基于不確定性描述的云化Markov鏈狀態(tài)預(yù)測(cè)方法

查 翔，倪世宏，謝 川，張 鵬

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038）

基于不確定性描述的云化Markov鏈狀態(tài)預(yù)測(cè)方法

查 翔，倪世宏，謝 川，張 鵬

（空軍工程大學(xué)航空航天工程學(xué)院，陜西西安710038）

針對(duì)Markov鏈在預(yù)測(cè)概率發(fā)生跳變時(shí)無(wú)法有效地衡量樣本歸屬程度的問(wèn)題，提出一種云化Markov鏈的狀態(tài)預(yù)測(cè)方法，通過(guò)云模型描述和處理樣本的不確定性。該方法將劃分的狀態(tài)區(qū)間視作一種概念，利用云模型對(duì)其進(jìn)行云化表示，據(jù)此計(jì)算樣本對(duì)各概念的確定度，得到概念之間的概率轉(zhuǎn)移矩陣，從而實(shí)現(xiàn)帶有隨機(jī)特性的狀態(tài)預(yù)測(cè)。概念轉(zhuǎn)移概率作為關(guān)鍵隨機(jī)變量，對(duì)其進(jìn)行了核密度估計(jì)。最后以多次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的概率和提取代表性轉(zhuǎn)移概率分別給出了仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果，表明該不確定性描述的預(yù)測(cè)方法在解決Markov鏈預(yù)測(cè)概率跳變現(xiàn)象的同時(shí)，可通過(guò)確定度的分配有效地表述樣本的歸屬程度，具有較好的實(shí)用性。

不確定性；Markov鏈；云模型；預(yù)測(cè)

0 引 言

時(shí)間序列的衍變過(guò)程蘊(yùn)含著多種不確定性，通常運(yùn)用隨機(jī)過(guò)程來(lái)模擬、分析和處理這一類問(wèn)題。針對(duì)隨時(shí)間變化的動(dòng)態(tài)變量預(yù)測(cè)，基于Markov鏈模型的狀態(tài)預(yù)測(cè)是一個(gè)較好的選擇［1］。與點(diǎn)預(yù)測(cè)［23］不同，Markov鏈模型實(shí)現(xiàn)的是定性預(yù)測(cè)，通過(guò)將樣本劃分多個(gè)狀態(tài)區(qū)間，對(duì)每個(gè)區(qū)間賦予帶有自然含義的概念，預(yù)測(cè)結(jié)果屬于狀態(tài)區(qū)間的范疇，從而可將該模型得到的結(jié)果歸結(jié)為一種定性結(jié)論。

然而，這種定性預(yù)測(cè)方法在定量數(shù)據(jù)發(fā)生微小波動(dòng)時(shí)可能會(huì)引起預(yù)測(cè)狀態(tài)概率的跳變，即由某一狀態(tài)變換到另一狀態(tài)時(shí)，概率變化幅度過(guò)大，狀態(tài)轉(zhuǎn)移的過(guò)程不穩(wěn)定。一般而言，事物發(fā)展若是平穩(wěn)的，相應(yīng)的隸屬狀態(tài)的概率也應(yīng)是漸進(jìn)變化的。產(chǎn)生這種現(xiàn)象的本質(zhì)原因在于狀態(tài)區(qū)間的劃分過(guò)于明確，屬于一種確定性的分析方法。文獻(xiàn)［4］根據(jù)輸入樣本的激活強(qiáng)度決定是否采取硬或軟劃分，從而建立不同情形的Markov鏈狀態(tài)空間，但該方法對(duì)每種情形下的Markov狀態(tài)空間單獨(dú)進(jìn)行討論，未實(shí)現(xiàn)真正意義上的軟化。文獻(xiàn)［5］提出了一種加權(quán)Markov模型，將明確狀態(tài)下的劃分矩陣拓展為模糊劃分矩陣，但需事先確定樣本對(duì)模糊狀態(tài)的隸屬度分配（即確定隸屬度函數(shù)的形式）。文獻(xiàn)［6］通過(guò)引入Dempster-Shafer（DS）證據(jù)理論建立了一種信度Markov模型，由基本概率指派函數(shù)（basic probability assignment，BPA）所指定的基概率數(shù)可類比模糊隸屬度，但仍屬于一次精確性的方法；它需根據(jù)應(yīng)用背景設(shè)計(jì)相應(yīng)的BPA，雖然存在較大的靈活性，但未提及可參考設(shè)計(jì)的理論和方法，實(shí)現(xiàn)起來(lái)較為困難。

