基于鋸齒載波的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的PWM數(shù)學(xué)分析

陳國(guó)呈，蔡立清，周勤利，顧紅兵，雷 電

(1．常州鉅特工業(yè)科技有限公司，江蘇常州200122;2．上海大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，上海200072)

基于鋸齒載波的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的PWM數(shù)學(xué)分析

陳國(guó)呈1，2，蔡立清1，周勤利1，顧紅兵1，雷 電1，2

(1．常州鉅特工業(yè)科技有限公司，江蘇常州200122;2．上海大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，上海200072)

文章分析了最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的輸出線電壓波形，并根據(jù)三相逆變器實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)PWM動(dòng)作需要，用雙重傅里葉級(jí)數(shù)展開法解析了基于鋸齒載波的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的PWM頻譜特性。分析結(jié)果指出，該調(diào)制波雖是個(gè)不對(duì)稱波，且含有直流分量，但其實(shí)質(zhì)還是在正弦波基礎(chǔ)上疊加了零序諧波分量和一個(gè)直流分量。這些零序諧波分量和直流分量在三相逆變器中相互抵消，其輸出線電壓還是正弦波。正是這種畸形波的調(diào)制作用，使得逆變器直流母線電壓利用率得以提高，且正負(fù)序諧波幅值相差較小，能有效減小諧波損耗，提高波形質(zhì)量，抑制諧波轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。通過與SAPWM比較后指出，最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波PWM只能使用單極性調(diào)制，其有效開關(guān)次數(shù)是后者的一半，電流波形質(zhì)量不如后者。

最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波;鋸齒載波;雙重傅里葉級(jí)數(shù);頻譜;諧波

1 引言

在節(jié)能和環(huán)保意識(shí)日趨重視的當(dāng)今時(shí)代，電力變換器的變換效率往往成為考核其性能的一個(gè)重要指標(biāo)。半導(dǎo)體功率開關(guān)器件的開關(guān)損耗和導(dǎo)通損耗是影響電力變換器變換效率的重要因素，該損耗是器件出廠后所固有的，用戶對(duì)此已無能為力。為了進(jìn)一步提高變換器的變換效率，人們不得不從控制方法上另覓出路。眾所周知的SPWM和SAPWM逆變器，其功率開關(guān)器件在調(diào)制波的全周期內(nèi)都在進(jìn)行PWM斬波和開關(guān)動(dòng)作，從某種意義上說要減少其開關(guān)次數(shù)是不可能的，因此有學(xué)者提出了最少開關(guān)次數(shù)的調(diào)制波［1］。另一方面，為了減少噪聲和電磁干擾，也為了進(jìn)一步提高電力變換器的變換效率，20世紀(jì)90年代以來，電力變換器的軟開關(guān)技術(shù)也受到了人們的高度重視［2-8］。在軟開關(guān)電力變換中，傳統(tǒng)的等腰三角載波無法得到應(yīng)用，取而代之的是鋸齒載波［9-14］?；阡忼X載波的PWM和基于等腰三角載波的PWM，其諧波特性有很大不同［15，16］，特別是其中基于鋸齒載波的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的PWM數(shù)學(xué)分析還未見報(bào)道，本文就此做深入分析和推導(dǎo)，從中引出一些重要的結(jié)論。

2 最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波與調(diào)制模式

圖1為三相逆變器主電路示意圖，圖2為文獻(xiàn)［1］提出的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的生成方法。圖2(a)為三相正弦波eU(t)、eV(t)、eW(t)，在此基礎(chǔ)上做式(1)所示的波形疊加，即可得到圖2(b)。

圖1 三相逆變器主電路Fig．1 Main circuit of three-phase inverter

文獻(xiàn)［17］以U相調(diào)制波eX(t)為例，進(jìn)一步明確指出其表達(dá)式如式(2)所示，且在0～2π/3區(qū)間相位比eU(t)超前π/6，而在2π/3～4π/3區(qū)間比eU(t)滯后π/6。

圖2 最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的生成Fig．2 Generation of least switching modulation wave

