具有廣泛學(xué)習(xí)策略的回溯搜索優(yōu)化算法

李牧東，趙 輝，翁興偉

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038）

具有廣泛學(xué)習(xí)策略的回溯搜索優(yōu)化算法

李牧東，趙 輝，翁興偉

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038）

回溯搜索優(yōu)化算法（backtracking search optimization algorithm，BSA）是一種新型的進(jìn)化算法。同其他進(jìn)化算法類似，該算法仍存在收斂速度較慢的缺點(diǎn)。針對(duì)這一問題，在詳細(xì)分析該算法原理的基礎(chǔ)上，提出了具有廣泛學(xué)習(xí)策略的改進(jìn)算法。為了充分利用種群搜索到的較優(yōu)位置，該策略首先利用提出的最優(yōu)學(xué)習(xí)進(jìn)化方程，通過與引入的隨機(jī)進(jìn)化方程之間隨機(jī)選擇來提高算法的收斂速度和搜索精度；另一方面，該策略利用提出的最優(yōu)學(xué)習(xí)搜索方程，通過控制種群的搜索方向，促使種群盡快收斂至全局最優(yōu)解。最后對(duì)20個(gè)復(fù)雜測試函數(shù)進(jìn)行了仿真實(shí)驗(yàn)，并與其他3種目前流行的算法進(jìn)行了比較，統(tǒng)計(jì)結(jié)果和Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)結(jié)果均表明，所提出的改進(jìn)算法在收斂速度以及搜索精度方面具有明顯優(yōu)勢(shì)。

回溯搜索優(yōu)化算法；廣泛學(xué)習(xí)策略；Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)；函數(shù)優(yōu)化

0 引 言

在過去的二十年中，元啟發(fā)式優(yōu)化算法以其結(jié)構(gòu)簡單、求解效率高等特點(diǎn)得到了前所未有的發(fā)展，例如眾所周知的遺傳算法（genetic algorithm，GA）［1］，蟻群算法（ant colony optimization，ACO）［2］和粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）［3］等，并在網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化、智能識(shí)別、圖像處理以及多目標(biāo)優(yōu)化處理等眾多領(lǐng)域都得到了廣泛的應(yīng)用。然而，隨著多模態(tài)、高維、非線性優(yōu)化問題的出現(xiàn)，對(duì)全局優(yōu)化算法提出了更大的挑戰(zhàn)。對(duì)此，學(xué)者們?cè)趯?duì)現(xiàn)有元啟發(fā)式優(yōu)化技術(shù)研究的基礎(chǔ)上，提出了大量的改進(jìn)算法以及新的優(yōu)化算法，以期提高算法的優(yōu)化性能。文獻(xiàn)［4］通過利用PSO算法搜索過程中粒子的較優(yōu)解，對(duì)搜索方程加以改進(jìn)，提高了算法的收斂速度；文獻(xiàn)［5］通過模擬生物的進(jìn)化模型提出了差分進(jìn)化（differential evolution，DE）算法；文獻(xiàn)［6］在DE算法的基礎(chǔ)上通過引入自適應(yīng)進(jìn)化策略提高了算法的性能；文獻(xiàn)［7- 9］通過模擬生物的覓食行為分別提出了人工蜂群（artificial bee colony，ABC）算法、布谷鳥搜索（cuckoo search，CK）算法以及森林狼（grey wolf optimize，GWO）算法等新型元啟發(fā)式優(yōu)化算法。

回溯搜索優(yōu)化算法（backtracking search optimization algorithm，BSA）是Cicicioglu于2013年提出的一種新的進(jìn)化算法［10］。不同于其他進(jìn)化算法，該算法通過產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)種群并控制搜索方向和搜索邊界大大提高了算法的優(yōu)化效率，同時(shí)，由于該算法僅有一個(gè)控制參數(shù)，因此操作更加簡單。文獻(xiàn)［10］通過對(duì)不同類型測試函數(shù)的仿真實(shí)驗(yàn)，證明了該算法具有較好的優(yōu)化性能。

