基于觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的天文自主定位算法

李 偉，蘇軾鵬，韓云東，王安國(guó)

（海軍大連艦艇學(xué)院航海系，遼寧大連116018）

基于觀測(cè)數(shù)據(jù)擬合的天文自主定位算法

李 偉，蘇軾鵬，韓云東，王安國(guó)

（海軍大連艦艇學(xué)院航海系，遼寧大連116018）

根據(jù)海上天文定位原理，太陽(yáng)上中天時(shí)的格林半圓時(shí)角等于測(cè)者所在位置的經(jīng)度，但六分儀觀測(cè)難以確定太陽(yáng)上中天的較準(zhǔn)確時(shí)間，由此產(chǎn)生的經(jīng)度誤差往往過(guò)大，不能滿足航海需求。采用數(shù)據(jù)擬合技術(shù)對(duì)太陽(yáng)高度曲線進(jìn)行擬合處理，能夠比較準(zhǔn)確地求出太陽(yáng)上中天的時(shí)間，從而給出了不需要推算船位的天文定位算法。通過(guò)海上大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：該算法定位周期短、簡(jiǎn)便易行且有利于減小偶然誤差。采用現(xiàn)有六分儀進(jìn)行觀測(cè)，定位的緯度最大誤差為0．8，經(jīng)度最大誤差為2．5，滿足海上航行的導(dǎo)航精度要求。

觀測(cè)數(shù)據(jù)；擬合；天文自主定位算法

0 引 言

天文導(dǎo)航以空間天體作為導(dǎo)航信標(biāo)，是一種完全獨(dú)立的導(dǎo)航方式［1］。在晝間，太陽(yáng)移線定位需要等待太陽(yáng)方位出現(xiàn)一定幅度變化以后才可進(jìn)行下一次觀測(cè)，最短需要70～90分鐘的時(shí)間。在此期間，推算艦位的積累誤差也在增加，而推算艦位作為傳統(tǒng)天文定位的必要參數(shù)將直接影響天文艦位解算精度［2］。

可以看出，若在白天利用觀測(cè)太陽(yáng)上中天高度定位，求解緯度需要獲知太陽(yáng)上中天的真高度；而要求解太陽(yáng)上中天時(shí)的經(jīng)度，則需要準(zhǔn)確獲知天體上中天時(shí)的世界時(shí)。從精度上講，觀測(cè)太陽(yáng)上中天高度求緯度，在熟練的操作水平下，若每隔3分鐘觀測(cè)一次，以觀測(cè)最大值和對(duì)應(yīng)的時(shí)間作為依據(jù)進(jìn)行計(jì)算求解，則緯度誤差一般不超過(guò)2′．0，這是因?yàn)椋谔祗w上中天前后，其高度變化速度最慢［3］。但是在測(cè)者經(jīng)度的求解上，由于太陽(yáng)時(shí)角變化速度相對(duì)均勻（每分鐘約15′．0），若以相同的數(shù)據(jù)作為計(jì)算依據(jù)，則平均可產(chǎn)生20海里的計(jì)算誤差，這顯然不能滿足航海定位的精度要求。而對(duì)于這種性質(zhì)的定位誤差，雖然數(shù)值較大，但傳統(tǒng)的天文作圖求解手段無(wú)法消除或改進(jìn)，這是定位的主要困難［4］。

根據(jù)天文定位的基本原理，在天體上中天時(shí)，天體位于測(cè)者午圈之上，與測(cè)者天頂具有相等的天體時(shí)角，這樣測(cè)者經(jīng)度就有求解的可能。而利用天體上中天前后進(jìn)行觀測(cè)求緯度的方法已經(jīng)較為成熟，將兩者進(jìn)行有機(jī)結(jié)合便可進(jìn)行計(jì)算求解實(shí)時(shí)艦位［5］。

1 基本原理

1.1 緯度的求解

在天文三角形中，天體真高度h、天體赤緯δ和測(cè)者緯度φ的關(guān)系［6］為

圖1為天文三角形示意圖。當(dāng)天體上中天時(shí)，天體的地方半圓時(shí)角t＝0°，然后把h替換為90°－Z（Z為天體頂距），這時(shí)，式（1）變?yōu)?/p>

