”在學(xué)生面前熠熠生輝，數(shù)學(xué)教師應(yīng)盡可能激起學(xué)生進(jìn)入“火熱的思考”，培養(yǎng)學(xué)生熱愛(ài)數(shù)學(xué)、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情.這種火熱的“數(shù)學(xué)思考”和數(shù)學(xué)美的欣賞，是數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)所要求學(xué)生達(dá)成的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)目標(biāo)之一，也是賦予教師教學(xué)的一項(xiàng)根本任務(wù).完成任務(wù)就需要教師在教學(xué)中不斷探尋教學(xué)內(nèi)容的美、數(shù)學(xué)思想和方法的美.為此，我國(guó)著名數(shù)學(xué)教育家張奠宙提出了幫助學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)美的4個(gè)層次:美觀、美好、美妙和完美，努力提升數(shù)學(xué)的美學(xué)價(jià)值，最終實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)［1］.

2014年浙江省杭州市的一道中考數(shù)學(xué)題，是學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)美學(xué)價(jià)值的好材料.筆者不局限于探求這道題的“學(xué)術(shù)形態(tài)”，而是從“教育形態(tài)”出發(fā)，通過(guò)挖掘數(shù)學(xué)的美學(xué)思想，提高數(shù)學(xué)學(xué)科能力和思維能力.

題目菱形ABCD的對(duì)角線 AC，BD相交于點(diǎn) O，，BD=4，動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，PF⊥AB于點(diǎn)F，四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱，四邊形 QEDH與四邊形PFBG關(guān)于 AC對(duì)稱.設(shè)菱形ABCD被這2個(gè)四邊形蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，BP=x.

圖1

1)用含x的代數(shù)式分別表示S1，S2;

2)若S1=S2，求x的值.

1 條件觀察，在美觀的圖形欣賞中加深感知

這是一道集幾何、代數(shù)和三角函數(shù)知識(shí)于一身的綜合題.在教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生審題是首要工作.學(xué)生看題就像看卡通一樣，首先引入眼簾的顯然是美觀的軸對(duì)稱圖形.為此，教師順應(yīng)學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，緊緊抓住圖形的軸對(duì)稱性，再利用文字給出的條件，幫助觀察、分解、感知有密切相關(guān)的軸對(duì)稱圖形(如圖2).通過(guò)數(shù)形結(jié)合，弄清問(wèn)題的顯性條件、隱性條件和需要解決的問(wèn)題.

1)觀察①，菱形ABCD是軸對(duì)稱圖形.

2)觀察②，由四邊形PFBG關(guān)于BD對(duì)稱，四邊形QEDH與四邊形PFBG關(guān)于AC對(duì)稱.因此，又觀察④，知△PFB與△PGB關(guān)于BP對(duì)稱;觀察⑤，△QDE與△QHD關(guān)于QD對(duì)稱.

3)觀察③，四邊形AEMF與四邊形CHNG關(guān)于BD對(duì)稱，又它們各自關(guān)于AC對(duì)稱.

圖2

由此可見(jiàn)，觀察能讓學(xué)生感受到本題把軸對(duì)稱性的美表現(xiàn)得淋漓盡致，顯示出數(shù)學(xué)獨(dú)特的魅力.同時(shí)，在教學(xué)中，通過(guò)師生和生生的合作，讓學(xué)生宏觀上感知該題構(gòu)建的框架，為進(jìn)一步探究打下基礎(chǔ).

2 經(jīng)驗(yàn)回溯，在美好的知識(shí)回顧中積極思考

有了觀察打下的基礎(chǔ)，接下來(lái)教師不應(yīng)急于求成，而應(yīng)讓學(xué)生根據(jù)觀察到的圖形和題目給出的條件，回顧已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和已形成的舊認(rèn)知結(jié)構(gòu)，細(xì)細(xì)品嘗，流連忘返于美好的數(shù)學(xué)內(nèi)容并投入到積極思考中.下列一些知識(shí)與技能，由教師適當(dāng)、適時(shí)地點(diǎn)撥，讓學(xué)生儲(chǔ)存在頭腦中的有關(guān)該題顯性的、隱性的美好信息不斷激活和涌現(xiàn)，并逐步梳理:

1)從條件菱形ABCD出發(fā)，得AB=BC=CD= DA;AO=CO，BO=DO，AC⊥BD;∠BAC=∠BCA=∠DCA=∠DAC……

3)從條件PF⊥AB于點(diǎn)F，BP=x出發(fā)，可得

4)又由圖形的對(duì)稱性可知

通過(guò)上述分析，菱形的性質(zhì)得到了充分彰顯，等邊三角形的判定和性質(zhì)得到了充分運(yùn)用，直角三角形性質(zhì)的作用得到了充分發(fā)揮，三角函數(shù)等重點(diǎn)知識(shí)和技能得到了充分回顧.與此同時(shí)，教師從圖形和條件出發(fā)，從不同路徑引領(lǐng)學(xué)生層層演繹推進(jìn)，深入思考.學(xué)生在美好數(shù)學(xué)的體驗(yàn)、感受、熏陶下，素養(yǎng)得到了良好地提升.

3 問(wèn)題探究，在美妙的整體分解中促進(jìn)生成

從問(wèn)題的結(jié)構(gòu)上看，第1)小題是函數(shù)式的構(gòu)建問(wèn)題;第2)小題是方程問(wèn)題.考查學(xué)生的函數(shù)和方程思想，本身是數(shù)學(xué)中一件美好的事情.教師如何引領(lǐng)學(xué)生探究這2個(gè)問(wèn)題，這是本題的核心.而本題中蘊(yùn)含的圖形整體與部分的關(guān)系是解決問(wèn)題的美妙玄機(jī).