但是，由于BSA在優(yōu)化過程中需要對(duì)函數(shù)進(jìn)行足夠多次數(shù)的評(píng)價(jià)，算法才會(huì)逐漸收斂，因此算法消耗較大，同時(shí)存在收斂速度慢的缺點(diǎn)。針對(duì)這一問題，本文提出了一種新的改進(jìn)BSA。受文獻(xiàn)［11- 12］的啟發(fā)，首先利用種群當(dāng)前最優(yōu)解和較優(yōu)解信息，提出了廣泛學(xué)習(xí)策略，并在此基礎(chǔ)上對(duì)算法中的差分進(jìn)化策略加以改進(jìn)；其次，為了進(jìn)一步提高算法的收斂速度，對(duì)BSA產(chǎn)生的新種群進(jìn)行最優(yōu)學(xué)習(xí)操作，從而使種群中的個(gè)體盡快跳出局部最優(yōu)點(diǎn)。仿真實(shí)驗(yàn)表明該算法能夠有效地提高優(yōu)化性能和效率，是一種可行的優(yōu)化算法。

1 BSA

BSA是一種基于種群的進(jìn)化算法，該算法同其他進(jìn)化算法類似，共分為5個(gè)步驟，分別為種群初始化、歷史種群設(shè)置、種群進(jìn)化、種群交叉和選擇。

（1）種群初始化

由于BSA的性能受種群初始值影響很小，故在該算法中采用隨機(jī)產(chǎn)生種群的方法進(jìn)行初始化，即

式中，Pop為種群，i∈［1，2，3，…，N］且j∈［1，2，3，…，D］，N是種群個(gè)數(shù)，D是種群維數(shù)；low和up分別為搜索區(qū)間的下界和上界；U是隨機(jī)均勻分布函數(shù)。

（2）歷史種群設(shè)置

在BSA中，通過設(shè)置歷史種群OPop來計(jì)算搜索方向，按照式（1）對(duì)其進(jìn)行初始化。在算法循環(huán)開始時(shí)，當(dāng)隨機(jī)數(shù)a小于隨機(jī)數(shù)b時(shí)，OPop＝Pop并將OPop中種群的位置進(jìn)行隨機(jī)排列。通過對(duì)歷史種群的這一操作實(shí)現(xiàn)了該算法對(duì)種群位置的記憶功能。

（3）種群進(jìn)化

通過式（2）產(chǎn)生新的種群：

式中，F(xiàn)為控制搜索方向矩陣（OPop－Pop）幅度的參數(shù)，且Fi＝3·rand，i∈［1，2，…，N］，rand是［0，1］的隨機(jī)數(shù)。

（4）種群交叉

BSA提出了一種新的種群交叉策略，通過設(shè)置混合比例參數(shù)來控制種群間交叉的粒子個(gè)數(shù)，具體公式如下：

式中，map為N×D的二元整數(shù)矩陣，初始賦值為1，具體計(jì)算公式如下：

式中，randi（D）為從［0，D］中隨機(jī)取一個(gè)整數(shù)，mr為混合比例參數(shù)，且mr＝1；rand，a，b為［0，1］的隨機(jī)數(shù)；u為隨機(jī)排序后且u∈［1，2，3，…，D］的整數(shù)向量。不同于DE算法的交叉策略，BSA通過利用mr·rand·D和randi（D）有效控制了新種群T中元素的個(gè)數(shù)，當(dāng)a＜b時(shí)，mapi為多個(gè)具有隨機(jī)位置的二元向量；反之，mapi為僅有一個(gè)元素為0的二元向量。

在新種群產(chǎn)生后，對(duì)種群中的元素進(jìn)行邊界控制，若種群中的元素超出搜索邊界，則按式（1）產(chǎn)生新的種群。

（5）選擇

通過貪婪選擇機(jī)制在新種群T與初始種群Pop中選擇適應(yīng)度值較好的種群個(gè)體，并記錄當(dāng)前最優(yōu)解和對(duì)應(yīng)的解向量，同時(shí)更新初始種群，完成一次迭代。重復(fù)上述過程，直到滿足循環(huán)終止條件，最后輸出最優(yōu)解。

