高中數(shù)學(xué)中函數(shù)與方程思想的研究（修訂版）

張勝言

【摘要】高中數(shù)學(xué)的精髓在于數(shù)學(xué)思想，而數(shù)學(xué)思想的核心又是在函數(shù)與方程思想中體現(xiàn)的.很多看似難度極大的題目其實(shí)有著非常多的隱含條件可以去挖掘，掌握函數(shù)與方程思想方法不僅能夠快速挖掘出解題要素，同時(shí)也能提高解題質(zhì)量.文章從函數(shù)與方程的解題思想出發(fā)，通過解題實(shí)例的討論對(duì)該思想方式作出詳細(xì)的分析和說明.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；函數(shù)思想；方程思想；案例

一、函數(shù)與方程思想分析

數(shù)學(xué)方法是解決問題的程序，它具有一定的可操作性，并且能夠支配教學(xué)實(shí)踐活動(dòng).數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)的靈魂，但是它是內(nèi)隱的，必須通過數(shù)學(xué)方法等外顯要素將其表達(dá)出來.用教學(xué)成果去解決問題稱為方法，用教學(xué)成果探討它的價(jià)值和意義則是思想.

1.函數(shù)的思想核心

函數(shù)是一種有著運(yùn)動(dòng)變化的模型，在高中階段函數(shù)思想貫穿數(shù)學(xué)課本的始終，任何一個(gè)數(shù)的運(yùn)算我們都可以將其改造成函數(shù)，函數(shù)思想的實(shí)質(zhì)就是用聯(lián)系和變化建立其一種特定的關(guān)系.函數(shù)的核心思想在于圖像和性質(zhì)，從函數(shù)的性質(zhì)和圖像出現(xiàn)所展開的分析是非常具有條理性的.在解題中，我們可以已知條件中的方程、不等式問題都化為函數(shù)為題來解答，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)來為方程求解提供相關(guān)支持.同時(shí)在實(shí)踐教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，如果將不等式、方程等問題運(yùn)用函數(shù)思想來解答，能夠起到極好的簡(jiǎn)化操作步驟，讓解題思路清晰明了的呈現(xiàn)出來.

2.方程的思想核心

方程思想的本質(zhì)其實(shí)是認(rèn)識(shí)方程的概念，通過利用方程或是方程組的觀察來進(jìn)行問題的處理.函數(shù)的問題能夠通過方程來解答，同樣方程的問題我們也可以通過函數(shù)來解答，二者的關(guān)系式十分微妙的，如果能夠找到其中的關(guān)系，那么高中函數(shù)與方程的解題就能夠輕而易舉實(shí)現(xiàn)了.方程思想的核心在于從函數(shù)關(guān)系出發(fā)，通過構(gòu)建函數(shù)關(guān)系所對(duì)應(yīng)的方程式式來進(jìn)行求解.

我們可以通過一個(gè)例子來進(jìn)行具體說明：函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)換十分簡(jiǎn)單，我們可以將常規(guī)的y=f（x）轉(zhuǎn)化為一般方程f（x）-y=0，那么在具體的解答過程中，我們就可以通過解最普遍的二元方程組來完成此題.如果題目中還涉及函數(shù)的定義域、值域等問題，我們都可以通過方程思想加以解答，往往還能達(dá)到事半功倍的效果.

二、函數(shù)與方程求解案例分析

對(duì)于函數(shù)思想與方程思想研究，我們可以更多的從實(shí)際案例中進(jìn)行分析.通過構(gòu)造函數(shù)關(guān)系為出發(fā)點(diǎn)，然后以所構(gòu)造的函數(shù)圖像及性質(zhì)為切入點(diǎn)，然后在解決所對(duì)應(yīng)的方程中的問題，這也是函數(shù)與方程思想的核心所在.

例1定義x1滿足條件2x+2x=5，同時(shí)x2滿足條件：2x+2log2（x-1）=5，求x1+x2的值.