整理可得

即

圖1 天文三角形

圖2 為測(cè)者緯度、天體赤緯和上中天方位關(guān)系示意圖。為方便使用，現(xiàn)對(duì)圖2所示子午頂距與太陽(yáng)方位關(guān)系進(jìn)行如下規(guī)定［7］：

圖2 測(cè)者緯度、天體赤緯和上中天方位關(guān)系示意圖

上中天時(shí)，若天體方位為北，其子午頂距Z的命名為南；若天體方位為南，其子午頂距Z的命名為北。那么，觀測(cè)天體子午高求緯度可歸納為

當(dāng)Z與δ同名時(shí)

緯度方向與Z（或δ）相同。

當(dāng)Z與δ異名時(shí)

大項(xiàng)減小項(xiàng)，緯度方向與大項(xiàng)相同（Z或δ）。

1.2 經(jīng)度的求解

在圖2中，天體上中天時(shí)，天體與測(cè)者天頂同位于測(cè)者午圈之上，具有相同的天體時(shí)角［8］。根據(jù)天球定義和海上天文定位原理，此時(shí)測(cè)者經(jīng)度就等于天體的格林半圓時(shí)角。

若獲知天體上中天時(shí)的世界時(shí)，則可根據(jù)天體視運(yùn)動(dòng)規(guī)律，查表或計(jì)算求得天體的格林西行時(shí)角tG，進(jìn)而求得測(cè)者經(jīng)度λ［9］。

即

當(dāng)tG＜180°時(shí)，λ（西經(jīng)）＝tG；

當(dāng)tG＞180°時(shí)，λ（東經(jīng)）＝360°－tG。

根據(jù)天體周日視運(yùn)動(dòng)和球面幾何原理，對(duì)于特定緯度的測(cè)者來(lái)說(shuō)，天體高度公式［10］可表示為

式中，t為太陽(yáng)地方半圓時(shí)角。

以平均緯度（45°）和太陽(yáng)的平均赤緯（0°）代入式（7），并把時(shí)角表示為世界時(shí)T（以時(shí)為單位）的形式，可得太陽(yáng)真高度h（單位為度，以0°經(jīng)線測(cè)者為例）的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中，η為時(shí)差，最大不超過(guò)7分鐘，可由年歷查得。據(jù)此，由三角函數(shù)和反三角函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)世界時(shí)為12時(shí)前后時(shí)，太陽(yáng)高度達(dá)到最大值［11］。

以平均時(shí)差代入式（8）可得太陽(yáng)高度關(guān)于時(shí)間（11時(shí)50分至12時(shí)10分）的變化曲線，如圖3中“原高度曲線”所示。

由圖3可以看出，在（12－1／6，12＋1／6）的范圍內(nèi)，太陽(yáng)真高度關(guān)于時(shí)間的函數(shù)圖像在平面坐標(biāo)系內(nèi)是一段連續(xù)可導(dǎo)的平滑曲線，對(duì)其按（T－12）的冪進(jìn)行泰勒公式展開(kāi)［12］

由泰勒公式性質(zhì)可知，當(dāng)T接近于12時(shí)，拉格朗日型余項(xiàng)是比（T－12）3高階的無(wú)窮小，而（T－12）3最大為（1／6）3（°），也就是說(shuō)，在（T－12±1／6）時(shí)，式（9）可寫為

表達(dá)式變?yōu)殛P(guān)于T的二次函數(shù)曲線。據(jù)此，在區(qū)間（T－1／6，T＋1／6）上等間距取5個(gè)點(diǎn)（如表1所示）進(jìn)行數(shù)據(jù)擬合，在Matlab集成環(huán)境下，可得基于最小二乘的太陽(yáng)擬合高度的二次曲線表達(dá)式為

表1 天體真高度與擬合高度對(duì)比

由表1數(shù)據(jù)看以看到：擬合高度曲線的最大值與原高度曲線最大值（即為子午高）只有0′．3的誤差，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生同樣大小的緯度誤差；而在時(shí)間上，二次曲線的對(duì)稱軸為11．998時(shí)，即為11 h59 m53 s，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生的經(jīng)度誤差為1′．6。