2 具有廣泛學(xué)習(xí)策略的BSA改進(jìn)算法

通過對(duì)BSA的原理分析可知，該算法在循環(huán)初期具有較好的探索能力，然而隨著迭代次數(shù)的增多，BSA容易陷入局部最優(yōu)，導(dǎo)致算法收斂速度減慢，對(duì)于較復(fù)雜的多峰函數(shù)，存在無法搜索到最優(yōu)值的缺點(diǎn)。另一方面，BSA中僅僅通過設(shè)置歷史種群對(duì)種群的搜索方向加以控制，這也是導(dǎo)致其收斂速度減慢的原因。對(duì)此，本文提出了廣泛學(xué)習(xí)策略，通過學(xué)習(xí)種群當(dāng)前搜索到的最優(yōu)信息來控制算法的搜索方向，具體包括最優(yōu)學(xué)習(xí)進(jìn)化方程和最優(yōu)學(xué)習(xí)搜索方程；另一方面，考慮到保持BSA的探索能力，改進(jìn)算法設(shè)置了兩種不同的進(jìn)化方程，具體改進(jìn)如下。

2.1 最優(yōu)學(xué)習(xí)進(jìn)化方程

文獻(xiàn)［11］在研究現(xiàn)有DE算法進(jìn)化策略的基礎(chǔ)上，提出了一種新的進(jìn)化策略，即“DE／current-to-gr_best／1”進(jìn)化搜索策略，如式（5）所示。該策略通過從當(dāng)前種群選取的p%個(gè)種群個(gè)體中選出較優(yōu)的個(gè)體作為控制算法搜索方向的控制向量，有效地提高了算法的收斂速度。

式中，Pgr_best為選取的較優(yōu)個(gè)體，i，r，g∈［1，2，3，…，N］且它們之間互不相等。同時(shí)文獻(xiàn)［4］提出了利用種群當(dāng)前最優(yōu)解信息的方法改善了PSO算法的優(yōu)化性能。本文在文獻(xiàn)［11］的基礎(chǔ)上，通過充分學(xué)習(xí)種群個(gè)體當(dāng)前搜索到的最優(yōu)信息，對(duì)式（5）加以改進(jìn)，提出了最優(yōu)學(xué)習(xí)進(jìn)化方程：

式中，Pbest為當(dāng)前種群搜索到的最優(yōu)位置；OPop是歷史記錄種群。同時(shí)為了避免算法陷入局部最優(yōu)，本文引入“DE／rand／2”進(jìn)化策略：

式中，i，m，n，r，g∈［1，2，3，…，N］且它們之間互不相等；OPop是歷史記錄種群。通過隨機(jī)選擇式（6）和式（7）平衡算法的探索與開發(fā)能力。

2.2 最優(yōu)學(xué)習(xí)搜索方程

文獻(xiàn)［12］針對(duì)ABC算法收斂速度慢、搜索精度不高的問題，受到文獻(xiàn)［4］的啟發(fā)，提出了最優(yōu)引導(dǎo)搜索方程，改善了ABC算法的優(yōu)化性能：

式中，φi，j和μi，j分別為［－1，1］和［0，1.5］的隨機(jī)數(shù)；Popbest，j為當(dāng)前最優(yōu)解向量的第j維。

考慮到種群在完成最優(yōu)學(xué)習(xí)隨機(jī)差分進(jìn)化操作之后，種群需要對(duì)搜索空間進(jìn)一步搜索，以期快速搜索到全局最優(yōu)解，因此在式（8）的基礎(chǔ)上提出了最優(yōu)學(xué)習(xí)搜索方程：

