二重極限與累次極限及其應(yīng)用

左雙勇

摘 要：極限是研究函數(shù)的重要工具之一，二重極限是定義二元以上函數(shù)極限的基礎(chǔ)，這里主要介紹了二重極限和累次極限的概念。舉例說明了二重極限與累次極限在存在性上相互獨(dú)立的關(guān)系，最后給出了二重極限與累次極限的某些應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：極限;二重極限;累次極限

1.二重極限與累次極限的概念

二元函數(shù)的極限有兩種概念，它們分別是二重極限與累次極限，其定義分別如下：

定義1：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）某鄰域（P0可除外）有定義，若存在常數(shù)A，對(duì)∨ε>0，總 ?δ>0，只要點(diǎn)P（x，y）與P0（x0，y0）的距離ρ=√（x-x0）2-（y-y0）2< δ，恒有|f（x，y）-A|<ε成立，則稱A為函數(shù)z=f（x，y）當(dāng)P（x，y）→P0（x0，y0）時(shí)的極限，記作

limf（x，y）=A或 limf（P）=A

上面定義的二元函數(shù)的極限也稱為二重極限。[1]

定義2：設(shè)函數(shù)z=f（x，y）在點(diǎn)P0（x0，y0）某鄰域（P0可除外）有定義，若limf（x，y）=φ（y）存在，且limφ（y）=A存在，則稱A為函數(shù)z=f（x，y）的先x→x0后y→y0次序的累次極限，記作：lim limf（x，y）=A。

同樣的方法可以定義相反次序的累次極限lim limf（x，y）=A。[2]

2.二重極限與累次極限的關(guān)系舉例

二重極限與累次極限是分別獨(dú)立定義的兩個(gè)概念，下面舉例說明它們?cè)诖嬖谛陨鲜窍嗷オ?dú)立的，沒有必然的聯(lián)系。

（1）二重極限存在，兩種不同次序的累次極限也存在，且相等。例如，

—，x2+y2≠0

f（x，y）=

0， ? ? ? ? x2+y2=0

二重極限lim—=0存在。這是因?yàn)閷?duì)∨ε>0，取δ=ε，只要ρ=√x2+y2<δ，恒有|—-0|≤—=|x|<√x2+y2<ε成立。

兩種不同次序的累次極限lim lim—=0，lim lim—=0

存在且相等。

（2）二重極限存在，兩種不同次序的累次極限都不存在。例如，

xsin—+ysin—，x≠0，y≠0

f（x，y）=

0， ? ? ? ? ? ? ? ? ?x=0，y=0

二重極限lim（xsin—+ysin—）=0存在。

而累次極限lim lim（xsin—+ ysin—）=

0和lim lim（xsin—+ ysin—）=0都不存在。

（3）二重極限存在，一種次序的累次極限存在，而另一種次序的累次極限不存在。例如，

xsin—，x∈R，y≠0

f（x，y）=

0， ? ? ? ?x∈R，y=0

二重極限limxsin—=0存在。

累次極限lim limxsin—=0存在，而相反次序的累次極限lim limxsin—=0不存在。

（4）二重極限不存在，兩種不同次序的累次極限都存在，且相等。

例如，f（x，y）=—

累次極限lim lim—=0和lim lim —=0存在且相等。

而二重極限lim—=0不存在。

（5）二重極限不存在，兩種不同次序的累次極限都存在，但不相等。

例如，f（x，y）=—

累次極限lim lim—=-1和lim lim

—=1存在且不相等。

二重極限lim—=0不存在。

此外，還有二重極限不存在，一種次序的累次極限存在，而另一種次序的累次極限不存在，以及二重極限不存在，兩種不同次序的累次極限都不存在兩種類型關(guān)系，在此不一一例舉。

由上面討論知，二重極限與累次極限在存在性上沒有必然的聯(lián)系，但是，在一定的條件下，又可以建立下面的兩個(gè)結(jié)論：

定理1：若函數(shù)z=f（x，y）的二重極限limf（x，y）存在，且累次極限lim limf（x，y）=A（或lim limf（x，y）=

A）存在，則有l(wèi)imf（x，y）=lim limf

（x，y）=A（或limf（x，y）=lim limf（x，y）=A）。

定理2：若函數(shù)z=f（x，y）的兩種不同次序的累次極限lim limf（x，y）和lim limf（x，y）都存在，但不相等，則二重極限 limf（x，y）一定不存在。

3.二重極限與累次極限的應(yīng)用

（1）一般計(jì)算比較復(fù)雜的二元函數(shù)的極限是比較困難的，而求累次極限實(shí)際上是進(jìn)行兩次一元函數(shù)的極限計(jì)算，是比較容易的，由定理1知，在二重極限存在的條件下，可用求累次極限來求其二重極限。

（2）用累次極限可判別二重極限不存在。由定理2知，若兩種不同次序的累次極限都存在，但不相等時(shí)，則二重極限一定不存在。

例如，f（x，y）=—

累次極限lim limf（x，y）=lim（y-

1）=-1和lim limf（x，y）=lim（x+1）=1

都存在，但不相等，而二重極限limf（x，y）不存在。

（3）用累次極限可表示某些非初等函數(shù)。

例如，在高等數(shù)學(xué)中常見的狄利克雷函數(shù)

1，x為有理數(shù)

0，x為無理數(shù)

可以用累次極限y=D（x）=lim lim（cosmπx）2n ? ? ? （m，n為整數(shù)）來表示。

參考文獻(xiàn)：

[1]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編.數(shù)學(xué)分析（第二版）（下）[M].北京：高等教育出版社，1991.

[2]王旭琴.二重極限與累次極限的關(guān)系[J].南昌高專學(xué)報(bào)，2010（02）： 157—158.

（作者單位：廣州城建職業(yè)學(xué)院人文學(xué)院）