B—S期權(quán)定價模型為公司股票和債權(quán)定價

傅虹

摘要：著名的布萊克-舒爾斯期權(quán)定價模型成功為期權(quán)這一最復(fù)雜的衍生金融工具定價，他的提出最早可追溯到1973年，由美國芝加哥大學(xué)教授費(fèi)雪·布萊克和梅隆·舒爾斯合作發(fā)表的《期權(quán)與公司負(fù)債定價》一文，這一難題的攻克引起了強(qiáng)烈的反響。隨著期權(quán)理論的逐步發(fā)展，人們意識到生活中很多事物或者交易可以被轉(zhuǎn)換為期權(quán)的思想。本文即將公司股票和債券視為基于公司資產(chǎn)的期權(quán)，從而利用B-S模型為公司股票和債券定價。

關(guān)鍵詞：B-S定價模型；看漲期權(quán)；看跌期權(quán)；看漲-看跌平價理論

一、引言

正確地確定公司股票、債券等證券的內(nèi)在價值是公司價值評估的核心。一般采用絕對定價法為股票和債券定價。具體來說即利用未來各期的現(xiàn)金流貼現(xiàn)值進(jìn)行估價。表現(xiàn)為債券估價的基本模型：V=[∑nt=11（1+r）t]+F（1+r）n。普通股的當(dāng)前價格則等于未來所有股利的現(xiàn)值，即P=∑∞t=0Dt（1+R）t。（特別的，當(dāng)股利0增長時，有P=D/R，若股利以g常增長，則P=D1R-g）

上述表明，決定資產(chǎn)價值主要有以下三個因素：1）資產(chǎn)的預(yù)期現(xiàn)金流。但是這樣的現(xiàn)金流預(yù)測即使在短期內(nèi)有效，也存在無法估計(jì)長期情況的棘手問題；2）貼現(xiàn)率。這一指標(biāo)反應(yīng)的是貨幣的時間價值和現(xiàn)金流動的風(fēng)險程度。我們可以根據(jù)CAPM得到合適的貼現(xiàn)率，但往往帶有主觀臆斷；3）現(xiàn)金流發(fā)生的時期。再者，即使以上三個因素的獲取都不存在問題，這種定價方法仍然存在未考慮公司價值及公司資本結(jié)構(gòu)變動效應(yīng)的缺陷。

本文中，我們利用期權(quán)的方法對公司股票和債券定價。首先我們應(yīng)該認(rèn)識到，公司股票和債券實(shí)際上可視為基于公司資產(chǎn)的期權(quán)（下文將給出具體解釋）。我們可以利用經(jīng)典B-S期權(quán)定價模型估價股票和債券，并討論相關(guān)的性質(zhì)。

二、B-S期權(quán)定價模型

期權(quán)屬于較為復(fù)雜的金融衍生工具。其賦予持有人在特定的時間以特定的價格（即執(zhí)行價）購買（看漲期權(quán)）或出售（看跌期權(quán)）標(biāo)的資產(chǎn)的權(quán)利。常見的歐式期權(quán)只能在到期才能被執(zhí)行，而美式期權(quán)可在到期日及之前的任何時間被執(zhí)行。期權(quán)買賣雙方權(quán)利義務(wù)的不匹配，使得期權(quán)買方需支付給期權(quán)賣方一筆合理的期權(quán)費(fèi)。于是產(chǎn)生了關(guān)于期權(quán)公正價格計(jì)算的需要。B-S期權(quán)定價模型被認(rèn)為最經(jīng)典且符合實(shí)踐的。當(dāng)然，它的推導(dǎo)存在以下假定條件：

1）股票價格是連續(xù)的，股票價格服從對數(shù)正態(tài)分布。收益率服從正態(tài)分布

2）對應(yīng)資產(chǎn)可以自由買賣、賣空

3）對應(yīng)資產(chǎn)沒有其他收入，如股息，也沒有稅收和其他交易成本

4）期權(quán)為歐式期權(quán)，到期前不可行使

5）以零風(fēng)險利率融資，且為連續(xù)復(fù)利

經(jīng)過嚴(yán)密的數(shù)學(xué)推導(dǎo)，最終的定價公式為：

C=SN（d1）-Xe-rtN（d2）——（1）

其中，C是歐式看漲期權(quán)的價格，S是股票價格，X為期權(quán)的執(zhí)行價格，T是期權(quán)距到期日的時間，R為無風(fēng)險利率，N（d1）和N（d2）表示累積正態(tài)密度函數(shù)，d1=ln（SX）+（r+12σ2）tσt