式中，Popgr_best是從更新后的Pop種群中隨機(jī)選取p%后，選出較優(yōu)的種群個(gè)體作為進(jìn)一步搜索的方向引導(dǎo)向量；OPop是歷史記錄種群。該方程在式（8）的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步提高了方程的開發(fā)能力，對(duì)快速收斂至全局最優(yōu)解具有明顯作用。

2.3 改進(jìn)算法流程

由于BSA存在收斂速度慢，容易陷入局部最優(yōu)的缺點(diǎn)，結(jié)合本文提出的最優(yōu)學(xué)習(xí)策略，提出了一種新的BSA改進(jìn)算法。該算法首先通過隨機(jī)選擇兩種不同的隨機(jī)進(jìn)化方程，分別為“DE／rand／2”和本文提出的最優(yōu)學(xué)習(xí)進(jìn)化方程，對(duì)種群進(jìn)行初始搜索；隨后對(duì)優(yōu)化后的種群采用最優(yōu)學(xué)習(xí)搜索方程進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化操作，使其快速跳出局部最優(yōu)，提高其收斂速度。下面給出了BSA改進(jìn)算法的流程：

（1）種群初始化

（2）while不滿足算法終止條件do

（3） for i＝1 to N do

（4） if rand＜rand do

（5） mapi，u（1∶｜mr·rand·D｜）＝0

（6）Mi＝Pbest＋（mapi·Fi）·（Pgr_best－Popi＋OPopr－Popg）

（7） else do

（8） mapi，randi（D）＝0

（9）Mi＝Popi＋（mapi·Fi）·（Popm－Popn＋OPopr－Popg）

（10） end if

（11） end for

（12）貪婪選擇機(jī)制選出較優(yōu)的解并更新Pop

（13） for i from 1 to N

（14） 利用式（9）產(chǎn)生新的優(yōu)化種群V

（15） end for

（16）貪婪選擇機(jī)制選出較優(yōu)的解并更新Pop

（17）end while

（18）輸出最優(yōu)值和最優(yōu)解向量

3 仿真實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的BSA改進(jìn)算法（后簡稱CLBSA）的有效性，對(duì)CEC 2005［12］中的20個(gè)復(fù)雜實(shí)數(shù)優(yōu)化問題進(jìn)行了測試仿真，同時(shí)與標(biāo)準(zhǔn)BSA、文獻(xiàn)［4］提出的CLPSO算法以及文獻(xiàn)［6］提出的DE改進(jìn)算法SADE進(jìn)行了比較。其中F1～F5為單模函數(shù)，F(xiàn)6～F12為標(biāo)準(zhǔn)多模函數(shù)，F(xiàn)13～F14為擴(kuò)展的多模函數(shù)，F(xiàn)15～F20是具有混合結(jié)構(gòu)的復(fù)雜函數(shù)。相比于一般的測試函數(shù)，CEC 2005中所用到的測試函數(shù)能較好地測試算法的優(yōu)化性能，表1給出了20個(gè)函數(shù)的基本信息，包括函數(shù)名稱、搜索區(qū)間、函數(shù)維數(shù)以及最優(yōu)值，其他關(guān)于函數(shù)的詳細(xì)描述可以參見文獻(xiàn)［12］。在仿真中，設(shè)置種群個(gè)數(shù)為30，最大評(píng)價(jià)次數(shù)為150 000，算法精度GolErr＝1e－14（即優(yōu)化得到的全局最優(yōu)值與理論最優(yōu)值差的絕對(duì)值小于GolErr或者達(dá)到最大評(píng)價(jià)次數(shù)時(shí)，算法終止）在BSA和CLBSA中，控制參數(shù)mr＝1，p%＝20%；其他兩種比較算法按照文獻(xiàn)［4］和文獻(xiàn)［6］的參數(shù)設(shè)置方法進(jìn)行設(shè)置。