可以看出在4π/3～2π區(qū)間，eX(t)不參與調(diào)制，逆變器的功率開關(guān)器件減少了1/3的開關(guān)損耗，故稱之為最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波。由圖2(b)和式(2)可以求出線電壓UUV(ω1t)的數(shù)值如下:

0 ～2π/3區(qū)間:

2π/3～4π/3區(qū)間:

4π/3 ～2π區(qū)間:

顯然，盡管調(diào)制波eX，Y，Z(t)為畸形波，但逆變器的輸出線電壓UUV(ω1t)在0～2π全區(qū)間內(nèi)都保持著sinω1t的狀態(tài)。從以上計(jì)算過程和結(jié)果還可以看出，調(diào)制信號(hào)eX(t)、eY(t)、eZ(t)里已包含了線電壓和相電壓的關(guān)系。下面的進(jìn)一步分析結(jié)果還指出，本調(diào)制波也能提高輸出電壓15.47%。

3 數(shù)學(xué)分析

3.1 雙重傅里葉級(jí)數(shù)展開式

眾所周知，一個(gè)周期為2π的函數(shù)f(t)可以展開成如下傅里葉級(jí)數(shù):

式中，a0/2為直流分量;為方便與后面的下標(biāo)統(tǒng)一使用，式(6)中的下標(biāo)用k表示，且

根據(jù)歐拉公式

將sinkωt和coskωt代入式(6)，得

式(7)被稱為實(shí)函數(shù)f(t)的復(fù)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)。將a0、ak、bk的表達(dá)式代入式(8)中Kk的表達(dá)式，還可得到Kk的另一個(gè)表達(dá)式

現(xiàn)在來考察U相的電壓UU，用雙重傅里葉級(jí)數(shù)表示，有

式中，ω1為信號(hào)波角頻率;ωs為鋸齒載波角頻率; Ed為直流母線電壓。

同理可得V相的電壓UV及U、V相間的線電壓UUV的雙重傅里葉級(jí)數(shù)表達(dá)式:

3.2 三相PWM變換器的數(shù)學(xué)分析

在軟開關(guān)三相PWM變換器中，常常使用如圖3所示的鋸齒載波與調(diào)制波進(jìn)行脈寬調(diào)制［9-14］，以實(shí)現(xiàn)軟開關(guān)動(dòng)作。因?yàn)殇忼X波的高度必須定為1，為確保調(diào)制度與輸出電壓幅值保持線性關(guān)系，圖2中的調(diào)制波幅值必須縮小倍，則由式(2)有

圖3 最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的鋸齒波調(diào)制Fig．3 Least switching modulation with sawtooth carrier wave

本文旨在分析圖3中調(diào)制波eX(t)與鋸齒波es調(diào)制后的頻譜及其輸出特性。設(shè)M為調(diào)制深度，顯然在0～θ和0～θ'區(qū)間，U相的輸出電壓為Ed，在此區(qū)間之外，輸出電壓為0。則由圖3有:

(1)在調(diào)制波的 0～2π/3區(qū)間:θ= 2πMsinω1t。

(2)在調(diào)制波的 2π/3～4π/3區(qū)間:θ'= 2πMsin(ω1t－π/3)。

(3)在調(diào)制波的4π/3～2π區(qū)間:θ″=0。

由式(9)和式(12)有

當(dāng)0≤ωst＜θ及0≤ωst＜θ'時(shí)，UVU=Ed，UUV/Ed=1，在此區(qū)間之外，UUV/Ed=0，可以求出各諧波分量如下。圖4展示了最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波三相輸出電流的頻譜，充分驗(yàn)證了兩者的一致性。

圖4 最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的三相輸出電流頻譜Fig．4 Three-phase output current spectrum of least switching PWM

(1)直流成分(k=0，n=0)

又λ0=1－e－j0=0，所以K00λ0=0，即逆變器輸出電壓中不含直流分量，如圖4所示。

(2)基波成分(k=1，n=0)

聯(lián)系到式(8)，求實(shí)函數(shù)系數(shù)，得bn=M。代入式(6)，兼顧式(12)得式(18):

當(dāng)k=3i(i=1，2，…)時(shí)

當(dāng)k≠3i(i=1，2，…)時(shí)