d1=ln（SX）+（r-12σ2）tσf=d1-σt

σ是股票價格的年化波動率。

另外，我們簡單介紹下看漲-看跌平價理論。設(shè)計(jì)以下交易：1）賣出看漲期權(quán)，到期日t，交割價格X。2）買入看跌期權(quán)，到期日t，交割價格X。3）買入對應(yīng)的標(biāo)的資產(chǎn)。4）借入Xe-rt的資金。令C表示看漲期權(quán)價格，P表示看跌期權(quán)價格。則期初現(xiàn)金流為：C-P-S+Xe-rt。則到到期日，不論股票價格大于或者小于交割價格X，凈現(xiàn)金流均為0，由無套利可知，初始的現(xiàn)金流也該為0。即：P= C-S+Xe-rt=SN（d1）-Xe-rtN（d2）-S+Xe-rt=Xe-rtN（-d2）-SN（-d1）

P+S=C+Xe-rt——（2）

由上述式子可知，期權(quán)的價格只和S，X，r，t，σ這五個變量有關(guān)，而前四個變量都可以通過數(shù)據(jù)觀察得到，σ則可以通過歷史的價格數(shù)據(jù)進(jìn)行估計(jì)。投資者的風(fēng)險偏好和股票的預(yù)期收益率沒有出現(xiàn)在定價公式中，這正是期權(quán)定價方法不同于開篇所述的現(xiàn)金流絕對定價法的地方。

三、公司股票估值

從期權(quán)的角度看，公司股票可以被視為股東所持有的看漲期權(quán)，標(biāo)的資產(chǎn)為公司資產(chǎn)，執(zhí)行價格為公司債務(wù)。債務(wù)到期時，當(dāng)公司資產(chǎn)的價值大于公司負(fù)債時，為實(shí)值期權(quán)，股東將執(zhí)行看漲期權(quán)，支付債權(quán)人應(yīng)得的部分。若資不抵債，則為虛值期權(quán)，股東將不執(zhí)行權(quán)利，宣布公司破產(chǎn)。

現(xiàn)在，我們考慮到一個有負(fù)債的公司，其資本結(jié)構(gòu)由權(quán)益資本和債務(wù)資本組成，設(shè)V（t）為此公司在t時刻的總價值，E（t）表示t時刻的權(quán)益資本（即普通股股票的價值），D（t）為t時刻的債務(wù)資本價值，根據(jù)MM定理有：

V（t）= E（t）+ D（t）

設(shè)T時刻公司的債務(wù)價值為B（T）= B（t）*（1+r）T-t（若公司發(fā)行債券為貼現(xiàn)債券，則B（T）即為發(fā)行債券時的票面價值），其中rb為借款利率，大于無風(fēng)險利率r。V（T）為T時刻的公司總價值，它是不確定的，E（T）為T時刻權(quán)益的價值。我們假設(shè)債務(wù)在T時刻進(jìn)行清算，則到期日T時，若V（T）B（T），根據(jù)上述分析的，股東將執(zhí)行看漲期權(quán)，支付B（T）給債權(quán)人，可視為股東以B（T），即低于公司資產(chǎn)價值的價格向債權(quán)人買入公司。股東獲得差額E（T）= V（T）- B（T），即公司股票價格在T時為V（T）- B（T）。相反，若V（T）B（T），即資不抵債（從看漲期權(quán)的角度看，為執(zhí)行價格大于標(biāo)的資產(chǎn)的虛值期權(quán)），股東不執(zhí)行權(quán)利，宣布破產(chǎn)，將公司交予債權(quán)人，債權(quán)人獲得公司價值V（T），而股東一無所獲，此時股票的價值將等于0。綜上所述，T時債券的價值等于Min[V（T），B（T）]，而T時股票的價值等于E（T）=Max[V（T）- B（T），0]。