以上方法在解決預(yù)測(cè)概率的跳變現(xiàn)象時(shí)，均需要通過(guò)為已知樣本指定精確的隸屬度來(lái)衡量和表述樣本的歸屬程度，但這一方式缺乏可參考的依據(jù)，預(yù)測(cè)結(jié)果的不可預(yù)知性成為難以回避的問(wèn)題。為此，本文考慮引入不確定性人工智能中的云理論，提出一種基于不確定性描述的云化Markov鏈狀態(tài)預(yù)測(cè)方法，以云理論中的確定度類比隸屬度，利用區(qū)間云化以及概念確定度的分配描述和處理對(duì)象的不確定性，并使這種不確定性能貫穿方法的始終。該方法既能彌補(bǔ)Markov鏈的預(yù)測(cè)概率發(fā)生跳變這一缺陷，又避免了隸屬度函數(shù)或BPA的設(shè)計(jì)問(wèn)題，并且可獲得隨機(jī)描述的預(yù)測(cè)概率。它在繼承模糊理論和信度Markov鏈優(yōu)點(diǎn)的同時(shí)，將不確定性融入Markov鏈中進(jìn)行研究，取得了較理想的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。

1 基于Markov鏈理論的狀態(tài)預(yù)測(cè)

Markov鏈?zhǔn)且活愄厥獾臅r(shí)間和狀態(tài)均離散的隨機(jī)過(guò)程，主要特征在于它的無(wú)后效性（即馬氏性）［79］。確切地說(shuō)，已知隨機(jī)過(guò)程在“當(dāng)前”時(shí)刻所處狀態(tài)的前提下，可以確定其“未來(lái)”時(shí)刻的狀態(tài)概率分布，而這一概率分布與“歷史”狀態(tài)無(wú)關(guān)。Markov鏈的嚴(yán)格定義由條件概率分布函數(shù)給出。

定義1 對(duì)于一離散隨機(jī)過(guò)程｛Z（t）｝以及離散時(shí)間集T＝｛0，1，2，…｝，t∈T，設(shè)｛Z（t）｝定義在概率空間（Ω，Γ，P）上且具有可數(shù)狀態(tài)空間E，滿足?t∈N＋以及i1，i2，…，in∈E，有

則稱滿足式（1）條件分布函數(shù)的離散隨機(jī)過(guò)程為Markov鏈，這一性質(zhì)也被稱作馬氏性。Markov鏈簡(jiǎn)化的表達(dá)形式為

在式（2）中，Pij（t，t＋k）表示隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)刻處于狀態(tài)i的條件下，在t＋k時(shí)刻轉(zhuǎn)移至狀態(tài)j的概率。若k＝1，則構(gòu)造一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P＝（pij）m×m，其中，m為劃分的狀態(tài)數(shù)，pij由狀態(tài)轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣確定，滿足1，2，…，k）。當(dāng)k＞1時(shí)，可類似構(gòu)造多步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣P，通過(guò)Chapman-Kolmogorov方程計(jì)算得到。本文主要利用一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣建立Markov鏈預(yù)測(cè)模型。

應(yīng)用Markov鏈分析和解決問(wèn)題的首要前提是隨機(jī)過(guò)程必須符合馬爾可夫性，需要作馬氏性檢驗(yàn)，具體過(guò)程可參考文獻(xiàn)［10］。另外，Markov鏈預(yù)測(cè)方法中一個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題是如何實(shí)現(xiàn)區(qū)間的劃分，每個(gè)區(qū)間對(duì)應(yīng)一個(gè)Markov狀態(tài)，常用的劃分方法有經(jīng)驗(yàn)法、均值-方差法、平行曲線法以及聚類分析法等，需根據(jù)具體應(yīng)用合理選取。

2 面向預(yù)測(cè)的不確定性云化Markov鏈預(yù)測(cè)方法

2.1 實(shí)現(xiàn)思路

不確定性建模方法主要從兩個(gè)方面體現(xiàn)：一是模糊性，從概念的區(qū)分程度來(lái)反映；二是隨機(jī)性，可體現(xiàn)在結(jié)果的表達(dá)形式上?，F(xiàn)有的模糊集［45］、DS證據(jù)理論［6］等建模方法仍然集中在精確的隸屬度（或概率指派）上，不論樣本屬于一種或多種狀態(tài)，其隸屬程度在整個(gè)建模過(guò)程保持不變，這與模糊的思想是相悖的，為對(duì)象分配的隸屬度應(yīng)圍繞某一中心值做微小波動(dòng)，直接表現(xiàn)為具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)；并且模糊性與隨機(jī)性之間常具有很強(qiáng)的關(guān)聯(lián)性，這一規(guī)律不能被簡(jiǎn)單忽略。文獻(xiàn)［11］提出的云模型可有效地描述和處理概念的這種不確定性，能夠表達(dá)兼有模糊性和隨機(jī)性的定性概念，在群智能優(yōu)化［12］、模式識(shí)別［13］以及綜合評(píng)價(jià)［14］等領(lǐng)域應(yīng)用廣泛。

本文首先根據(jù)所獲得的定量數(shù)據(jù)進(jìn)行區(qū)間劃分，將每個(gè)區(qū)間視為一種狀態(tài)概念，把精確的數(shù)值合理轉(zhuǎn)換成有限個(gè)定性語(yǔ)言值；通過(guò)融合云模型對(duì)區(qū)間進(jìn)行描述并建立云劃分，用以表達(dá)每個(gè)特定區(qū)間內(nèi)數(shù)值本身的不確定性，并在此基礎(chǔ)上求解概念之間的概率轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)一步實(shí)現(xiàn)Markov鏈的狀態(tài)預(yù)測(cè)。