所以Kk0λk≡0，即在基波頻域除了基波成分ω1外，不存在其余諧波，如圖4所示。

(4)各載波頻域的諧波成分(k=0，n≥1)

由貝塞爾函數(shù)

解得

則由式(20)有

因?yàn)棣薻=λ0=1－e－j0×2π/3=0，K0nλ0=K0n×0=0，所以在各載波頻域不存在載波的整數(shù)倍成分nωs諧波，如圖4中在頻率1ωs、2ωs處都沒有諧波，仿真時(shí)取載波頻率為1.5kHz，相當(dāng)于1ωs處。

(5)載波頻率的邊頻帶(k≠0，n≥1)

將式(23)和式(24)代入式(22)得

由于λk=1－e－jk2π/3，將其乘以式(25)有

將式(26)再整理，得

1)當(dāng)k=3i(i=1，2，…)時(shí)，得P=0，Q=0，由式(27)有Kknλk=0，即在各載波頻域不存在3的倍數(shù)次諧波，如圖4所示，在3ω1、6ω1處都沒有差頻波。

聯(lián)系到式(8)和式(9)可知，要使式(6)獲得實(shí)系數(shù)，式(28)～式(30)的Kknλk只能取純序數(shù)或?qū)崝?shù)，由于式(17)是純虛數(shù)，而式(28)和式(30)是實(shí)數(shù)，所以這里只能取式(29)的虛部，即令

4 頻譜歸納與分析

綜合3.2節(jié)中的數(shù)學(xué)分析，對(duì)照式(6)，可以歸納最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波PWM的如下結(jié)論(參閱圖4)。

(1)直流成分(k=0，n=0):K00λ0=0，bk= 0，頻譜中不含直流分量。

(2)基波成分(k=1，n=0):三相逆變器輸出線電壓的基波分量UUV(ω1t)=MEdsinω1t，與正弦波PWM的輸出MEdsinω1t相比，高出了15.47%。

(3)諧波成分(k＞1，n=0):Kk0λk=0，bk= 0，基波頻域除了UUV(ω1t)=MEdsinω1t外，不含其余諧波。

(4)各載波頻域的諧波成分(k=0，n≥1):λk=λ0=1－e－j0×2π/3=0，K0nλ0=0，即在各載波頻域不存在載波的整數(shù)倍成分nωs諧波，如圖4中在頻率1ωs、2ωs處都沒有諧波。

(5)載波頻率的邊頻帶(k≠0，n≥1):

當(dāng)k=3i(i=1，2，…)時(shí)，Kknλk=0，即不存在3的倍數(shù)次諧波，如圖4中的3ω1、6ω1等處都沒有差頻波;當(dāng)k=3i+1(i=0，1，…)時(shí)，邊頻帶諧波幅值如式(36)所示;當(dāng)k=3i－1(i=1，2，…)時(shí)，邊頻帶諧波幅值如式(37)所示。

聯(lián)系式(12)、式(36)和式(37)可以看出，邊頻帶諧波成分為ωs±ω1，ωs±2ω1，ωs±4ω1，ωs±5ω1，…和2ωs±ω1，2ωs±2ω1，2ωs±4ω1，2ωs±5ω1，…，這與圖4的結(jié)果完全吻合。