2 誤差分析

在測(cè)者靜止的情況下：

對(duì)于緯度，算法采用求擬合函數(shù)極值的方法求解太陽(yáng)上中天時(shí)的頂距，而太陽(yáng)赤緯又隨時(shí)間變化不明顯（在分點(diǎn)時(shí)，20分鐘最大變化量為0′．3），故緯度誤差主要取決于擬合高度曲線的最大值與真實(shí)值的誤差。在不考慮觀測(cè)誤差的情況下，由式（9）分析，誤差不應(yīng)超過(guò)1／216度即0′．4。在極端情況下，若觀測(cè)值均同向偏離0′．2，則可導(dǎo)致0′．6的緯度定位誤差。

對(duì)于經(jīng)度，由式（8）和圖3可知，太陽(yáng)真高度曲線關(guān)于其上中天時(shí)刻對(duì)稱，而求解經(jīng)度正是通過(guò)擬合其對(duì)稱軸的方法獲取。所以，經(jīng)度誤差的大小主要取決于觀測(cè)數(shù)據(jù)是否真實(shí)客觀。若上中天前的觀測(cè)值普遍偏大而上中天后的觀測(cè)值普遍偏小，則擬合曲線對(duì)稱軸左移，反之則右移。由于太陽(yáng)時(shí)角變化較快，所以，經(jīng)度誤差對(duì)于這種偏離較為敏感。對(duì)于熟練的測(cè)者，在極端情況下，若一側(cè)觀測(cè)高度均偏高（或偏低）0′．2而另一側(cè)觀測(cè)高度均偏低（或偏高）0′．2，則可導(dǎo)致對(duì)稱軸左移（或右移）10 s，對(duì)應(yīng)產(chǎn)生2′．5的經(jīng)度定位誤差。

在測(cè)者移動(dòng)的情況下：

在移動(dòng)的載體上進(jìn)行觀測(cè)，可按照修正異頂差的方法，在觀測(cè)時(shí)間不變的前提下，根據(jù)載體移動(dòng)的航跡向和對(duì)地航速，把所有觀測(cè)高度修正到最后一次觀測(cè)的同頂高，這樣可定出最后一次觀測(cè)時(shí)的天文艦位。

修正異頂差的誤差，若采用查表的方法，則主要來(lái)源于把大地球面當(dāng)做平面來(lái)處理的計(jì)算誤差。經(jīng)測(cè)算，在30分鐘內(nèi)，航速不超過(guò)50 kn（節(jié)）的情況下，最大誤差不超過(guò)0′．2。若采用球面三角形進(jìn)行計(jì)算，則基本不產(chǎn)生修正誤差。

由定位誤差分析可知，修正誤差主要對(duì)緯度的定位精度產(chǎn)生影響。

3 擬合算例

2013年4月13日，具有熟練觀測(cè)水平的某測(cè)者在某次測(cè)天定位實(shí)踐中，在太陽(yáng)上中天前后連續(xù)觀測(cè)5組數(shù)據(jù)（時(shí)間間隔無(wú)須相等，數(shù)值如表2所示），由羅經(jīng)測(cè)得太陽(yáng)上中天時(shí)方位為北。

表2 某次太陽(yáng)上中天前后的觀測(cè)數(shù)據(jù)

對(duì)表2數(shù)據(jù)進(jìn)行最小二乘的數(shù)據(jù)擬合，為保證擬合精度，橫軸時(shí)間單位精確到分鐘。擬合后可得圖4所示的二次曲線，其表達(dá)式為

圖4 太陽(yáng)真高度最小二乘法的數(shù)據(jù)擬合

根據(jù)擬合曲線表達(dá)式可得，太陽(yáng)在世界時(shí)3 h 55 m27 s時(shí)達(dá)到最大值57°52′．8。

根據(jù)太陽(yáng)上中天時(shí)的世界時(shí)可求得此時(shí)測(cè)者經(jīng)度為121°16′．5E；太陽(yáng)赤緯為9°5′．0N。

由式（5）可得此時(shí)測(cè)者緯度為41°12′．2N。

在2012年鄭和艦環(huán)球航行的遠(yuǎn)航實(shí)習(xí)教學(xué)中，在不同緯度的海區(qū)進(jìn)行了5組擬合實(shí)驗(yàn)，表3～表7是擬合艦位與差分全球定位系統(tǒng)（global position system，GPS）艦位對(duì)比結(jié)果。