2.2 基于云的區(qū)間概念描述

云是某個(gè)定性概念與其定量表示之間的一種不確定性轉(zhuǎn)換模型，構(gòu)成了定性與定量之間的相互映射，其定義如下［11］：

定義2 設(shè)U是用精確數(shù)值表示的定量論域，C為U上的一個(gè)定性概念，若U中的定量值x為定性概念C的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)，那么x對(duì)C的確定度y＝μC（x）∈［0，1］是具有穩(wěn)定傾向的隨機(jī)數(shù)，則稱在論域U上（x，y）的分布為云，（x，y）為其中的一個(gè)云滴。

云的數(shù)字特征反映了定性概念的整體定量特性，即期望Ex、熵En和超熵He，其中，Ex表示云滴在論域空間分布的期望值，代表了定性概念的重心位置；En是定性概念隨機(jī)性以及亦此亦彼性的度量，En越大，可被概念接受的論域范圍越大，概念也就更為模糊；He為熵不確定性的度量，即熵的熵，體現(xiàn)了論域值隸屬于概念程度的凝聚性，其值間接反映在云的厚度上。根據(jù)這3個(gè)數(shù)字特征，語(yǔ)言集中各定性概念Ci的云模型可表示成Ci（Exi，Eni，Hei），實(shí)際中常使用正態(tài)云模型［1517］，本文也用來(lái)表示對(duì)應(yīng)的狀態(tài)區(qū)間。

傳統(tǒng)Markov鏈所涉及的可數(shù)個(gè)狀態(tài)區(qū)間是確定的，即各區(qū)間邊界是精確不變的值，它們所代表的概念比較明確和獨(dú)立，但實(shí)際上人對(duì)概念區(qū)間的理解通常是較為模糊的，概念之間并沒(méi)有明確的界限，相鄰概念之間存在著過(guò)渡區(qū)域。例如將航空發(fā)動(dòng)機(jī)的健康狀態(tài)劃分為5個(gè)：健康、亞健康、合格、異常以及故障，它們均是用定性語(yǔ)言表示的狀態(tài)或區(qū)間概念，對(duì)處于相鄰狀態(tài)邊緣的發(fā)動(dòng)機(jī)不能確切指定所屬哪一個(gè)狀態(tài)，這也是符合實(shí)際的，以上狀態(tài)的劃分只是便于后續(xù)的評(píng)估。因此，本文考慮首先根據(jù)序列樣本的取值范圍進(jìn)行狀態(tài)區(qū)間的硬劃分，對(duì)得到的每一區(qū)間用云模型進(jìn)行概念描述，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)區(qū)間的軟化與云化。與建立隸屬度函數(shù)的模糊集方法的區(qū)別在于，區(qū)間云模型的描述只需3個(gè)參數(shù)，可根據(jù)每一區(qū)間內(nèi)的樣本分布規(guī)律靈活調(diào)整參數(shù)值；由于云模型本身的特點(diǎn)，采用正向正態(tài)云發(fā)生器［18-19］獲得的定量值對(duì)某一概念的確定度（隸屬度）具有隨機(jī)性而非常數(shù)，從而使Markov鏈的預(yù)測(cè)結(jié)果帶有不確定性。

假設(shè)已經(jīng)對(duì)序列樣本｛X（t）｝進(jìn)行了區(qū)間劃分，得到m個(gè)狀態(tài)區(qū)間的集合S＝｛Si｝，（i＝1，2，…，m）。根據(jù)云化方法的思想，將S視為一概念集C，對(duì)其中的每個(gè)概念利用云模型來(lái)刻畫，這樣共得到m個(gè)概念云，它們共同組成連續(xù)語(yǔ)言值上的云標(biāo)尺，這樣就完成了由定量到定性的轉(zhuǎn)換過(guò)程。云標(biāo)尺用來(lái)計(jì)算每個(gè)樣本相對(duì)于其上各云模型的確定度，其中各云的數(shù)字特征根據(jù)不同情形確定：

（1）若區(qū)間Si為雙邊有界（包括半開(kāi)半閉、全閉以及全開(kāi)區(qū)間情形），上、下確界分別為sup（Si）、inf（Si）。此時(shí)為Si建立正態(tài)云Ci＝（Exi，Eni，Hei），Exi自然地用區(qū)間的中值表示，即Exi＝［sup（Si）＋inf（Si）］／2；根據(jù)正態(tài)云的“3En規(guī)則”［13］，對(duì)定性概念Ti有貢獻(xiàn)的云滴主要集中在區(qū)間［Exi－3Eni，Exi＋3Eni］內(nèi)，那么近似有