從第3節(jié)的分析中可以看出，最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波是一個(gè)不對(duì)稱的畸形波，對(duì)其直接進(jìn)行傅里葉級(jí)數(shù)展開很困難，因此不得不使用雙重傅里葉級(jí)數(shù)展開法分析。本方法計(jì)算量很大，也非常容易出錯(cuò)。這就是說，如果按傳統(tǒng)方法把UUV(ω1t)看成是U相PWM調(diào)制結(jié)果與V相PWM調(diào)制結(jié)果相減而成，則其數(shù)學(xué)解析是非常麻煩的。但是，從式(3)～式(5)的推導(dǎo)來看，逆變器最終輸出的線電壓UUV(ω1t)還是個(gè)正弦波，如果將式(3)～式(5)看成在整個(gè)0～2π區(qū)間內(nèi)是一個(gè)正弦波，則上述調(diào)制方法可權(quán)當(dāng)看成是一個(gè)正弦波與載波(無論是等腰三角波還是鋸齒波)的PWM，則其數(shù)學(xué)分析方法就可以沿用傳統(tǒng)的傅里葉級(jí)數(shù)展開法［15-17］，分析方法容易得多，而兩者的頻譜分布位置基本一致。但需要注意的是，最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波本質(zhì)上就是eU(t)、eV(t)、eW(t)加上零序分量和一個(gè)直流分量“－1”(即基波幅值1的負(fù)偏移量)，其零序分量為nω3(n=1，2，3，…)，若令ω3=3ω1，即ω3，2ω3，3ω3，4ω3，5ω3，…，是ω3的所有奇偶數(shù)倍次諧波，如圖5所示。但SAPWM中疊加的零序分量為nω3(n =1，3，5，…)，只是3的奇數(shù)倍次諧波，且不疊加直流分量［15］。所以最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的PWM諧波分量比SAPWM多，但在三相逆變器中這些零序分量和直流偏移量都抵消了。

圖5 最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的基波頻域輸出電流頻譜Fig．5 Output current spectrum of least switching modulation in fundamental frequency domain

無論最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波PWM還是SAPWM，其三相輸出電流的頻譜分布規(guī)律與SPWM基本相同，但邊頻帶中正負(fù)序諧波分量的幅值有所不同，前兩者的正負(fù)序分量的幅值相差都較小，而后者則較大，如圖4、圖6和圖7所示。圖4和圖6中，1ω1和2ω1、4ω1和5ω1、…相差都不大;圖7是直接利用正弦波與鋸齒波比較生成的三相輸出電流頻譜，其1ω1和2ω1的幅值相差很大。這是因?yàn)榍皟烧邔?shí)施PWM時(shí)是通過畸形波的PWM實(shí)現(xiàn)的，由于畸形波與正弦波波形的細(xì)微差異表現(xiàn)在對(duì)載波調(diào)制時(shí)生成的脈沖寬度分布規(guī)律有細(xì)微不同，從而造成正負(fù)序諧波幅值的差異。但正是該波形的這種畸變，使得逆變器輸出線電壓有效值提高了15.47%(所謂提高了直流母線電壓的利用率)，同時(shí)降低了總諧波電流失真和諧波轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)，稱為優(yōu)化的調(diào)制波。

圖6 三相SAPWM逆變器輸出電流頻譜Fig．6 Output current spectrum of three-phase SAPWM inverter

圖7 三相SPWM逆變器輸出電流頻譜Fig．7 Output current spectrum of three-phase SPWM inverter

圖8 最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的輸出線電壓Fig．8 Output line voltages of least switching modulation

需要指出的是，圖3所示的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波從波形上看確實(shí)只有2/3調(diào)制周期參與調(diào)制，余下的1/3周期是閑置著的，這意味著使用該調(diào)制波可以減少1/3的開關(guān)損耗。但是眾所周知，圖3所示的調(diào)制方式是屬于單極性調(diào)制，在三相逆變器輸出線電壓中，其有效開關(guān)次數(shù)是雙極性調(diào)制的1/2，如圖8所示。圖8中，0～π/3期間，輸出線電壓UUV的前后沿次數(shù)就是UU的前后沿次數(shù)，因?yàn)榇似陂gUV一直保持0電壓。如果使用SPWM或SAPWM，則其可以使用雙極性調(diào)制，在相同的載波頻率下，SPWM和SAPWM輸出線電壓的有效開關(guān)次數(shù)是相電壓時(shí)的2倍。有效開關(guān)次數(shù)提高之后，三相輸出電流的脈動(dòng)幅值相對(duì)減小了，有利于提高輸出電流波形質(zhì)量，使THD減小，同時(shí)減小功率開關(guān)器件的電應(yīng)力、轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)和電磁干擾等。這與多電平逆變器有相同之處，即功率開關(guān)器件的開關(guān)頻率未必很高，但多電平逆變器整體的有效開關(guān)次數(shù)很高，從而提高逆變器輸出的許多電特性。究其根本原因是，最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的波形決定了其只能使用單極性調(diào)制，從而限制了其整體的有效開關(guān)次數(shù)。當(dāng)然，為了提高逆變器輸出電特性，也可以提高載波頻率，但這就提高了逆變器功率開關(guān)器件整體的開關(guān)次數(shù)，反而抵消了本調(diào)制波可以減少1/3開關(guān)次數(shù)的所謂優(yōu)點(diǎn)。本文討論的載波是鋸齒波，如果采用等腰三角載波，情況也是如此。

