剖析試題背景 回歸問題本質(zhì)

張軍

【摘要】在高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中，解析幾何題被認(rèn)為是“一根很難啃的硬骨頭”，如何使得這根“硬骨頭”變得容易“啃”，而且要使學(xué)生“啃”得津津有味，甚至變成一道“美味佳肴”，這當(dāng)然是我們高三復(fù)習(xí)要努力追求的.本文以2013年浙江高考理科數(shù)學(xué)卷21題為題源，通過對它的分析、設(shè)疑、求解、變式、拓展等教學(xué)環(huán)節(jié)進(jìn)一步體現(xiàn)高考題這一寶貴的教學(xué)資源在教學(xué)中的潛在價(jià)值.

【關(guān)鍵詞】解析幾何；課堂教學(xué)；問題本質(zhì)；思想方法

一、問題背景

經(jīng)常會(huì)有學(xué)生反映：“老師，復(fù)習(xí)了那么長時(shí)間的解析幾何，做了那么多解析幾何試題，但是我現(xiàn)在還是很恐懼解析幾何，模擬卷的解析幾何題我都逼著自己嘗試著做，有時(shí)會(huì)做，有時(shí)一點(diǎn)思路都沒有，我該怎么辦呢？”在解析幾何的復(fù)習(xí)過程中，教師該如何帶領(lǐng)學(xué)生在制高點(diǎn)獲得突破？讓我們首先來看一例：

引例 （2013浙江理21）如圖，點(diǎn)P（0，-1）是橢圓C1：x2[]a2+y2[]b2=1（a>b>0）的一個(gè)頂點(diǎn)，C1的長軸是圓C2：x2+y2=4的直徑.l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，其中l(wèi)1交圓C2于A，B兩點(diǎn)，l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

（Ⅰ）求橢圓C1的方程；

（Ⅱ）求△ABD面積取得最大值時(shí)直線l1的方程.

本題涉及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì)，直線方程，直線與圓相交弦長的計(jì)算，直線與橢圓相交弦長的計(jì)算，三角形面積的計(jì)算等，涉及內(nèi)容豐富.第（Ⅱ）小題建立在第（Ⅰ）小題的基礎(chǔ)上，起點(diǎn)低，入口寬，層次遞進(jìn)，由易到難，突出主干知識(shí)，緊扣考試說明.但是據(jù)統(tǒng)計(jì)，第（Ⅱ）小題得分并不高，究其原因，主要是解題方法選擇不當(dāng)，運(yùn)算能力不夠，最值求取存在問題，缺少知識(shí)的融會(huì)貫通和靈活運(yùn)用.

那么如何高效地開展復(fù)習(xí)課教學(xué)，使學(xué)生學(xué)以致用呢？

二、案例操作

1.試題剖析

我們首先明確要求什么.題目要求我們求得三角形面積最大值時(shí)的直線方程，那么必須要得到三角形面積的表示.根據(jù)題意，我們能很快得到三角形的面積可以表示為S=12|DP|·|AB|.

那么怎么求呢？根據(jù)解析幾何的基本思想，利用代數(shù)來研究幾何，我們設(shè)法求出兩條弦長的代數(shù)式，涉及求解這個(gè)問題的三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：直線方程、面積表示、面積的最大值.故可確定本題的解決方式大致如下：參數(shù)設(shè)定→方程及相關(guān)計(jì)算→等價(jià)轉(zhuǎn)化.

2.過程探究

萬事開頭難，教學(xué)中針對學(xué)生解題的薄弱之處——如何尋找解題的突破口，本題的分析過程從讀題、審題入手，重視對有效信息的提取、翻譯、加工、應(yīng)用等環(huán)節(jié)的體現(xiàn).通過幾個(gè)問題，將題目層層剖析，讓學(xué)生親歷問題分析的過程.

（Ⅰ）由已知得到b=1，且2a=4，∴a=2，所以橢圓的方程是x2[]4+y2=1.

