分類思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透

俞祥龍

【摘要】數(shù)學(xué)思想方法隸屬于中職教材，融合和隱藏于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中.作為常見的分類思想，教師要根據(jù)中職生思維特點(diǎn)和認(rèn)知水平，在教材中挖掘，在概念、判斷、推理中揭示，幫助學(xué)生領(lǐng)悟和提煉.分類思想在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中的滲透遵循循序漸進(jìn)、逐步滲透、螺旋上升的原則，有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和有助于把這種分類思想遷移到以后的工作生活中去.

【關(guān)鍵詞】分類思想 ；理性思維；滲透

數(shù)學(xué)思想和方法是數(shù)學(xué)的精髓和靈魂，其中分類思想在社會(huì)生活中、小學(xué)初中數(shù)學(xué)中普遍存在，如“物以類聚，人以群分”“合中分，分中合”，實(shí)數(shù)的分法和趣味題目“樹上停著10只鳥，獵人打中了1只，樹上還有幾只鳥？”等等.分類思想不管是在教學(xué)中，還是高教版教材中和中職大綱中都隱性地存在著，所以，我們應(yīng)結(jié)合中職生的思維特點(diǎn)，更多從教材中、教學(xué)中把分類思想顯性化，提高中職生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的趣味性，培養(yǎng)中職生思維的條理性、邏輯性，甚至為以后工作和生活提供指導(dǎo)，增強(qiáng)遷移能力.

所謂分類思想，就是根據(jù)數(shù)學(xué)本質(zhì)屬性的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)，將數(shù)學(xué)研究對(duì)象分為不同種類的一種數(shù)學(xué)思想，又稱邏輯劃分.一般按照“明確對(duì)象——確定標(biāo)準(zhǔn)——逐類討論——?dú)w納總結(jié)”的思維步驟來分析問題.本文從以下幾點(diǎn)分析分類思想在中職數(shù)學(xué)中的滲透.

1.處理教材，挖掘分類思想

中職高教版數(shù)學(xué)等數(shù)學(xué)教材內(nèi)容一般只顯示數(shù)學(xué)知識(shí)，而蘊(yùn)含于知識(shí)中的分類思想方法沒有點(diǎn)明或?yàn)榱吮苊夥诸愑懻摱徊捎梅诸愃枷敕椒?概念、性質(zhì)、法則、公式、定理等知識(shí)是數(shù)學(xué)的外在表現(xiàn)形式，而分類思想等數(shù)學(xué)思想屬于內(nèi)隱形式，隱藏在數(shù)學(xué)知識(shí)背后.教師應(yīng)通過處理分析教材，挖掘分類思想，體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì).“授人以魚不如授人以漁.”很多數(shù)學(xué)知識(shí)，等到學(xué)生走上工作崗位就忘記了，而數(shù)學(xué)思想方法、數(shù)學(xué)邏輯思維卻會(huì)自覺不自覺地應(yīng)用與遷移到工作生活中.分類思想是貫穿整個(gè)中職數(shù)學(xué)的一種重要思想，幾乎涉及每個(gè)知識(shí)點(diǎn).因此，在中職數(shù)學(xué)教學(xué)中，制定教學(xué)目標(biāo)，既要體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)，又要在適宜時(shí)機(jī)體現(xiàn)分類數(shù)學(xué)思想.

比如，中職高教版數(shù)學(xué)高一教材中，對(duì)解絕對(duì)值不等式只用了絕對(duì)值的幾何意義來分析，如|x-1|<2，把x-1 看作整體，其到原點(diǎn)的距離小于2，得-20兩種情況討論；或?qū)ψ筮叺氖阶觴-1的正負(fù)性討論，分x-1≤0和x+1>0兩種情況討論，然后把兩類的結(jié)果合并綜合.導(dǎo)致這題錯(cuò)解的原因，就是平時(shí)教師根據(jù)教材來教，解題方法的唯一性或不注意口訣的前提條件而導(dǎo)致思維的定式.因此，在講授新課時(shí)候，要尊重中職生的思維能力不強(qiáng)、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)總體薄弱、高一學(xué)生正從感性認(rèn)識(shí)向理性認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)變的特點(diǎn).對(duì)解絕對(duì)值不等式，可分三種情況|x|<2，|x|<0，|x|<-2來分析，從而得出：|x|0，|x|

再比如，中職高教版高一教材中，對(duì)解一元二次不等式只結(jié)合一元二次函數(shù)的圖像來分析.如ax2+bx+c>0a>0，令fx=ax2+bx+c，根據(jù)圖像可得不等式的解.雖然數(shù)形結(jié)合的方法比較容易，但過了一個(gè)學(xué)期，總有些數(shù)學(xué)基礎(chǔ)中等偏下的同學(xué)對(duì)原解法理解不深刻或口訣只會(huì)生搬硬套而不會(huì)解了.因此，建議在教學(xué)中一題多解、擴(kuò)散思維，對(duì)一元二次式因式分解后再對(duì)兩個(gè)式子的正負(fù)性進(jìn)行討論分析，一方面可以比較兩種方法的優(yōu)劣，另一方面可以滲透分類思想.