美妙1S1，S2表示什么?學(xué)生顯而易見(jiàn)，S1表示菱形ABCD被這2個(gè)四邊形蓋住部分的面積，S2表示未被蓋住部分的面積.菱形ABCD整體的面積是S1+S2(如圖3).

圖3

美妙2怎樣用含x的代數(shù)式表示S1.直接法很難表示S1，只能用間接法:

上述2個(gè)等式“S菱形ABCD=S1+S2，S2=4S△AFM”是解題的關(guān)鍵，美妙的事物存在于客體之中，需要教師幫助學(xué)生去再創(chuàng)造.而等式

都是關(guān)于x的二次函數(shù)關(guān)系式.它們由形到數(shù)轉(zhuǎn)化，也正是數(shù)學(xué)要尋求的美妙之處.

4 結(jié)論追尋，在思考動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題中達(dá)到完美

本題給出的圖形僅僅是為學(xué)生數(shù)學(xué)思考的一個(gè)方面的直觀提示，并沒(méi)有“如圖”2個(gè)字.因此在審題上:一方面要讓學(xué)生面對(duì)此類題型在細(xì)節(jié)上引起重視，以增強(qiáng)學(xué)生全面性思考問(wèn)題的的意識(shí)，說(shuō)明該題需要分類討論;另一方面，讓學(xué)生明確分類討論是一種數(shù)學(xué)思想，如何分類達(dá)到問(wèn)題解決，要有一種有效的方法.為此，把學(xué)生的關(guān)注點(diǎn)聚焦在“動(dòng)點(diǎn)”上.

不妨這樣啟發(fā)學(xué)生:

1)如何理解“動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)”?

2)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，終點(diǎn)到了哪里?經(jīng)過(guò)什么特殊點(diǎn)?在這個(gè)過(guò)程中覆蓋面積怎樣變化?

3)在“BP=x”中，x是一個(gè)什么量?作為一個(gè)變量，是怎樣變化的?

通過(guò)上述3個(gè)問(wèn)題的引領(lǐng)，呈現(xiàn)如下2個(gè)圖形(如圖4和圖5所示)，并由此確定x的取值范圍.

圖4

圖5

而當(dāng)0＜x≤2時(shí)，覆蓋面積部分容易直接用含x的代數(shù)式來(lái)表示.由此，師生一起完美解答第1)小題:

1)①當(dāng)點(diǎn)P在BO上，即0＜x≤2時(shí)(如圖4所示).因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，，BD= 4，所以

(或通過(guò)勾股定理求出AB=4=BD，又因?yàn)锳B= AD，所以△ABD為等邊三角形，故∠ABO=60°.)

在Rt△BFP中，因?yàn)椤螧FP=90°，∠FBP= 60°，BP=x，所以

又因?yàn)樗倪呅蜳FBG關(guān)于BD對(duì)稱，四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對(duì)稱，所以

因?yàn)樗倪呅蜳FBG關(guān)于BD對(duì)稱，四邊形QEDH與四邊形PEBG關(guān)于AC對(duì)稱，所以

至于第2)小題，相應(yīng)地給出2種情況予以解答，不難得到如下結(jié)論:

當(dāng)點(diǎn)P在BO上，即0＜x≤2時(shí)，S1=S2的情況不存在;當(dāng)點(diǎn)P在OD上，即2＜x≤4時(shí)，若S1= S2，則x的值為.

5 二次開發(fā)，在拓展中走進(jìn)更美的數(shù)學(xué)境地

上述第2)小題，利用分類討論，完美地考查了方程思想以及不等式范圍內(nèi)的取值問(wèn)題.然而，二次開發(fā)該題的課程資源，是提升審美價(jià)值的有效途徑.為此，我們反思該題的整個(gè)探索過(guò)程，發(fā)現(xiàn)四邊形蓋住部分的面積為S1，未被蓋住部分的面積為S2，其實(shí)都是關(guān)于x的二次函數(shù).

因此，教師不妨把本題的研究衍生到函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)中去，把學(xué)生帶進(jìn)更美的數(shù)學(xué)境地.在原題的基礎(chǔ)上，再設(shè)計(jì)以下2個(gè)問(wèn)題:

3)若動(dòng)點(diǎn)P在線段BD上從點(diǎn)B向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，當(dāng)覆蓋面積S1達(dá)到最大時(shí)，求S1與菱形ABCD的面積之比.

4)若動(dòng)點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，覆蓋面積為S1.問(wèn):S1是否存在最大值?如果存在，求出這個(gè)最大值和自變量x的取值范圍;如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解存在.因?yàn)閯?dòng)點(diǎn)P在BD延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，x＞4.而PF⊥AB于點(diǎn)F，因此

①當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)A重合時(shí)，適合關(guān)系式

當(dāng)x=8時(shí)，S1取得最大值.

②當(dāng)點(diǎn)F在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，S1的最大值恒為.此時(shí)，x＞8.

綜上所述，S1的最大值是，自變量x的取值范圍是x≥8.

從審美的角度出發(fā)，把握“美觀、美好、美麗和完美”的整個(gè)探究過(guò)程，層層遞進(jìn)，火熱思考，讓一道“冰冷的美麗”的中考數(shù)學(xué)題，盡顯光彩.既激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)了積極自信的態(tài)度，也達(dá)到了本題所要求的數(shù)學(xué)知識(shí)與技能學(xué)習(xí)目標(biāo)，強(qiáng)化了簡(jiǎn)單化、數(shù)形結(jié)合、方程和函數(shù)、分類討論等數(shù)學(xué)思想以及相應(yīng)的數(shù)學(xué)方法，大大提高了學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的能力.

參考資料

［1］張奠宙，李士锜，李俊.數(shù)學(xué)教學(xué)導(dǎo)論［M］.北京:高等教育出版社，2003:158-224.