常用緯度差異極值符號表達(dá)式

李忠美，李厚樸，邊少鋒，2

1.海軍工程大學(xué) 導(dǎo)航工程系，湖北 武漢430033；2.中國科學(xué)院 測量與地球物理研究所，湖北 武漢430077

1 引 言

大地緯度是測量和地球科學(xué)計(jì)算中最常用的一種緯度，但是在測量和地圖投影理論推導(dǎo)中，為滿足某種投影性質(zhì)，也常會(huì)用到其他5種輔助緯度（地心緯度、歸化緯度、等距離緯度、等角緯度和等面積緯度）的概念［1－4］。隨著空間技術(shù)和計(jì)算機(jī)技術(shù)在大地測量及地圖學(xué)中的應(yīng)用和發(fā)展，研究大地緯度及其他5種輔助緯度間的關(guān)系以及它們之間的差異問題具有更加重要的實(shí)用價(jià)值。對于這一問題，國內(nèi)外許多學(xué)者進(jìn)行了深入研究，取得了顯著成果。文獻(xiàn)［4］推算出了大地緯度、地心緯度、歸化緯度之間的關(guān)系以及它們的拉格朗日共軛級數(shù)展開式；文獻(xiàn)［5—11］人工推導(dǎo)出了等角緯度、等面積緯度及等距離緯度展至sin 8B展開式；文獻(xiàn)［12—16］借助具有強(qiáng)大數(shù)學(xué)分析功能的計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)［17－19］推算出等面積緯度、等角緯度及等距離緯度的偏心率e的冪級數(shù)展開式，發(fā)現(xiàn)和糾正了人工推導(dǎo)的正解公式中某些項(xiàng)的偏差，推導(dǎo)出的系數(shù)具有更高的精確度。

從目前來看，前人對這一領(lǐng)域做了很多卓有成效的工作，但是卻鮮有文獻(xiàn)將這幾種常用緯度進(jìn)行系統(tǒng)比較。為豐富對這一問題的研究，使人們對這幾種常用緯度形成較直觀的認(rèn)識，本文著重研究了常用緯度間的差異極值問題，推導(dǎo)出了常用緯度間差異極值點(diǎn)及對應(yīng)差異極值的符號表達(dá)式，最后以CGCS2000參考橢球［20］為例，對常用緯度間的差異進(jìn)行了數(shù)值分析和對比。

2 常用緯度定義

根據(jù)文獻(xiàn)［3］可知，歸化緯度u、地心緯度φ是大地測量學(xué)中常用緯度，記橢球偏心率為e，則它們關(guān)于大地緯度B的表達(dá)式為

又由文獻(xiàn)［13］可知，等距離緯度ψ、等角緯度φ和等面積緯度?是地圖學(xué)中常用的3種緯度，它們與大地緯度B的關(guān)系式為

式中的系數(shù)如下

3 常用緯度間的差異極值符號表達(dá)式

由于6種常用緯度相差微小，實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常會(huì)用到它們的差值表達(dá)式。為了解常用緯度間的差異情況，特別是差異極值點(diǎn)及其對應(yīng)差異極值，可基于它們之間的差值表達(dá)式推導(dǎo)出常用緯度間的差異極值符號表達(dá)式。

3.1 輔助緯度與大地緯度差異極值符號表達(dá)式

通過對輔助緯度與大地緯度的差值表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)，即可推算出輔助緯度與大地緯度差異極值點(diǎn)的解析表達(dá)式。以歸化緯度為例

略去推導(dǎo)過程，可得歸化緯度與大地緯度差異一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)

將式（5）代入歸化緯度與大地緯度差值表達(dá)式的二階導(dǎo)數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，可知二階導(dǎo)數(shù)不為零，即式（5）所示的大地緯度即為所求的差異極值點(diǎn)，將它代入歸化緯度與大地緯度的差值表達(dá)式，即可推算出差異極值

為方便不同的輔助緯度與大地緯度差異極值間的比較，可進(jìn)一步將式（5）、式（6）展開成偏心率e的冪級數(shù)形式

類似的，對地心緯度與大地緯度的差值表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)，如式（8）所示

略去推導(dǎo)過程，可得地心緯度與大地緯度差異一階導(dǎo)數(shù)為零時(shí)對應(yīng)的大地緯度

類似的，將式（9）、式（10）展開為關(guān)于偏心率e的冪級數(shù)形式

經(jīng)檢驗(yàn)，式（9）所示的大地緯度為極值點(diǎn)，將其代入地心緯度與大地緯度差值表達(dá)式，即可推算出地心緯度與大地緯度差異的極值

等距離緯度與大地緯度的關(guān)系式為關(guān)于偏心率e冪級數(shù)形式，可通過對它們的差值表達(dá)式求導(dǎo)，并利用迭代法推導(dǎo)出等距離緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)及對應(yīng)的差異極值

即

將cos 2B項(xiàng)作為等式左邊項(xiàng)，其他項(xiàng)移到等式右邊，并對等式兩端同時(shí)取反三角函數(shù)