5 結(jié)論

本文分析了最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的輸出線電壓波形，并采用雙重傅里葉級(jí)數(shù)展開法分析了基于鋸齒載波的最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的PWM頻譜特性。分析結(jié)果指出，最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波的本質(zhì)是在正弦波基礎(chǔ)上疊加了零序諧波分量和一個(gè)直流分量，這些零序諧波分量和直流分量在三相逆變器中相互抵消，其輸出線電壓還是正弦波。文章還指出最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波疊加的零序分量是基波角頻率的所有3的倍數(shù)次諧波，而SAPWM疊加的只是3的奇數(shù)倍次諧波。兩者正是利用該畸變波的調(diào)制作用，使得逆變器直流母線電壓利用率得以提高，且正負(fù)序諧波幅值相差較小，能有效減小諧波損耗，提高波形質(zhì)量，抑制諧波轉(zhuǎn)矩脈動(dòng)。對(duì)于這種不對(duì)稱畸形波，采用雙重傅里葉級(jí)數(shù)展開法分析其頻譜特性相當(dāng)麻煩，也容易出錯(cuò)。從本質(zhì)上講，該畸形波的三相輸出線電壓波形的PWM頻譜分布規(guī)律與SPWM的分布規(guī)律相同，只是正負(fù)序諧波的幅值不一樣，前者趨同，后者趨異，前者能獲得更好的輸出特性。但是，最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波屬于一種單極性調(diào)制模式，而SPWM和SAPWM可使用雙極性調(diào)制，其整體有效開關(guān)次數(shù)是前者的2倍，可獲得更好的輸出電特性。綜合比較上述三種調(diào)制模式，SAPWM為最優(yōu)。因此SAPWM已被普遍應(yīng)用，但最少開關(guān)次數(shù)調(diào)制波沒能獲得推廣應(yīng)用。

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Mathematical analysis on least switching PWM based on sawtooth carrier wave

CHEN Guo-cheng1，2，CAI Li-qing1，ZHOU Qin-li1，GU Hong-bing1，LEI Dian1，2
(1．Giant Industrial Technology Co．Ltd．，Changzhou 200122，China; 2．Department of Automation，Shanghai University，Shanghai 200072，China)

This paper analyzes the output line voltage waveform of least switching modulation，and in some cases，soft switching three-phase PWM inverters are required，using double Fourier series expansion method to resolve the PWM spectrum characteristics of the least switching modulation based on sawtooth wave carrier．The results indicate that although it is an asymmetric modulation wave，and contains a DC component，but its essence is superimposing zero sequence harmonic components and a DC component on a sine wave．These zero-sequence harmonics and DC components cancel each other out in a three-phase inverter，and the output line voltage is still a sine wave．Owing to the distorted modulation wave，the DC bus voltage utilization of inverter can be improved，and the difference of harmonic amplitudes between the positive and negative sequence is smaller，moreover，it can effectively reduce harmonic losses，improve waveform quality，and suppress harmonics torque ripples．After comparing the minimum switching frequency modulation with SAPWM，it may be noted that the minimum switching frequency modulation can only use unipolar modulation，the effective switching frequency is only half of the latter，so the current waveform quality is not as good as latter．

least switching modulation wave;sawtooth carrier wave;double Fourier series;spectrum;harmonic

TM464

:A

:1003-3076(2015)11-0001-10

2015-08-01

陳國(guó)呈(1944-)，男，福建籍，教授，博士生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)殡姍C(jī)驅(qū)動(dòng)及新能源發(fā)電;蔡立清(1970-)，男，安徽籍，工程師，主要研究方向?yàn)樾履茉窗l(fā)電逆變器、通信系統(tǒng)。