基于二進(jìn)制算法驗(yàn)算哥德巴赫猜想

周佳盛 孫文文

【摘要】本文闡述的結(jié)果成立是哥德巴赫猜想猜想成立的必要條件，利用了二進(jìn)制數(shù)簡單的表達(dá)方式，從二進(jìn)制數(shù)的角度去驗(yàn)算哥德巴赫猜想.

【關(guān)鍵詞】二進(jìn)制；哥德巴赫猜想

一、緒論

1.二進(jìn)制定義

二進(jìn)制是計(jì)算技術(shù)中廣泛采用的一種數(shù)制.二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù).它的基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”，由18世紀(jì)德國數(shù)理哲學(xué)大師萊布尼茲發(fā)現(xiàn).

第三次科技革命的重要標(biāo)志之一的計(jì)算機(jī)的發(fā)明與應(yīng)用，因?yàn)閿?shù)字計(jì)算機(jī)只能識別和處理由‘0.‘1符號串組成的代碼.其運(yùn)算模式正是二進(jìn)制.19世紀(jì)愛爾蘭邏輯學(xué)家喬治布爾對邏輯命題的思考過程轉(zhuǎn)化為對符號“0”.“1”的某種代數(shù)演算，二進(jìn)制是逢2進(jìn)位的進(jìn)位制.0、1是基本算符.因?yàn)樗皇褂?、1兩個(gè)數(shù)字符號，非常簡單方便，易于用電子方式實(shí)現(xiàn).

2.哥德巴赫猜想介紹

提出者：德國教師哥德巴赫.

提出時(shí)間：1742年.

內(nèi)容表述：素?cái)?shù)又稱質(zhì)數(shù)，它是只能被1和此數(shù)本身整除的整數(shù).素?cái)?shù)數(shù)列中，僅2為偶數(shù)，其余均為奇數(shù).

任何一個(gè)大于2的偶數(shù)，都可以表達(dá)為兩個(gè)素?cái)?shù)之和.

若設(shè)x，y均為素?cái)?shù)，z為大予2的偶數(shù)，則哥德巴猜想可表達(dá)為：z=y+x.

3.國內(nèi)外研究狀況

1937年，蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家伊萬·維諾格拉多夫更進(jìn)一步，在無需廣義黎曼猜想的情形下，直接證明了充分大的奇數(shù)可以表示為三個(gè)素?cái)?shù)之和，被稱為“三素?cái)?shù)定理”.不過他無法給出“充分大”的界限.他的學(xué)生博羅茲金于1939年確定了一個(gè)“充分大”的下限：314348907.這個(gè)數(shù)字有6846169位，要驗(yàn)證比該數(shù)小的所有數(shù)完全不可行.

1995年，法國數(shù)學(xué)家奧利維耶·拉馬雷證明，不小于4的偶數(shù)都可以表示為最多六個(gè)素?cái)?shù)之和.萊塞克·卡涅茨基證明了在黎曼猜想成立的前提下，奇數(shù)都可表示為最多五個(gè)素?cái)?shù)之和.2012年，陶哲軒在無需黎曼猜想的情形下證明了這一結(jié)論.

二、方法介紹

1.理論基礎(chǔ)

（1）二進(jìn)制加法法則

在二進(jìn)制原碼的加法中，兩個(gè)任意的n位二進(jìn)制數(shù)相加不能得到一個(gè)n+2的二進(jìn)制數(shù).

例1已知四位二進(jìn)制數(shù)c=1000，是否能夠由兩個(gè)二位二進(jìn)制數(shù)a和b相加所得該四位二進(jìn)制數(shù).

答：否，設(shè)兩個(gè)a與b皆為11，則相加為110.因?yàn)榇藭r(shí)a+b為最大值，則命題不成立.

（2）奇數(shù)偶數(shù)在二進(jìn)制中的表示

與十進(jìn)制不同，在二進(jìn)制中的偶數(shù)和奇數(shù)唯一的不同點(diǎn)在于末尾的數(shù)字.

末尾數(shù)字為‘1時(shí)（即20），則為奇數(shù)，數(shù)字‘0則為偶數(shù).

例1二進(jìn)制數(shù)10001的十進(jìn)制表示為17，為奇數(shù)

二進(jìn)制數(shù)10000的十進(jìn)制表示為16，為偶數(shù)

由此可見，在的多數(shù)情況下相鄰的奇數(shù)與偶數(shù)，在二進(jìn)制中的差異是末尾數(shù)字的不同.又因?yàn)閮蓚€(gè)奇數(shù)相加必然是偶數(shù)，兩個(gè)素?cái)?shù)（不考慮素?cái)?shù)2）相加必然是偶數(shù).

因此在之后的運(yùn)算中，為了方便運(yùn)算，我們將不看末尾，即把所有的偶數(shù)和奇數(shù)合在一起看.

（1）素?cái)?shù)在二進(jìn)制數(shù)中的表示

二進(jìn)制位數(shù)[]該位數(shù)下十進(jìn)制數(shù)個(gè)數(shù)[]素?cái)?shù)個(gè)數(shù)[]素?cái)?shù)所占比例

1[]2[]1[]0.5

2[]4[]1[]0.5

3[]8[]2[]0.5

4[]16[]2[]0.25

5[]32[]5[]0.3125

6[]64[]7[]0.21875

7[]128[]13[]0.203125

8[]256[]24[]0.1875

9[]512[]43[]0.16796875

10[]1024[]72[]0.140625

11[]2048[]137[]0.133789063

12[]4096[]255[]0.124511719

13[]8192[]464[]0.11328125

3.方法闡述

從二進(jìn)制加法法則可知，當(dāng)n位二進(jìn)制數(shù)與n+2位二進(jìn)制數(shù)間沒有素?cái)?shù)出現(xiàn)存在時(shí)，哥德巴赫猜想則不成立.

但是該方法不能證明當(dāng)n位二進(jìn)制數(shù)與n+2位二進(jìn)制數(shù)間沒有素?cái)?shù)出現(xiàn)存在時(shí)，哥德巴赫猜想一定成立.

4.猜想與展望

從上表可知在一個(gè)二進(jìn)制位數(shù)上的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)是有遞增的趨勢，且占比有遞減趨勢.雖然素?cái)?shù)在二進(jìn)制數(shù)位上的個(gè)數(shù)所占比例會隨著二進(jìn)制位數(shù)的遞增而遞減，但是素?cái)?shù)個(gè)數(shù)卻依然在增加，因此可以通過此方法證明或者推翻哥德巴赫猜想.

【參考文獻(xiàn)】

[1]數(shù)學(xué)史上的五大趣味難題（N）.生活文摘報(bào)，2007-03-02（9）.

[2]基于哥德巴赫猜想的猜想和聯(lián)想，古工（A）.