由式（13）可以看出，由于地球橢球偏心率很小，在B∈［0，π／2］范圍內(nèi)，若要滿足緯度差值表達(dá)式的導(dǎo)數(shù)為零，即等式左邊首項(xiàng)近似為零，也就是差異極值點(diǎn)在B＝π／4附近。

將初值B0＝π／4代入式（14）進(jìn)行迭代，經(jīng)過1次迭代后的結(jié)果為

將B1代入式（14）繼續(xù)進(jìn)行第2次迭代，依此類推，可以發(fā)現(xiàn)第4次迭代結(jié)果與第3次迭代結(jié)果相比，它們擴(kuò)展至e10的展開式中各項(xiàng)系數(shù)已不再發(fā)生變化，故迭代終止。略去推導(dǎo)過程，得差異極值點(diǎn)的符號表達(dá)式，如式（16）所示

將式（16）代入ψ－B表達(dá)式中，并對結(jié)果進(jìn)行冪級數(shù)展開，可推導(dǎo)出等距離緯度與大地緯度差異的極值，如式（17）所示

由于等角緯度、等面積緯度與大地緯度的關(guān)系式形式復(fù)雜，求導(dǎo)后不便于解算，又由文獻(xiàn)［13］知，它們擴(kuò)展至sin 10B的級數(shù)展開式也已具有相當(dāng)高的精度，等角緯度和等面積緯度的正解展開式的精度均優(yōu)于10－8″，故可采用與等距離緯度類似的方法，推導(dǎo)出它們與大地緯度的差異極值點(diǎn)及對應(yīng)的差異極值符號表達(dá)式，最后結(jié)果列于表1。

表1 輔助緯度與大地緯度差異極值符號表達(dá)式Tab.1 The symbolic expressions of difference extrema between auxiliary and geodetic latitudes

由表1可以看出，各輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)均在B＝π／4右側(cè)，且略有不同，各輔助緯度與大地緯度差異極值點(diǎn)按從小到大的順序依次為：歸化緯度、等面積緯度、等距離緯度、等角緯度和地心緯度。輔助緯度中與大地緯度差異極值的絕對值較大的是地心緯度以及等角緯度，且它們與大地緯度的差異極值十分接近；等距離緯度次之，而歸化緯度與大地緯度的差異極值的絕對值最小。

3.2 輔助緯度之間差異極值符號表達(dá)式

為系統(tǒng)地比較各常用緯度之間的差異，除對輔助緯度與大地緯度間的差異進(jìn)行分析以外，需對輔助緯度之間的差異進(jìn)行分析。以下分別對大地測量中常用的地心緯度與歸化緯度間的差異，地圖學(xué)中常用的等距離緯度、等角緯度以及等面積緯度之間的差異進(jìn)行分析。與推導(dǎo)輔助緯度和大地緯度間差異極值點(diǎn)類似，通過對輔助緯度之間的差值表達(dá)式進(jìn)行求導(dǎo)（以地心緯度與歸化緯度間為例）

可得

經(jīng)檢驗(yàn)，式（19）中所示大地緯度為地心緯度與歸化緯度差異極值點(diǎn)，將它代入地心緯度與歸化緯度的差值表達(dá)式，推算出兩者的差異極值

為方便不同極值間的比較，將式（19）、式（20）展開為關(guān)于偏心率e的冪級數(shù)形式，可得差異極值點(diǎn)及對應(yīng)極值的級數(shù)展開式

與地心緯度和歸化緯度不同，地圖投影理論中常用的3種緯度關(guān)于大地緯度的函數(shù)形式復(fù)雜，導(dǎo)致它們的差值表達(dá)式不便于求導(dǎo)，因此可借助計(jì)算機(jī)代數(shù)系統(tǒng)，將它們間的差值表達(dá)式進(jìn)行級數(shù)展開，并按正弦函數(shù)的倍角形式將展開結(jié)果進(jìn)行整理，略去推導(dǎo)過程，可得（以等面積緯度與等角緯度的差異極值點(diǎn)為例）

式中系數(shù)為

對式（22）進(jìn)行求導(dǎo)并采用迭代法，即可推算出等面積緯度與等角緯度之間的差異極值點(diǎn)。類似的，可推導(dǎo)出等角緯度、等面積緯度分別與等距離緯度間的差異極值點(diǎn)及對應(yīng)極值，最后結(jié)果列于表2。

表2 等角緯度、等面積緯度及等距離緯度間差異極值符號表達(dá)式Tab.2 The symbolic expressions of difference extrema between conformal，authalic and equidistant latitudes

由表2可以看出，地圖學(xué)中常用的3種緯度間的差異極值點(diǎn)均在B＝π／4右側(cè)，且存在微小差異。結(jié)合表1可知，它們之間差異極值的絕對值均小于它們與大地緯度差異極值的絕對值，其中，等距離緯度與等面積緯度間差異極值的絕對值最小，而等面積緯度與等角緯度差異極值的絕對值最大。

4 算例分析

由于地球橢球偏心率很小，且不同參考橢球的偏心率非常接近。為使人們對各緯度的差異在數(shù)值上有一個(gè)直觀的認(rèn)識，下面以CGCS2000參考橢球（e＝0.081 819 191 042 8）為例，對6種常用緯度間的差異進(jìn)行數(shù)值比較與分析。