從這兩個(gè)例子可以看出，教師在教學(xué)工作中教好教材，更要用好教材，挖掘和提煉數(shù)學(xué)思想方法，并在教學(xué)中滲透分類等思想方法，有助于培養(yǎng)中職學(xué)生數(shù)學(xué)興趣和提升思維的縝密性、深刻性.

2.形成概念，體驗(yàn)分類思想

數(shù)學(xué)概念是人腦對(duì)現(xiàn)實(shí)對(duì)象的數(shù)量關(guān)系和空間形式的本質(zhì)特征的一種反映形式，即一種數(shù)學(xué)的思維形式.數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)知識(shí)的重要組成部分，基于數(shù)學(xué)內(nèi)容又高于數(shù)學(xué)內(nèi)容的一種隱性知識(shí)，往往以隱藏的形式滲透在概念發(fā)生、發(fā)展、形成過程.下面就舉幾個(gè)概念中體現(xiàn)分類思想的例子：

中職高教版數(shù)學(xué)教材對(duì)實(shí)數(shù)指數(shù)“冪”概念形成過程很簡單，“冪”這個(gè)概念最早是在乘方運(yùn)算中提出來的，即相同因數(shù)連乘積的運(yùn)算叫作乘方，結(jié)果稱為冪.冪的兩個(gè)要素為指數(shù)與底數(shù).底數(shù)的取值范圍由任意實(shí)數(shù)隨著指數(shù)的拓廣最后限定為正數(shù)；指數(shù)為正整數(shù)時(shí)也稱個(gè)數(shù)，指數(shù)從正整數(shù)推廣到整數(shù)，有理數(shù)再到實(shí)數(shù).最后，冪隨著指數(shù)的變化為確保冪的存在而對(duì)底數(shù)進(jìn)行限定才形成實(shí)數(shù)指數(shù)冪.通過以上分析可知，冪形成的兩個(gè)要素為底數(shù)和指數(shù)，而這兩種實(shí)數(shù)都可以從范圍來分，也可以從正負(fù)性來分.而教材上沒有實(shí)數(shù)指數(shù)冪形成過程的說明，也沒有冪的分類圖，所以，建議為了對(duì)“冪”這個(gè)概念有一個(gè)整體的認(rèn)識(shí)，可以從兩個(gè)角度四個(gè)方面去劃分冪，為了更好地突出冪的應(yīng)用廣泛性和引入冪函數(shù)的需要，根據(jù)指數(shù)的范圍給出如下的一個(gè)分類圖（根據(jù)指數(shù)的范圍）：

當(dāng)然，若從指數(shù)正負(fù)性來劃分：實(shí)數(shù)指數(shù)冪可以分為正指數(shù)冪、負(fù)指數(shù)冪和零指數(shù)冪.若底數(shù)從實(shí)數(shù)范圍劃分，實(shí)數(shù)指數(shù)冪也可以分為有理數(shù)底數(shù)冪和無理數(shù)底數(shù)冪.若底數(shù)從正負(fù)性劃分，則可以得到：

冪ax正底數(shù)冪（x∈R）

零底數(shù)冪（x>0）

負(fù)底數(shù)冪x≠m[]n，n∈{偶數(shù)}，m∈{奇數(shù)}

以上兩種角度四種方法的分類，都要根據(jù)一個(gè)確定的、統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)來分，分的標(biāo)準(zhǔn)就是概念的要素，多個(gè)要素可以確定多個(gè)分類.通過分類，可以使概念系統(tǒng)完整，從而達(dá)成這個(gè)概念體系，在概念的形成中和體系的搭建中滲透分類思想.

3.探究原理，揭示分類思想

中職數(shù)學(xué)教科書由于篇幅限制和中職學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，往往只有公式、定理的簡略的推導(dǎo)過程或現(xiàn)成的結(jié)論，因而要引導(dǎo)和鼓勵(lì)學(xué)生探究原理和揭示原理背后的思想方法.

數(shù)學(xué)原理是對(duì)數(shù)學(xué)概念之間穩(wěn)定不變的關(guān)系的描述，數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)原理的基礎(chǔ).如高教版中職拓展教材中直接給出兩個(gè)計(jì)數(shù)原理，沒有對(duì)原理進(jìn)行探究分析.計(jì)數(shù)原理的基礎(chǔ)涉及兩個(gè)基本概念：加法和乘法.本校學(xué)生在本區(qū)內(nèi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是中等以下的，很多學(xué)生對(duì)分步完成乘法原理的理解只是停留在公式套用的層次上，原因在于一方面對(duì)分步完成還是分類完成分不清，另一方面對(duì)分步完成為什么用乘法原理的理解沒有本質(zhì)的認(rèn)識(shí).現(xiàn)舉例分析：

例1 甲地到乙地有2條路可以走，分別記作a和b；乙地到丙地有3條路可以走，分別記作c，d，e，那么從甲地經(jīng)過乙地到丙地共有幾種走法？

分析 若甲地到乙地選擇a，則有ac，ad，ae共三種走法；若甲地到乙地選擇b，則有bc，bd，be共三種走法，總計(jì)3+3=2×3=6種方法.