（Ⅱ）（1）如何選取參數(shù)？

我們發(fā)現(xiàn)直線l1的位置一旦確定，整個(gè)圖像就確定了，而用代數(shù)來控制直線l1的就是它的斜率.因?yàn)橹本€l1⊥l2，且都過點(diǎn)P（0，-1），由題可得直線l1的斜率一定存在.這一步驟中借助圖形的幾何性質(zhì)合理地分析出兩條直線的假設(shè)方式，既避免了分類討論，又沒有任何遺漏.考查了直線方程相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，也通過這樣的步驟合理地設(shè)定了本題的參數(shù).所以設(shè)直線l1：y=kx-1kx-y-1=0，則直線l2的方程為x+ky+k=0，目標(biāo)量為S=12|DP|·|AB|，難度為分別求弦長AB和DP.

（2）題目中羅列的條件有哪些？

①l1交圓C2于A，B兩點(diǎn)；②l2交橢圓C1于另一點(diǎn)D.

（3）如何用代數(shù)的方法進(jìn)行翻譯刻畫呢？

在合理假設(shè)直線方程的前提下，通過聯(lián)立方程，利用代數(shù)法可求得弦DP的長度，以及在圓中利用幾何法可求得弦AB的長度，這樣就可以順利寫出三角形ABD的面積表示.這里涉及解析幾何大題中的一些基本方法，如聯(lián)立方程、韋達(dá)定理、弦長等.

弦長AB根據(jù)直線與圓相交，利用垂徑定理求取得到關(guān)于斜率的一個(gè)函數(shù)d=1[]1+k2，AB=24-d2=23+4k21+k2.

DP則根據(jù)直線與橢圓相交，通過聯(lián)立方程組和弦長公式求得.由x+ky+k=0，

3.回歸本質(zhì)

這個(gè)題思路簡單，采取的方法是通性通法.其實(shí)仔細(xì)分析每年高考題，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)解析幾何的題具有很強(qiáng)的規(guī)律性，在每一題中總是若隱若現(xiàn)地出現(xiàn)那種看似無形卻有形、猶抱琵琶半遮面的情景，表達(dá)的精髓無非是坐標(biāo)與方程，方程的核心則是直線方程，曲線方程往往是已知的.對直線方程，我們要有效地假設(shè)未知的信息，譬如引進(jìn)斜率作為變量，通過直線與曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理用設(shè)而不求的方式求解.總之，直線及其位置關(guān)系只有通過方程才能展開運(yùn)算，只有運(yùn)算才能對幾何關(guān)系進(jìn)行有效的表達(dá).

一堂課的內(nèi)容是有限的，但對問題的研究是無止境的.在課堂講評之后，做以下變式，留作學(xué)生課后探究：

變式1：把橢圓改成拋物線y=2x2-6，點(diǎn)P（0，-2），l1，l2是過點(diǎn)P且互相垂直的兩條直線，l1交拋物線于A，B兩點(diǎn)，l2交圓于另一點(diǎn)D，求△ABD面積取最大值時(shí)直線l1的方程.

變式2：橢圓C1：x2a2+y2b2=1a>b>0和圓C2：x2+y2=b2，已知圓C2將橢圓C1的長軸三等分，且圓C2的面積為π，橢圓C1的下頂點(diǎn)為E，過坐標(biāo)原點(diǎn)O且與坐標(biāo)軸不重合的任意直線l與圓C2相交于點(diǎn)A，B，直線EA，EB與橢圓C1的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P，N.

1.求橢圓C1的方程.

2.（1）設(shè)PM的斜率為t，直線l的斜率為k1，求k1t的值；

（2）求三角形EPM面積最大時(shí)直線l的方程.

三、教學(xué)反思

解析幾何是一門“方法論”色彩濃厚的學(xué)科，應(yīng)當(dāng)以“用坐標(biāo)法研究問題”為主線，在教學(xué)過程中，向?qū)W生滲透函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、等價(jià)轉(zhuǎn)化思想及運(yùn)動(dòng)變換思想.

（1）課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)“把時(shí)間還給學(xué)生，把方法教給學(xué)生”；

（2）課堂教學(xué)應(yīng)當(dāng)使學(xué)生的思維由“表層結(jié)構(gòu)”向“深層結(jié)構(gòu)”發(fā)展.

【參考文獻(xiàn)】

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