即Eni≈［sup（Si）－inf（Si）］／6，并以此作為Eni的計(jì)算式；Hei＝ci，其中，ci為一常數(shù)，根據(jù)變量本身的模糊度和隨機(jī)度經(jīng)驗(yàn)調(diào)整。ci越大，云滴離散程度越大，概念越模糊，算法會(huì)失去穩(wěn)定性；ci越小，一定程度上會(huì)失去隨機(jī)性；當(dāng)ci＝0時(shí)，云將退化為基本的正態(tài)分布。

（2）若區(qū)間Si為單邊有界，即上、下確界只存其一，這種情況下Si只可能位于云標(biāo)尺的兩端。此時(shí)為Si建立半梯形云Ci＝（Exi1，Exi2，Eni，Hei），它屬于一種綜合云，與正態(tài)云相比多出一個(gè)期望參數(shù)。首先根據(jù)已有的序列樣本或先驗(yàn)知識(shí)大致給出另一未知的確界值，作為Exi2，然后按照情形（1）中雙邊有界區(qū)間的參數(shù)計(jì)算方式，由兩確界值分別計(jì)算Exi和Eni，則Exi1＝Exi，Hei仍取經(jīng)驗(yàn)常數(shù)ci。

2.3 云化Markov鏈預(yù)測(cè)方法的實(shí)現(xiàn)

云化方法將原劃分區(qū)間理解為狀態(tài)概念，要建立云Markov鏈預(yù)測(cè)模型，關(guān)鍵在于計(jì)算概念到概念之間的一步轉(zhuǎn)移概率，繼而得到一步概念轉(zhuǎn)移概率矩陣，仍然用P進(jìn)行表示。為得到P，首先需要計(jì)算序列樣本相對(duì)于各概念云的確定度，用X條件云發(fā)生器［11］實(shí)現(xiàn)。對(duì)于不同的云類型，計(jì)算方法也有所區(qū)別。

2.3.1 多序列樣本多概念的確定度計(jì)算

設(shè)序列樣本x1，x2，…，xn∈｛X（t）｝，云標(biāo)尺上各概念正態(tài)云Cj對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征為（Exj，Enj，Hej），將序列樣本xt看作Cj的一次隨機(jī)實(shí)現(xiàn)（t＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m），那么xt對(duì)Cj的確定度μj（xt）計(jì)算方法為：

（1）對(duì)概念Cj，生成一個(gè)正態(tài)隨機(jī)數(shù)En′jt＝norm（Enj，He2j），其中，norm（·，·）為正態(tài)隨機(jī)數(shù)生成函數(shù)，以Enj為期望和Hej為標(biāo)準(zhǔn)差；

（2）將xt視為特定取值，得到其對(duì)概念Cj的確定度為

（3）對(duì)所有序列樣本以及每一概念云，重復(fù)上述過(guò)程，共得到m·n個(gè)確定度變量。

若概念對(duì)應(yīng)的云為半梯形云，是一種組合云，數(shù)字特征與正態(tài)云相比有所不同，此時(shí)需要增加對(duì)xt所處位置的判別，不同位置得到的確定度不同。假設(shè)半梯形云Cj為左半升的，其對(duì)應(yīng)的數(shù)字特征（Exj1，Exj2，Enj，Hej），那么xt對(duì)概念Cj的確定度μj（xt）分以下兩種情況計(jì)算：

（1）若xt≤Exj1，即xt位于Cj的上升部分，此時(shí)μj（xt）的計(jì)算方式同正態(tài)云；

（2）若Exj1＜xt≤Exj2，即xt位于Cj的平穩(wěn)部分。根據(jù)半梯形云的特點(diǎn)，這一部分是上升部分的延續(xù)，考慮到確定度的最大值為1，此時(shí)μj（xt）不具備隨機(jī)性，μj（xt）≡1。

對(duì)于右半降的半梯形云Cj，其下降部分是平穩(wěn)部分的延續(xù)，計(jì)算確定度的方法類似。

無(wú)論概念云為正態(tài)云或者半梯形云，根據(jù)計(jì)算步驟得到的所有確定度變量，共同構(gòu)成序列樣本與概念之間的確定度矩陣V?（μj（xt））m×n。由于中間變量En′jt或y′是隨機(jī)的，因此μj（xt）并不是固定值，V構(gòu)成一個(gè)隨機(jī)矩陣，這一現(xiàn)象體現(xiàn)了序列樣本與概念之間的不確定性轉(zhuǎn)換關(guān)系，這也是本文云化方法的一個(gè)特點(diǎn)。確定度矩陣V具的性質(zhì)如下：

性質(zhì)1 對(duì)固定的j和t，V中的元素μj（xt）并不為常數(shù)，服從某一特定分布；

前3條性質(zhì)容易理解。對(duì)于任何一個(gè)定義在已有m個(gè)概念云范圍內(nèi)的序列樣本，可同時(shí)屬于其中一個(gè)或多個(gè)概念云，但所有概念云下的確定度之和應(yīng)該等于1，這也符合人的認(rèn)知。然而由性質(zhì)4可知，確定度矩陣V并不符合這一條件。為此，以單個(gè)序列樣本為對(duì)象，將該樣本下所有可能的確定度進(jìn)行歸一化處理，即