表1 20個(gè)測試函數(shù)的基本描述

本文采用Matlab R2013a進(jìn)行仿真，運(yùn)行環(huán)境為Intel（R）Core（TM）i5- 3470處理器，3．46G內(nèi)存。仿真針對(duì)同一測試函數(shù)，每個(gè)算法獨(dú)立運(yùn)行30次，比較了4種算法對(duì)20個(gè)測試函數(shù)的統(tǒng)計(jì)平均值和方差。另外，為了更好地對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析，本文引入了文獻(xiàn)［13］采用的優(yōu)化算法比較分析方法，即Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)。該檢驗(yàn)方法是一種成對(duì)比較方法，能夠有效檢驗(yàn)出不同算法存在的明顯差異。在本文中通過將CLBSA分別與其他算法分別比較得出統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，其中，將30次獨(dú)立運(yùn)行的最優(yōu)值作為算法間比較的樣本數(shù)據(jù)，信息顯著水平設(shè)置為0．05。

表2給出了4種算法在20種測試函數(shù)下基于30次獨(dú)立運(yùn)行的統(tǒng)計(jì)平均值（Mean）和方差（Std）。從表2中可以看出，CLBSA無論從收斂精度還是算法穩(wěn)定性方面，相比于BSA，除了在函數(shù)F1，F(xiàn)3，F(xiàn)13和F16外，均有明顯提高，其中在函數(shù)F1的優(yōu)化方面，CLBSA和BSA性能相當(dāng)。相比于CLPSO算法，可以看出，除了函數(shù)F1，F(xiàn)7外，CLBSA在收斂精度和算法穩(wěn)定性方面均優(yōu)于CLPSO算法，其中，對(duì)F1函數(shù)的優(yōu)化表現(xiàn)出相當(dāng)?shù)男阅?，在函?shù)F7的優(yōu)化方面，CLBSA在收斂精度方面與CLPSO算法相當(dāng)，但算法穩(wěn)定性優(yōu)于CLPSO算法。相比于SADE算法，CLBSA除了函數(shù)F1，F(xiàn)4，F(xiàn)5和F7，均表現(xiàn)出了明顯較優(yōu)的優(yōu)化性能，其中在函數(shù)F1，F(xiàn)4和F7優(yōu)化中，CLBSA表現(xiàn)出了較優(yōu)的穩(wěn)定性。

表2 4種算法對(duì)20種測試函數(shù)的測試結(jié)果

圖1 4種不同算法關(guān)于8個(gè)測試函數(shù)隨函數(shù)評(píng)價(jià)次數(shù)變化的收斂曲線

為了進(jìn)一步說明CLBSA算法的有效性，圖1給出了4種算法的收斂曲線。由于篇幅限制，本文列出了典型的8種測試函數(shù)的收斂曲線。從圖1中可以看出，相比于BSA、 CLPSO算法，本文的改進(jìn)算法具有明顯較快的收斂速度；相比于SADE算法，本文算法除對(duì)函數(shù)F1和F9的收斂過程略差外，對(duì)于其他函數(shù)的收斂過程均優(yōu)于SADE算法。

為了更加清楚地比較4種算法的優(yōu)化性能，表3給出了Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)的檢驗(yàn)結(jié)果。其中“R＋”表示CLBSA樣本數(shù)據(jù)中優(yōu)于其他算法的符號(hào)數(shù)；“R－”表示不如其相比較算法的符號(hào)數(shù)；“＋”表示假設(shè)不成立（兩種算法存在明顯差異），CLBSA表現(xiàn)出更好的性能；“－”表示假設(shè)不成立（兩種算法存在明顯差異），CLBSA表現(xiàn)出較差的性能；“＝”表示假設(shè)成立，即兩種算法沒有較大差異。各統(tǒng)計(jì)值的具體計(jì)算原理可參見文獻(xiàn)［13］。從表3中可以看出，相比于CLPSO算法，本文算法僅對(duì)F1函數(shù)優(yōu)化中與其性能并無明顯差異，而在其他函數(shù)的優(yōu)化方面明顯優(yōu)于CLPSO算法；相比于SADE算法，在函數(shù)F1、F2和F7的優(yōu)化過程中，本文算法與其并無明顯差異，在函數(shù)F16的優(yōu)化中，SADE算法優(yōu)于本文算法，而在其他函數(shù)的優(yōu)化方面，本文算法表現(xiàn)出了明顯優(yōu)于SADE算法的優(yōu)化性能；相比于BSA算法，在F3、F15、F16和F18的優(yōu)化過程中，性能優(yōu)于本文算法，在函數(shù)F1和F2的優(yōu)化中，本文算法與其優(yōu)化性能相當(dāng)，而對(duì)于其他函數(shù)的優(yōu)化方面，本文算法表現(xiàn)出明顯優(yōu)于BSA的性能。因此，相比于其他3種算法，CLBSA在對(duì)CEC 2005中的20個(gè)測試函數(shù)的試驗(yàn)結(jié)果可以說明其改進(jìn)的有效性。