例2 在例1基礎(chǔ)上現(xiàn)增加從丙地到丁地有4條路，分別記作f，g，h，j，問從甲地經(jīng)過乙地和丙地最后到達(dá)丁地共有幾種走法？

分析 從例1可知甲地到丙地有2×3=6種，若最后一階段從丙地到丁地選擇了f，則甲地到丁地有6種，同理若選擇了g，h，j也分別有6種，所以共計(jì)6+6+6+6=6×4=2×3×4=24種走法.

從以上兩個(gè)例子分析可以看出：分步完成乘法原理的分析用到了分類思想，對(duì)每個(gè)階段出現(xiàn)的路進(jìn)行分類討論；分步完成乘法原理的基礎(chǔ)是分類完成加法原理，就如乘法運(yùn)算是指將相同的數(shù)加起來的快捷方式，乘法的基礎(chǔ)是加法一樣.因此，對(duì)分步完成用乘法原理的不深刻理解源于對(duì)乘法運(yùn)算的含義理解的膚淺，而這個(gè)最簡單、最常見的乘法原理卻蘊(yùn)含著分類的思想，在探究原理的過程中，揭示分類的思想.

4.解決問題，領(lǐng)悟分類思想

例3 已知x∈R， n∈N*，求數(shù)列xn的和：Sn=x+x2+x3+…+xn.

分析 由于x的任意性，本題未指明數(shù)列為等比數(shù)列，所以要考慮該數(shù)列是等比數(shù)列和不是等比數(shù)列兩種情況，而其中等比數(shù)列又要分公比為1和不為1的兩種情況.總之，分類討論時(shí)要考慮分x=1，x=0，x≠0且x≠1共三種情況分析求解.

例4 已知A={1，2}，B={xmx=1，m∈R}，BA，求m的取值范圍.

分析 B是A的子集，B要分空集和非空集共兩種情況.其中B為非空集時(shí)，要考慮B為單元素集合和雙元素集合，排除雙元素集合，又有B=1，B=2共兩種情況.

例5 有5名同學(xué)排成一行拍照，甲同學(xué)不排在最左邊，乙同學(xué)不在最右邊，問有幾種排法？

分析 先考慮甲同學(xué).如果甲同學(xué)在最右邊，余下的4名同學(xué)的排列不受限制，一次有A44種排法；如果甲同學(xué)不在最右邊，則只能排在中間3個(gè)位置，此時(shí)乙同學(xué)也只有3個(gè)位置可以選擇，因此有A13A13A33種排法.所以，共有A44+A13A13A33=78種.

解決以上數(shù)學(xué)問題，實(shí)質(zhì)是變換命題形式和分類思想的反復(fù)運(yùn)用.比如，例1的步驟：明確對(duì)象（集合B）——確定分類標(biāo)準(zhǔn)（集合B元素的個(gè)數(shù)）——逐類討論（空集，單元素集，雙元素集）——?dú)w納總結(jié)（所有的情況合并得出m）.對(duì)所求的m不能統(tǒng)一進(jìn)行研究，變換命題的形式分析集合B，然后再分類，最后得出m的值.此類數(shù)學(xué)問題的每一步轉(zhuǎn)換，都遵循著分類思想方法“總——分——總”的規(guī)律.通過這類數(shù)學(xué)問題的解決，會(huì)避免分類中重復(fù)和遺漏的現(xiàn)象，學(xué)生能夠領(lǐng)悟分類的魅力.

5.整合知識(shí)，提煉分類思想

數(shù)學(xué)思想方法隸屬于中職教材，融合和隱藏于數(shù)學(xué)知識(shí)體系中.因此，根據(jù)中職生思維特點(diǎn)和認(rèn)知水平，當(dāng)教學(xué)中涉及分類思想時(shí)要在整合數(shù)學(xué)知識(shí)過程中提煉分類數(shù)學(xué)思想，引導(dǎo)學(xué)生從分類數(shù)學(xué)思想的高度去總結(jié)、歸納、深化.對(duì)于最常見的分類思想，可從生活現(xiàn)象中的分類遷移到數(shù)學(xué)中的分類，遵循循序漸進(jìn)、逐步滲透、螺旋上升的原則，適時(shí)歸納一些常見的分類思想方法和分類的一般步驟，從而有助于學(xué)生形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和有助于把這種分類思想遷移到以后的工作生活中去，真正達(dá)到我們教數(shù)學(xué)，學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的目的——學(xué)好數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)，更要培育理性精神和掌握數(shù)學(xué)思想方法.