進(jìn)一步地可推知

2.3.2 概念轉(zhuǎn)移概率矩陣的求解

概念轉(zhuǎn)移概率矩陣可視為云方法下Markov鏈概率轉(zhuǎn)移矩陣的一種擴(kuò)展，可依據(jù)更新后的確定度矩陣V對(duì)其求解。設(shè)概念轉(zhuǎn)移概率矩陣P＝（pij）m×m，其中，pij為云Markov鏈模型中由概念Ci轉(zhuǎn)移到概念Cj的轉(zhuǎn)移概率，類比狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率的定義，有

式中，μi（xt）（或μj（xt））代表序列樣本xt對(duì)概念Ci（或Cj）的確定度；n為樣本長(zhǎng)度；m為概念總數(shù)。pij的含義是：“所有序列樣本由概念Ci轉(zhuǎn)移到Cj的確定度之和”與“所有序列樣本由概念Ci轉(zhuǎn)移到所有概念的確定度之和”的比值，滿足：pij≥0且

由式（11）可知，V中任意μi（xt）均是隨機(jī)的，以致pij在每次計(jì)算時(shí)都會(huì)變化，pij仍然構(gòu)成隨機(jī)變量，有自己的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。為簡(jiǎn)單起見(jiàn)，假設(shè)所有概念云為正態(tài)云，聯(lián)立式（4）和式（11），得

式中，En′it，En″it～N（Eni，He2i），En′jt，En″jt～N（Enj，He2j）（t＝1，2，…，n；j＝1，2，…，m）；對(duì)于每個(gè)xt，均存在不同的隨機(jī)變量En′it、En″it、En′jt和En″it，這樣分子和分母各包含2（n－1）個(gè)以及2m（n－1）個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們組成多維隨機(jī)矢量Q。將式（12）中出現(xiàn)的各xt、xt＋1、Exi、Exj均視為常量，那么復(fù)合隨機(jī)變量pij為Q的函數(shù)，記為

若不同的xt對(duì)應(yīng)著同一個(gè)概念Ci（或Ci），那么此時(shí)En′it（或En′jt）服從同一參數(shù)下的正態(tài)分布。

要深入考察某一隨機(jī)變量的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)，常需要求解其概率密度函數(shù)，繼而得到各項(xiàng)數(shù)字特征（如期望、方差或各階距等）。以pij作為目標(biāo)隨機(jī)變量，若將En′it或En′jt的正態(tài)概率密度函數(shù)代入式（12）中，易知pij的計(jì)算式含有嵌套的指數(shù)函數(shù)，很難得到具有解析形式的概率密度函數(shù)。對(duì)于這種情況，可利用Parzen窗方法對(duì)pij進(jìn)行非參數(shù)的核密度估計(jì)［20-21］。該方法不需事先假定分布函數(shù)的形式，而是直接根據(jù)已知的樣本進(jìn)行概率密度估計(jì)。核密度估計(jì)的函數(shù)＾f（x）可表示為

式中，n為樣本長(zhǎng)度；h為窗的寬度；d為樣本維數(shù)；K（·）為核函數(shù)，本文采用Guass核函數(shù)另外，h的選擇采用式（15）固定形式［22］。

式中，δ為樣本的標(biāo)準(zhǔn)差。

2.3.3 目標(biāo)概率分布向量的預(yù)測(cè)

在已知初始狀態(tài)概率分布的情況下，對(duì)未來(lái)時(shí)刻系統(tǒng)歸屬各概念的概率分布作出預(yù)測(cè)，進(jìn)而根據(jù)各概念的預(yù)測(cè)概率值大小作出決策分析。設(shè)t時(shí)刻樣本xt對(duì)各概念的歸一化確定度為μ′j（xt）（j＝1，2，…，m），對(duì)應(yīng)確定度矩陣V的第t列，將其轉(zhuǎn)置得到初始概率分布矢量π（t）＝（π1（t），π2（t），…，πm（t））。在求得概念轉(zhuǎn)移概率矩陣P之后，根據(jù)Markov鏈一步預(yù)測(cè)思想，計(jì)算t＋1時(shí)刻各概念的概率分布矢量π（t＋1）為

對(duì)于π（t＋1），依據(jù)最大概率原則取最大概率對(duì)應(yīng)的概念作為最終的預(yù)測(cè)結(jié)果。由于矩陣P的隨機(jī)性，π（t＋1）相應(yīng)地表現(xiàn)為隨機(jī)矢量，這體現(xiàn)出預(yù)測(cè)結(jié)果的不確定性，可進(jìn)行多次試驗(yàn)對(duì)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析。對(duì)于新獲得的樣本，可將其加入到原始樣本序列中，按前述方法對(duì)概念轉(zhuǎn)移概率矩陣實(shí)現(xiàn)更新。

3 仿真實(shí)驗(yàn)