分析從題目中我們可以發(fā)現(xiàn)，條件中所給出的未知數(shù)滿足的條件是超越了方程的類型的.此類方程我們無法通過直接計(jì)算的方式得出答案，因此我們要尋找超越方程的聯(lián)系，先將方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換為函數(shù)，然后在求解，這也是函數(shù)與方程思想的變形.

解題首先，我們將方程2x+2x=5定義為①，將方程2x+2log2（x-1）=5定義為②，然后進(jìn)行同等函數(shù)變化.將①的兩邊同時(shí)“-2x”的方式，得到2x-1=52-x.將方程②也進(jìn)行相同的變化，可以得到log2（x-1）=52-x.下來我們可以對(duì)方程①和②進(jìn)行分析，將它們轉(zhuǎn)化為函數(shù)模式.

方程①可以視作函數(shù)a（y=2x-1）與函數(shù)by=52-x在坐標(biāo)系相交中所產(chǎn)生交點(diǎn)M的橫坐標(biāo)數(shù)值；方程②可以視作cy=log2（x-1）與函數(shù)by=52-x在坐標(biāo)系相交中所產(chǎn)生交點(diǎn)N的橫坐標(biāo)數(shù)值.

通過上述方程，我們可以運(yùn)用方程與函數(shù)的思想將方程轉(zhuǎn)化為函數(shù)求解.通過觀察我們可以知道方程①所對(duì)應(yīng)的函數(shù)a和方程②所對(duì)應(yīng)的函數(shù)c都還可以進(jìn)一步的處理，即我們可以發(fā)現(xiàn)a由y=2x這個(gè)函數(shù)向右平移一個(gè)單位得到的，方程c是由y=log2x這個(gè)方程向右平移一個(gè)單位得到的.而y=2x與y=log2x關(guān)于y=x，因此我們可以判定a與c關(guān)于y=x-1對(duì)稱，即y=x-1與b是相互垂直的.聯(lián)立y=x-1與b可以求出相交點(diǎn)P的坐標(biāo)為P74，34，而且M，N關(guān)于點(diǎn)P對(duì)稱，所以我們可以得出x1+x2=74×2=72

三、函數(shù)與方程思想解題歸納

在高中數(shù)學(xué)解題中，我們可以將函數(shù)與方程思想作為解題的指導(dǎo)思想來運(yùn)用，首先分析學(xué)生的基礎(chǔ)水平，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)水平來進(jìn)行課程設(shè)計(jì)，幫助培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力.對(duì)于這種方程與函數(shù)的轉(zhuǎn)化解題，我們可以先引導(dǎo)學(xué)生自主思考，然后在分別從函數(shù)和方程的思想進(jìn)行解析，引導(dǎo)學(xué)生自主將兩種思想進(jìn)行結(jié)合解題.

函數(shù)與方程的思想我們可以將之作為一種解題策略，這是基于數(shù)學(xué)知識(shí)存在的，同時(shí)它又不僅局限于數(shù)學(xué)知識(shí).它也是一種指導(dǎo)思想，教師可以通過學(xué)生的學(xué)習(xí)層次，提出不同的要求，并且有意識(shí)的培養(yǎng)學(xué)生此種解題思想.我國數(shù)學(xué)教育往往更加注重應(yīng)試而忽略了教育中的思維能力的表達(dá).只有教師對(duì)此十分重視，才能夠在教學(xué)過程中將之滲透給學(xué)生，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維.

結(jié)束語

總之，函數(shù)與方程思想是高中階段數(shù)學(xué)學(xué)科中的重要內(nèi)容之一，同時(shí)也是現(xiàn)階段數(shù)學(xué)學(xué)科高考中的重要內(nèi)容.對(duì)于教師來說，如果能夠通過加入一些教學(xué)活動(dòng)的方式來引導(dǎo)學(xué)生更充分的認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)思想是最好的.在解題技巧講解上，更加注重理論與實(shí)踐的結(jié)合，分析與討論的結(jié)合，這樣才能指導(dǎo)學(xué)生對(duì)條件的深挖，進(jìn)而解決問題.