可見，公司股票確實(shí)可視為基于公司資產(chǎn)的看漲期權(quán)，因此，其價值可以用B-S看漲期權(quán)定價公式估計(jì)為：

E（t）=V（t）N（d1）-B（T）e-r（T-t）N（d2）——（3）

其中

d1=ln（V（t）B（t））+（r+12σv2）（T-t）σvT-t

d2=ln（V（t）B（t））+（r-12σv2）（T-t）σvT-t

σv是公司資產(chǎn)價值的標(biāo)準(zhǔn)差，它反映了公司資產(chǎn)的風(fēng)險程度。

四、公司債券的估價

根據(jù)以上對公司股票當(dāng)前價值的估算，我們可以輕松得出當(dāng)前債務(wù)的價值D（t）=V（t）-E（t）——（4）

由于股票可看成是基于公司資產(chǎn)價值的看漲期權(quán)，所以（4）式實(shí)際上是說公司債券價值等于公司資產(chǎn)價值減去資產(chǎn)看漲期權(quán)的價值。

另一方面，我們知道T 時債券的價值可表示為Min[V（T），B（T）]，它說明，從債權(quán)人的角度看，股東手里持有一個執(zhí)行價格為B（T），到期日為T 的基于公司資產(chǎn)的看跌期權(quán)。具體來說，當(dāng)清算T時，公司資產(chǎn)大于債務(wù)，此時看跌期權(quán)是虛值的，股東不執(zhí)行期權(quán)，因而，持股人保留公司的所有權(quán)，但連本帶利支付給債權(quán)人B（T）；倘若資不抵債，即V（T）B（T），股東將執(zhí)行看跌期權(quán)，以B（T）賣出公司，然而還需償還債權(quán)人債務(wù)也是B（T），即可視為持股人以放棄股本來換取債務(wù)注銷，股東一無所獲。這與以上按看漲期權(quán)來看待公司的分析是吻合的，股東的獲利依然是Max[V（T）- B（T），0]。從看漲期權(quán)——看跌期權(quán)平價關(guān)系，注意到V（t）=E（t）+D（t），E（t）=C，我們有：

P+V（t）=P+E（t）+D（t）=C+B（T）e-r（T-t）=E（t）+ B（T）e-r（T-t）

即 D（t）=B（T）e-r（T-t）- P——（5）

P是看跌期權(quán)的價值，B（T）e-r（T-t）是公司債券約定支付的，以無風(fēng)險利率折現(xiàn)的現(xiàn)值。（5）式說明公司債券的價值等于無風(fēng)險債券的價值減去公司資產(chǎn)看跌期權(quán)的價值。因此可直接用B-S模型估計(jì)：

P=B（T）e-r（T-t）N（-d2）-V（t）N（-d1）——（6）

所以我們有公司債務(wù)當(dāng)前估價

D（t）= B（T）e-r（T-t）-B（T）e-r（T-t）N（-d2）-V（t）N（-d）——（7）

這樣不論是將股東視為持有看漲期權(quán)，算出E（t），再根據(jù)（4）式算出D（t），還是直接根據(jù)（7）式算出D（t），二者的結(jié)果應(yīng)當(dāng)是一致的。

五、結(jié)論

以上我們已經(jīng)論證持股人和債權(quán)人既可以用看漲期權(quán)，也可以用看跌期權(quán)來看待，下表總結(jié)了這兩種觀點(diǎn)：

持股人債權(quán)人

以看漲期權(quán)看待時的狀況

持股人擁有B（T）執(zhí)行價格的公司看漲期權(quán)1債權(quán)人擁有公司2債權(quán)人向持股人出售看漲期權(quán)

以看跌期權(quán)看待時的狀況

1持股人擁有公司2持股人欠債權(quán)人B（T）的利息和本金和3持股人擁有B（T）執(zhí)行價格的公司看跌期權(quán)1債權(quán)人擁有B（T）的利息和本金的債權(quán)2債權(quán)人向持股人出售看跌期權(quán)

當(dāng)然，我們也必須認(rèn)識到公司證券和股票期權(quán)存在的不同。如公司證券的基礎(chǔ)資產(chǎn)是公司的總價值。持有者除了可以從企業(yè)那里獲得支付，還具備通過股息政策、融資政策和投資政策的改變來變動公司證券的價值的權(quán)力，這都是股票期權(quán)所沒有的。另外，本文中根據(jù)B-S模型的估價是受到B-S模型假設(shè)前提條件的限制的，比如，B-S假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)是無收益的，實(shí)際上公司擁有的資產(chǎn)是可以給我們帶來收益的。此外公司需要繳納公司所得稅，股東和債權(quán)人也需要繳納個人所得稅，實(shí)際上我們無法要求無交易成本和稅收的限制等等。但是撇去這些，本文所論述的方法還是具有一定意義的。（作者單位：福州大學(xué)）

參考文獻(xiàn)：

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