這一部分的實(shí)驗(yàn)仍然基于文獻(xiàn)［6］中澳大利亞Monash大學(xué)Hyndman教授公開(kāi)的測(cè)試樣本，以驗(yàn)證本文方法的效果。

3.1 區(qū)間概念的描述及可視化

測(cè)試樣本共包含20期的庫(kù)存需求情況統(tǒng)計(jì)，并滿足Markov性。為了能與信度Markov模型有更好的可比性，本文按照同一方式，將序列樣本硬劃分為3個(gè)連續(xù)的狀態(tài)區(qū)間：［0，150），［150，200］，（200，＋∞］，分別用概念L、M和H表示，易知前兩個(gè)均為雙邊約束區(qū)間，而第3個(gè)為單邊約束區(qū)間。按照第2.1節(jié)云化區(qū)間概念的方法，設(shè)超熵He＝2，則各概念云的參數(shù)為C1（75，25，2），C2（175，8.33，2），C3（215，229，0.5，2）。通過(guò)正向云（正態(tài)云和半梯形云）發(fā)生器算法計(jì)算云滴的確定度，生成各概念云組成的可視化云標(biāo)尺，如圖1所示。

圖1 各概念的云標(biāo)尺

云標(biāo)尺圖實(shí)現(xiàn)了由定性概念到定量表示的過(guò)程，圖1直觀地給出了各區(qū)間上庫(kù)存需求情況統(tǒng)計(jì)的確定度分布情況：越靠近區(qū)間中心的樣本，歸屬于該區(qū)間概念的確定度越大（最大可為1），概念也就越清楚；越靠近區(qū)間交集部分的樣本，不同交集區(qū)間的確定度相對(duì)較小，且差異不大，概念也就越模糊。另外，任意樣本的確定度也是不確定的，并不是固定值，這恰能反映系統(tǒng)發(fā)展規(guī)律的動(dòng)態(tài)性。因此，云化方法較好地體現(xiàn)出了建模的不確定性，能夠反映序列樣本的自身特點(diǎn)。

3.2 概念轉(zhuǎn)移概率的統(tǒng)計(jì)規(guī)律分析

概念之間的轉(zhuǎn)移概率屬于云化Markov鏈方法中關(guān)鍵隨機(jī)變量，但因其表達(dá)形式復(fù)雜，很難挖掘其變化規(guī)律。這里不妨以求解p12和p23為例進(jìn)行說(shuō)明，即由概念L轉(zhuǎn)移到概念M、概念M轉(zhuǎn)移到概念H的轉(zhuǎn)移概率，其他轉(zhuǎn)移概率的分析方法類似。由樣本及概念描述，n＝20，m＝3，則Q的維數(shù)為152。根據(jù)pij的定義，每次仿真下均會(huì)得到152個(gè)隨機(jī)確定度，它們?nèi)匀粷M足性質(zhì)4，并由此計(jì)算pij的值。對(duì)核密度估計(jì)而言，樣本越多，估計(jì)出的概率密度越接近真實(shí)情況，為此仿真500次，共得到500個(gè)pij的隨機(jī)取值，然后按照第2.3.2節(jié)的方法，畫出p12和p23的核密度估計(jì)曲線，如圖2所示。

圖2 不同概念轉(zhuǎn)移概率的核密度估計(jì)曲線（He＝2）

圖2 說(shuō)明了p12和p23的核密度估計(jì)曲線不同于正態(tài)分布的形式，而是呈現(xiàn)未知的特定分布，這與理論分析是一致的。由于各項(xiàng)確定度計(jì)算方法的差異，導(dǎo)致p12和p23的核密度估計(jì)曲線形式也有所區(qū)別，包括中心位置和對(duì)稱性等方面。

3.3 數(shù)據(jù)變動(dòng)對(duì)結(jié)果的影響

隨機(jī)性為本文預(yù)測(cè)模型的特性之一，只進(jìn)行一次實(shí)驗(yàn)無(wú)法對(duì)其充分描述；另外，為說(shuō)明最后一期（即第20期）的不同數(shù)值對(duì)預(yù)測(cè)結(jié)果的影響，將最后一期的數(shù)值（記為d（20））由197逐漸增加到204，并在每一數(shù)值下重復(fù)20次仿真實(shí)驗(yàn)，預(yù)測(cè)第21期（記為d（21））的概率分布，如圖3所示。

圖3 不同d（20）對(duì)結(jié)果的影響（重復(fù)20次實(shí)驗(yàn)