表3 2012年5月7日，GPS讀數(shù)：φ38°46′.0N，λ121°.16′.0E

表4 2012年5月29日，GPS讀數(shù)：φ4°12′.0N，λ91°.36′.0E

表5 2012年6月30日，GPS讀數(shù)：φ46°30′.0N，λ13°.16′.0W

緯度誤差：0′．6；經(jīng)度誤差：2′．2。

表7 2012年9月2日，GPS讀數(shù)：φ21°24′.0S，λ155°.38′.0E

（2）GPS數(shù)據(jù)的解算模型為WGS-84坐標(biāo)系下的地球橢球體，而天文定位的解算模型為大地球體，二者在局部的最大位置誤差為0′．5。

4 結(jié) 論

大量實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明：

（1）可利用數(shù)據(jù)擬合的方法求解太陽(yáng)上中天時(shí)的時(shí)間進(jìn)行船舶定位，對(duì)于熟練的觀測(cè)者來(lái)說(shuō)，緯度最大定位誤差為0′．8，經(jīng)度最大定位誤差為2′．5。

（2）該方法可最大限度地減小觀測(cè)的偶然誤差。根據(jù)偶然誤差的正態(tài)分布規(guī)律，其觀測(cè)值應(yīng)該對(duì)稱分布在真值曲線周圍。而從最小二乘的原理和實(shí)例數(shù)據(jù)可以看出，離散分步的觀測(cè)值均勻散落在擬合曲線周圍，有效減小了偶然誤差對(duì)于定位精度的影響。

（3）為保證觀測(cè)的及時(shí)有效，應(yīng)提前檢查規(guī)正六分儀、測(cè)定指標(biāo)差，確保觀測(cè)數(shù)據(jù)可用。若太陽(yáng)上中天方位為南，應(yīng)該在太陽(yáng)圓周方位到達(dá)170左右即開(kāi)始觀測(cè)采樣；若太陽(yáng)上中天方位為北，應(yīng)該在太陽(yáng)圓周方位到達(dá)010左右即開(kāi)始觀測(cè)采樣。采樣數(shù)據(jù)務(wù)求準(zhǔn)確，采樣時(shí)間間隔不必相等。

至此，我們可以得到如下結(jié)論：用數(shù)據(jù)擬合的方法確定太陽(yáng)上中天的高度和時(shí)間的方法在理論上是完全可行的，其定位精度完全可以滿足一般航海的要求。這種天文自主定位算法不需要推算艦位，沒(méi)有積累誤差，為修正推算艦位和其他形式的天文定位提供了必不可少的前提，可有效提升艦船在大洋航行的自主導(dǎo)航能力。

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Data fitting based algorithm for astronomy autonomous positioning according to observation data

LI Wei，SU Shi-peng，HAN Yun-dong，WANG An-guo
（Navigation Department，Dalian Naval Academy，Dalian 116018，China）

According to maritime astronomy positioning principle，the special nature of the sun can be used for astronomical positioning．When the sun transits，the green semicircle angle is equal to observer’s longitude．According to the law of the sun’s apparent motion，when one uses a sextant，it is difficult to determine the transit time of the sun，and the longitude error will be introduced．In order to solve this problem，combined with data fitting techniques，first the feasibility of fitting solar altitude curve is discussed and demonstrated，then a celestial autonomous positioning method is proposed that doesn’t need projected position．Experimental results showed that the positioning cycle with the algorithm is short，it is simple to carry out and helps to reduce accidental errors．Under skilled observation level，maximum error of latitude and longitude are 0．8 and 2．5，which can fully meet the needs of the general maritime activities．

observation data；fitting；astronomy autonomous positioning algorithm

P 128．2

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．28

李 偉（1980 ），男，講師，博士研究生，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代天文導(dǎo)航技術(shù)。E-mail：apuredrop＠163．com

蘇軾鵬（1980 ），男，講師，碩士，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代氣象導(dǎo)航技術(shù)。E-mail：apuredrop＠tom．com

韓云東（1977 ），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代電子導(dǎo)航技術(shù)。E-mail：gyro-han＠163．com

王安國(guó)（1954 ），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)楝F(xiàn)代天文導(dǎo)航技術(shù)。E-mail：apuredrop＠sina．com

1001-506X（2015）04-0907-04

2014- 03- 14；

2014- 08- 26；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 10- 28。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141028．1618．008．html

國(guó)家科技支撐計(jì)劃（2012BAH36B00）資助課題