表3 基于30次獨(dú)立運(yùn)行的20個(gè)測試函數(shù)最優(yōu)值雙邊Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)結(jié)果

4 結(jié) 論

為了解決標(biāo)準(zhǔn)BSA收斂速度慢和搜索精度不高的問題，本文提出了基于廣泛學(xué)習(xí)策略的改進(jìn)算法，該策略主要由最優(yōu)學(xué)習(xí)進(jìn)化方程和最優(yōu)學(xué)習(xí)搜索方程組成，實(shí)現(xiàn)了對(duì)BSA兩部分的改進(jìn)。通過對(duì)CEC 2005中20個(gè)復(fù)雜測試函數(shù)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果和Wilcoxon符號(hào)秩檢驗(yàn)結(jié)果可以看出，相比于其他3種優(yōu)化算法，本文提出的BSA改進(jìn)算法有效提高了算法的搜索性能，是一種提高BSA收斂速度的可行解決方案。

另一方面，如何利用改進(jìn)的優(yōu)化算法解決多目標(biāo)優(yōu)化問題以及動(dòng)態(tài)優(yōu)化問題是下一步需要研究的方向。

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Backtracking search optimization algorithm with comprehensive learning strategy

LI Mu-dong，ZHAO Hui，WENG Xing-wei
（School of Aeronautics and Astronautics，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China）

The backtracking search optimization algorithm（BSA）is a novel evolution algorithm．However，the BSA has the problem of low convergence speed as the same as the other evolution algorithms．Aiming at this problem，an improved BSA with the comprehensive learning strategy is proposed based on detailed analysis of BSA．The strategy is used for making full use of the better solutions that the population obtains．Firstly，the global best learning equation is proposed and the random evolution equation is introduced in the strategy．They are chosen randomly so as to improve the convergence speed and precision of the improved algorithm．Secondly，in order to control the search direction，the global best search equation is proposed in the strategy so as to reach the global best solution as fast as possible．Finally，20 complex benchmarks and other three popular algorithms are compared to illustrate the superiority of BSA with comprehensive learning strategy．The experimental results and the Wilcoxon signed ranks test results show that the BSA with comprehensive learning strategy outperformed the other three algorithms in terms of convergence speed and precision．

backtracking search optimization algorithm（BSA）；comprehensive learning strategy；Wilcoxon signed ranks test；function optimization

TP 13

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．36

李牧東（1987-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)樽顑?yōu)化理論與方法、無人飛行器武器系統(tǒng)總體技術(shù)。E-mail：lmd422＠163．com

1001-506X（2015）04-0958-06

2014- 05- 13；

2014- 09- 25；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 11- 05。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141105．1633．011．html

航空科學(xué)基金（20105169016）；中國博士后基金（2012M5211807）資助課題

趙 輝（1974-），男，教授，博士，主要研究方向?yàn)槲淦飨到y(tǒng)與運(yùn)用工程、最優(yōu)化方法。E-mail：zhao_kgy＠163．com

翁興偉（1980-），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)槲淦飨到y(tǒng)與運(yùn)用工程、最優(yōu)化方法。E-mail：liuziyang_kgy＠163．com