在圖3中，預(yù)測(cè)第21期時(shí)對(duì)應(yīng)的概率分別記為πL（21）、πM（21）以及πH（21）?？梢钥闯?，任意一幅子圖中，每次仿真下得到的結(jié)果是隨機(jī)的；d（20）＝197時(shí)，其距離狀態(tài)邊界相對(duì)較遠(yuǎn)，歸屬狀態(tài)M的確定度與其他兩個(gè)概念的確定度差異較大（可從云標(biāo)尺中反映出），幾乎總有πH（21）＜πM（21），πL（21）＜πM（21），隨機(jī)性對(duì)確定度的影響不很明顯。隨著d（20）的增加，其逐漸逼近狀態(tài)M和H的交界部分，對(duì)應(yīng)著兩個(gè)概念比較明顯的混疊邊界，此時(shí)πM（21）整體下降，而πH（21）呈整體上升趨勢(shì)，兩者之間的差異逐漸縮小。如d（20）＝198以及d（20）＝199時(shí)，從圖3中已經(jīng)很難判斷歸屬狀態(tài)M和H的概率差異，這是模型不確定性的原因所致。當(dāng)d（20）進(jìn)一步增加時(shí)，其逐漸遠(yuǎn)離狀態(tài)M和H的交界部分，πH（21）繼續(xù)保持增加的趨勢(shì)，d（20）歸屬狀態(tài)H的程度更為明顯，如d（20）＝204時(shí)，概念H占主導(dǎo)地位，除了由于隨機(jī)性的原因少數(shù)情況出現(xiàn)πH（21）＜πM（21）。另外，最后一期的數(shù)值偏離概念L較遠(yuǎn)，因此在數(shù)值變動(dòng)范圍內(nèi)πL（21）始終保持較小值。

為了更直觀地表明以上變化規(guī)律，將d（20）作為自變量，取值范圍為［195，204］，觀察第21期概率分布的變化情況，如圖4所示。對(duì)d（20）的每一取值，在確定概念轉(zhuǎn)移概率pij時(shí)，取其核密度估計(jì)曲線峰值對(duì)應(yīng)的橫坐標(biāo)值作為此概念轉(zhuǎn)移概率代表性的點(diǎn)，如根據(jù)圖2，可知p12＝0.589，p23＝0.239，以此進(jìn)一步計(jì)算d（21）的預(yù)測(cè)概率。由于估計(jì)核密度曲線時(shí)所用樣本有限，不同取值樣本下得到的曲線存在稍許差異。

可以看到，當(dāng)d（20）逐漸增加時(shí)，d（21）的各概念預(yù)測(cè)概率距呈現(xiàn)緩慢變化的趨勢(shì)，未出現(xiàn)概率跳變現(xiàn)象，達(dá)到了與信度Markov模型同樣的效果。根據(jù)極大概率判定的思想，當(dāng)d（20）＝200時(shí)，d（21）歸屬的概念發(fā)生變化，由概念M轉(zhuǎn)變成概念H；而信度Markov模型則是在d（20）＝197時(shí)出現(xiàn)這一變化，這是由各模型本身的特點(diǎn)決定的。然而，本文方法有其獨(dú)特之處：模型的不確定性使得圖4的結(jié)果不唯一，即使采用核密度曲線中具有代表性的概率點(diǎn)，每次仿真時(shí)預(yù)測(cè)概率曲線仍有些許變動(dòng)；并且某一概念下的曲線走勢(shì)可能非單調(diào)，如概念M先增后減，相比之下，信度Markov模型得到的各預(yù)測(cè)概率是確定的并且單調(diào)變化。

圖4 基于代表性轉(zhuǎn)移概率的d（21）預(yù)測(cè)概率曲線

3.4 不同超熵對(duì)結(jié)果的影響

若樣本已知，按第3.1節(jié)描述云概念的方法，云模型的期望和熵可唯一確定，而超熵為可變參數(shù)，它對(duì)云化Markov鏈的影響直接反映在概念轉(zhuǎn)移概率的計(jì)算上。超熵越大，pij的隨機(jī)性越大，分布范圍也就越廣。為了說(shuō)明這一問(wèn)題，圖5給出了He＝5時(shí)的核密度估計(jì)曲線，并與圖2進(jìn)行對(duì)比。

根據(jù)圖5，p12和p23具有代表性的密度點(diǎn)分別為0.586和0.215，與He＝2時(shí)的取值（見(jiàn)圖2）相差不大，基于代表性轉(zhuǎn)移概率的d（21）預(yù)測(cè)概率曲線也不存在較大差異（He取其他值時(shí)情況類似）。雖然pij為未知解析形式的隨機(jī)變量，但云模型的超熵對(duì)其大體位置不會(huì)產(chǎn)生明顯影響，進(jìn)而基于代表性轉(zhuǎn)移概率的預(yù)測(cè)概率也不會(huì)有較大變動(dòng)。由此可推斷，本文方法具有較好的穩(wěn)定性，對(duì)未知參數(shù)He不敏感。特別地，當(dāng)He＝0時(shí)，核密度估計(jì)曲線僅為平行于縱軸的直線，即pij為一固定量。

