“圓”來如此
——從變換的角度審視橢圓的幾個性質

●吳時月 (溫州中學 浙江溫州 325014)

“圓”來如此
——從變換的角度審視橢圓的幾個性質

●吳時月 (溫州中學 浙江溫州 325014)

文獻［1］中通過較繁瑣的代數運算，花了較大的篇幅證明了橢圓的一個定理:

定理1已知橢圓E:(其中a＞b＞ 0)，AB是不過橢圓中心的弦，則

2)過點A，B引橢圓的2條切線交于點P，當S△AOB最大時，點P的軌跡為橢圓F:;

3)C是弦AB的中點，當S△AOB最大時，點C的軌跡是橢圓G:.

本文嘗試借助仿射變換的不變性，對該性質進行再次探究，希望有更深刻的本質揭示.

1 變換的再介紹

性質1變換后保持同素性和結合性.

性質2變換后共線的3個點單比不變.

性質3變換后2條直線的平行性不變.

性質4封閉圖形在變換前的面積S與在變換后的面積S'滿足S'=λμS.

2 定理的再探究

圖1

定理1的證明1)如圖1，已知橢圓E:(其中a＞b＞0)，在伸縮變換φ:的作用下，橢圓E轉變?yōu)閳AE':x'2+y'2=1.設點A，B分別對應于點A'，B'，由性質1知橢圓E的不過橢圓中心的弦AB轉變?yōu)閳AE'的一條不過圓心的弦A'B'，且，因此S△A'OB'的最大值為.由性質4知S△AOB的面積的最大值為.

圖2

2)如圖2，過點A'，B'引圓E':x'2+y'2=1的2條切線交于點P'.由性質1知點P對應于點P'.當時，易知四邊形A'OB'P'是正方形，且，因此點P'的軌跡為圓F':.再由性質3及性質4知，點P的軌跡為橢圓F:，且四邊形AOBP為平行四邊形.

圖3

3 變換的再應用

例1設點A(1，1)，點B，C在橢圓x2+3y2= 4上，求S△ABC的最大值.

(2008年安徽省高中數學競賽試題)

解顯然點A在橢圓x2+3y2=4上，△ABC為此橢圓的內接三角形，定義伸縮變換 φ:則在φ的作用下:橢圓x2+3y2=4對應于圓x＇2+y＇2=4，點A(1，1)對應于點.設點B，C對應于點B'，C'，由性質1知△A'B'C'為圓x＇2+y＇2=4的內接三角形.再由性質4知，因此當S△A'B'C'最大時，S△ABC取得最大值.

由平面幾何中的常見結論“圓的內接三角形中正三角形的面積最大”知 S△A'B'C'的最大值為，故S△ABC的最大值為3.

無獨有偶，2014年四川省數學高考第20題也可以利用仿射變換的不變性加以解決.下面先給出性質5并從幾何角度加以證明.

圖4

圖5

性質5如圖4，直線XY經過橢圓E:(其中a＞b＞0)上的點P，F為橢圓E的焦點，l為其相應的準線，直線XY與l交于點T，則直線XY為橢圓E的切線的充要條件是PF⊥FT.

證明如圖5，過點P作橢圓的割線SP交l于點T，聯結SF，并在SF的延長線上取點A，過點S，P作l的垂線，垂足分別為S1，P1.由橢圓的定義及平行線的性質易得，因此FT為△SPF的外角平分線，即∠PFT=∠TFA.

當點S沿著橢圓趨近于點P時，∠PFA趨近于180°，由橢圓的切線定義知當直線XY為橢圓E在點P處的切線時，，反之亦然.

例2已知F為橢圓E:(其中a＞ b＞0)的一個焦點，直線l是對應于焦點F的準線，T為l上任意一點，過點F作TF的垂線交橢圓E于點P，Q，證明:OT平分線段PQ(其中O為坐標原點).(2014年四川省數學高考試題)

圖6

證明如圖6，由性質5知直線PT，QT分別為過橢圓上點 P，Q的 2條切線，在伸縮變換 φ:的作用下，橢圓 E 轉變?yōu)閳A E': x'2+y'2=1.

設點P，Q，T分別對應于點P'，Q'，T'，直線l對應直線l'.由性質1知P'T'，Q'T'分別為圓E': x'2+y'2=1的2條切線，易知直線OT'與直線P'Q'的交點M'是P'Q'的中點，再由性質2知直線OT與直線PQ的交點M是PQ的中點，即OT平分線段PQ.

4 方法的再審視

借助仿射變換的不變性將橢圓的有關問題轉化為圓的問題，利用圓豐富的平面幾何性質解決問題，不僅使問題的解決過程大大簡化，還可以更深刻地揭露問題的本質.因此，從變換的角度來研究橢圓的一些性質，啟示我們應主動探尋中學教材與高等數學知識的結合點，從而對中學數學知識有更深層次的理解.教師只有站在較高的位置審視數學問題，才能將問題看得更清楚、更透徹.正如數學家克萊因所說:教師掌握的知識要比他所教的多得多，才能引導學生繞過懸崖、渡過險灘.

［1］ 王慧.一道橢圓常見題的有趣小發(fā)現［J］.數學教學，2014(3):16-19.

［2］ 湯敬鵬.利用仿射變換解決與橢圓有關的高考試題［J］.數學通訊，2010(4):44-46.

［3］ 程超，徐漢文.摭談仿射變換的應用［J］.數學通訊，2009(11):28-30.