4.1 輔助緯度與大地緯度的差異極值

為明確了解各輔助緯度與大地緯度的差異情況，可繪制出大地緯度B∈［0°，90°］范圍內(nèi)，各輔助緯度與大地緯度的差異曲線圖，如圖1所示。表3為大地緯度B∈［0°，90°］時(shí)，每隔15°對應(yīng)的各輔助緯度與大地緯度間的差異。

圖1 輔助緯度與大地緯度的差異曲線圖Fig.1 Chart of differences between auxiliary and geodetic latitudes

表3 輔助緯度與大地緯度的差異Tab.3 Values of differences between auxiliary and geodetic latitudes

由圖1及表3可以看出，各輔助緯度與大地緯度差異的絕對值先變大后變小，且在大地緯度45°附近處，各輔助緯度與大地緯度的差異出現(xiàn)極值。

根據(jù)已推導(dǎo)出的各輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)及對應(yīng)的差異極值的符號表達(dá)式，可以計(jì)算出B∈［0°，90°］時(shí)，各輔助緯度與大地緯度間的差異極值，如表4所示。

表4 輔助緯度與大地緯度差異極值Tab.4 Difference extrema between auxiliary and geodetic latitudes

由圖1及表4可以看出，輔助緯度與大地緯度的差異極值點(diǎn)均在B＝45°右側(cè)，在B＝45°05′46″處，地心緯度與大地緯度的差異極值最大，差異絕對值最大達(dá)到11′32.73″。等距離緯度與大地緯度差異極值的絕對值次之，為8′39.55″，而歸化緯度與大地緯度的差異最小，它們的差異絕對最大值為5′46.36″。等角緯度和地心緯度這兩種緯度與大地緯度的差異十分接近，它們與大地緯度的差異曲線近乎重合。

4.2 輔助緯度間的差異極值

為全面分析在CGCS2000參考橢球中常用緯度間的差異極值問題，可繪制出大地緯度B∈［0°，90°］時(shí)大地測量中常用的地心緯度與歸化緯度間差異圖，及地圖學(xué)中常用等角緯度、等面積緯度及等距離緯度這3種緯度間的差異圖，如圖2、圖3所示。

圖2 地心緯度與歸化緯度差異圖Fig.2 Chart of difference between geocentric and reduced latitudes

圖3 等角緯度、等面積緯度、等距離緯度間的差異Fig.3 Chart of differences between conformal，equivalent and equidistant latitudes

表5為大地緯度B∈［0°，90°］時(shí)，每隔15°對應(yīng)的輔助緯度間的差異。

表5 輔助緯度間的差異Tab.5 Values of differences between auxiliary latitudes

由圖2、圖3及表5可以看出，在B∈［0°，90°］范圍內(nèi)，地心緯度與歸化緯度間差異的絕對值和等角緯度、等面積緯度與等距離緯度間差異的絕對值都是先變大后變小，且這4種差異極值均出現(xiàn)在大地緯度45°附近。根據(jù)3.2中已推導(dǎo)出的極值符號表達(dá)式，可計(jì)算出輔助緯度間差異極值點(diǎn)及對應(yīng)差異極值，如表6所示。

表6 輔助緯度間差異極值Tab.6 Difference extrema between auxiliary latitudes

由圖2、圖3及表6可以看出，地心緯度與歸化緯度的差異極值點(diǎn)為B＝45°08′39″，對應(yīng)差異極值為－5′46.36″；地圖學(xué)中常用的3種緯度間，等距離緯度與等角緯度間差異極值最大，為3′50.47″，而等距離緯度與等面積緯度間差異最小，它們差異的極值為－57.68″。

5 結(jié) 論

本文對6種常用緯度間的差異進(jìn)行了研究，推導(dǎo)出常用緯度間的差異極值點(diǎn)及對應(yīng)極值的符號表達(dá)式，并以CGCS2000橢球?yàn)槔?，對它們進(jìn)行了數(shù)值分析和對比，得出如下結(jié)論。

（1）輔助緯度與大地緯度差異的絕對值隨大地緯度的增大先變大后變小，且在B＝π／4右側(cè)，差異出現(xiàn)極值。其中，等角緯度與大地緯度差異極值的絕對值最大，極值符號表達(dá)式的首項(xiàng)為－e2／2；歸化緯度與大地緯度差異極值絕對值最小，極值符號表達(dá)式的首項(xiàng)為－e2／4。

（2）地圖學(xué)中常用的3種緯度間，等面積緯度與等角緯度差異極值最大，極值符號表達(dá)式首項(xiàng)為e2／6；等距離緯度與等面積緯度差異極值最小，極值符號表達(dá)式首項(xiàng)為－e2／24。

（3）將常用緯度間差異極值點(diǎn)及對應(yīng)極值表示為符號形式，并統(tǒng)一展開為偏心率e的冪級數(shù)形式，該表達(dá)式易于比較分析，一定程度上豐富了測量及地圖學(xué)數(shù)學(xué)分析理論。

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