圖5 不同概念轉(zhuǎn)移概率的核密度估計(jì)曲線（He＝5）

綜上所述，基于不確定性描述的云化Markov鏈方法能夠克服數(shù)據(jù)的微小波動(dòng)帶來(lái)的狀態(tài)跳變現(xiàn)象，能夠使各概念的預(yù)測(cè)概率保持漸進(jìn)地穩(wěn)定地變化規(guī)律；并且該方法實(shí)現(xiàn)過(guò)程簡(jiǎn)單，只需根據(jù)樣本確定模型參數(shù)，不需指定模糊隸屬度函數(shù)或復(fù)雜的基本概率指派函數(shù)；結(jié)果信息豐富，具有隨機(jī)性特點(diǎn)；對(duì)不同的可變參數(shù)（超熵），根據(jù)基于代表性轉(zhuǎn)移概率得出的預(yù)測(cè)結(jié)果穩(wěn)定性保持較好，預(yù)測(cè)概率受超熵影響不明顯。

4 結(jié) 論

在運(yùn)用Markov鏈實(shí)現(xiàn)隨機(jī)過(guò)程的預(yù)測(cè)時(shí)，未來(lái)時(shí)刻的預(yù)測(cè)概率可能會(huì)出現(xiàn)跳變，以分配隸屬度為解決這一問(wèn)題的手段，現(xiàn)有方法常缺乏有效依據(jù)，隨意性較大。本文借助于云模型這一新的處理方法，將其引入Markov鏈預(yù)測(cè)模型中，提出了一種基于不確定性描述的云化Markov鏈預(yù)測(cè)方法，主要體現(xiàn)在對(duì)狀態(tài)概念隨機(jī)性和模糊性的處理上。它將Markov鏈狀態(tài)空間采用云概念來(lái)表達(dá)，通過(guò)X條件云發(fā)生器獲得樣本對(duì)每一概念的隨機(jī)確定度，作為樣本歸屬某個(gè)概念的程度標(biāo)量，以此為基礎(chǔ)求解概念轉(zhuǎn)移矩陣，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)Markov鏈的狀態(tài)預(yù)測(cè)；樣本確定度、概念轉(zhuǎn)移概率以至未來(lái)時(shí)刻的預(yù)測(cè)概率，均為不同分布下的隨機(jī)變量，較好地保持了模型不確定性的傳遞。對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析表明，基于不確定性描述的云化Markov鏈預(yù)測(cè)能夠解決數(shù)據(jù)微小波動(dòng)帶來(lái)的狀態(tài)跳變問(wèn)題，既不需要如模糊方法一樣指定具體的隸屬度函數(shù)，也可避免信度Markov模型設(shè)計(jì)BPA函數(shù)的問(wèn)題，只需根據(jù)已有樣本求解少量的云參數(shù)，方法簡(jiǎn)單且易于實(shí)現(xiàn)，可視為基本Markov鏈的一種擴(kuò)展，具有較好的適應(yīng)性。由于直接的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表現(xiàn)為隨機(jī)形態(tài)，本文僅簡(jiǎn)單考慮了核密度曲線峰值位置點(diǎn)的代表性概率，如何對(duì)其統(tǒng)計(jì)分析并有效利用需作進(jìn)一步地探究。

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Cloud-transforming method of Markov chain state prediction based on uncertainty description

ZHA Xiang，NI Shi-hong，XIE Chuan，ZHANG Peng
（College of Aeronautics and Astronautics Engineering，Air Force Engineering University，Xi’an 710038，China）

To deal with ownership degree of samples in Markov chain effectively facing with a skip of the predicted probability，a cloud-transforming method of Markov chain state prediction is proposed．Samples’uncertainty is described and processed by using the cloud model．Regarded as a kind of concept，the partitioned state intervals are expressed based on the cloud model，and further the certainty of each objective to all concepts is computed．Then to realize stochastic state prediction，the concept transfer matrix is calculated．The kernel density estimation of concept transfer probability is obtained considering its significance．Finally simulation results are given in form of probability of repeated tests and extracted representative transfer probability，and it shows that the uncertain method can both avoid a skip of the Markov chain predicted probability and measure ownership degree of samples effectively，and is more practical as well．

uncertainty；Markov chain；cloud model；prediction

O 211．62

A

10．3969／j．issn．1001-506X．2015．04．34

查 翔（1988-），男，博士研究生，主要研究方向?yàn)轱w機(jī)狀態(tài)監(jiān)控與故障診斷、人工智能及其應(yīng)用。E-mail：zha_xiang＠126．com

倪世宏（1963-），男，教授，博士研究生導(dǎo)師，主要研究方向?yàn)轱w行數(shù)據(jù)智能處理。E-mail：470474069＠qq．com

謝 川（1974-），男，副教授，博士，主要研究方向?yàn)轱w行數(shù)據(jù)智能處理。E-mail：1830486912＠qq．com

張 鵬（1982 ），男，講師，博士，主要研究方向?yàn)轱w機(jī)故障診斷、故障預(yù)測(cè)與健康管理。E-mail：zhangpeng25＠gmail．com

1001-506X（2015）04-0942-07

2014- 07- 15；

2014- 10- 16；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2014- 11- 05。

網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版地址：http：／／w ww．cnki．net／kcms／detail／11．2422．TN．20141105．1633．016．html

國(guó)家自然科學(xué)基金（61372167）資助課題