獨(dú)立學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)案例教學(xué)法及實(shí)踐

劉曉花

【摘要】近幾年獨(dú)立學(xué)院作為我國(guó)高等教育的組成部分發(fā)展日益壯大，獨(dú)立學(xué)院與普通公辦高等院校相比有許多新的特點(diǎn)，人才培養(yǎng)目標(biāo)與培養(yǎng)對(duì)象有其自身的特點(diǎn)，這對(duì)基礎(chǔ)類(lèi)課程的教學(xué)提出了很多新的課題和挑戰(zhàn).本文試從獨(dú)立學(xué)院現(xiàn)階段概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)存在的問(wèn)題出發(fā)，結(jié)合課程特點(diǎn)，研究案例教學(xué)法在課堂教學(xué)中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)；獨(dú)立學(xué)院；案例教學(xué)

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是獨(dú)立學(xué)院經(jīng)管、工科類(lèi)各專業(yè)重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課，一般開(kāi)設(shè)在學(xué)生掌握微積分知識(shí)之后，系統(tǒng)展開(kāi)專業(yè)課程學(xué)習(xí)之前.隨著統(tǒng)計(jì)技術(shù)在社會(huì)各經(jīng)濟(jì)、管理等方面的普及和應(yīng)用，概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的教學(xué)就變得更加重要.統(tǒng)計(jì)技術(shù)廣泛的應(yīng)用基礎(chǔ)，也為課程提供了豐富的教學(xué)案例.在該門(mén)課程教學(xué)中采用案例教學(xué)法，一方面能幫助學(xué)生理解較抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)，讓傳統(tǒng)刻板的數(shù)學(xué)課程生活化，活躍課堂氛圍，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣；另一方面，實(shí)施案例教學(xué)法能更好地實(shí)現(xiàn)民辦獨(dú)立學(xué)院應(yīng)用型人才的培養(yǎng)目標(biāo)，通過(guò)課堂上對(duì)案例的分析與數(shù)學(xué)方法的求解，提高學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力，并將這種能力繼續(xù)深化在專業(yè)課程的學(xué)習(xí)中，鍛煉實(shí)踐應(yīng)用的能力.

一、獨(dú)立學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課堂教學(xué)存在的主要問(wèn)題

課堂教學(xué)的低效性是目前獨(dú)立學(xué)院數(shù)學(xué)教學(xué)改革面臨的一大難題，這主要是學(xué)生基礎(chǔ)差、怕數(shù)學(xué)，同時(shí)獨(dú)立學(xué)院人才培養(yǎng)模式下，基礎(chǔ)課課時(shí)縮減，教師為完成教學(xué)內(nèi)容，趕課時(shí)，趕進(jìn)度，灌輸式的教學(xué)所造成的巨大矛盾.課堂上形成了學(xué)生對(duì)教師的高度依賴，始終處于單向被動(dòng)接受知識(shí)的地位，課堂后，學(xué)生對(duì)書(shū)本沒(méi)興趣，更惰于思考生活中遇到的問(wèn)題如何用數(shù)學(xué)方法求解.對(duì)應(yīng)用型人才培養(yǎng)目標(biāo)而言，這個(gè)現(xiàn)象更值得深思.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)本身是一門(mén)理論性和應(yīng)用性都很強(qiáng)的課程，這門(mén)學(xué)科為解決實(shí)際問(wèn)題提供可靠的理論方法和模型，在技術(shù)分析及管理決策中的應(yīng)用表現(xiàn)出比別的學(xué)科更強(qiáng)勁的優(yōu)勢(shì).獨(dú)立學(xué)院學(xué)生學(xué)習(xí)該門(mén)課程其目的不應(yīng)只在數(shù)學(xué)本身，而更應(yīng)體現(xiàn)在課程方法的具體應(yīng)用.因此，概率統(tǒng)計(jì)的教學(xué)必須體現(xiàn)應(yīng)用的特點(diǎn)，強(qiáng)化學(xué)生實(shí)踐能力的培養(yǎng)，加強(qiáng)知識(shí)的遷移.為了解決這一問(wèn)題，積極開(kāi)展案例教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自主學(xué)習(xí)和探究性學(xué)習(xí)，是獨(dú)立學(xué)院概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革的當(dāng)務(wù)之急.

二、概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的案例教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施

在概率統(tǒng)計(jì)課程實(shí)施案例教學(xué)法，是將傳統(tǒng)“定理—證明—例題—練習(xí)”的教學(xué)授課環(huán)節(jié)重新進(jìn)行整合，以師生互動(dòng)討論案例展開(kāi)學(xué)習(xí)環(huán)節(jié)，并以此為重點(diǎn)，在求解案例時(shí)運(yùn)用本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的理論，讓學(xué)生在案例中理解定理應(yīng)用的基礎(chǔ)和計(jì)算辦法，即案例教學(xué)法的授課環(huán)節(jié)為“案例—定理—練習(xí)”，這種學(xué)習(xí)過(guò)程以案例代替了例題，更容易讓同學(xué)們?cè)谡n堂之初就了解本節(jié)內(nèi)容的主題，把握本節(jié)知識(shí)的應(yīng)用方向.同時(shí)這一學(xué)習(xí)過(guò)程弱化了傳統(tǒng)教學(xué)中理論證明的環(huán)節(jié)，可以將課堂中富余的時(shí)間讓同學(xué)練習(xí)，鞏固新知識(shí)，并牢記新知識(shí)應(yīng)用的條件和計(jì)算.

完成一次概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)案例教學(xué)需要做好幾個(gè)工作.第一個(gè)工作是編寫(xiě)案例，教師在備課時(shí)，需要認(rèn)真挑選與本節(jié)教學(xué)理論知識(shí)關(guān)聯(lián)度高的例子，要兼顧同學(xué)已具備的計(jì)算知識(shí)，以及案例的實(shí)用性、趣味性和代表性，另外案例的求解過(guò)程不能太復(fù)雜，以免耽誤過(guò)多的課堂時(shí)間.第二個(gè)工作是教學(xué)實(shí)施，編寫(xiě)合適案例后，課堂授課從提出問(wèn)題開(kāi)始，由教師引導(dǎo)同學(xué)思考問(wèn)題，在案例問(wèn)題的求解過(guò)程中引出新的數(shù)學(xué)概念，從而進(jìn)行新知識(shí)講解環(huán)節(jié).討論并歸納出求解此類(lèi)問(wèn)題的思路和方法，計(jì)算得到案例的答案.再列舉一些類(lèi)似的例子，讓同學(xué)們自主練習(xí)計(jì)算，通過(guò)類(lèi)似案例的分析解決找到它們的共性，鍛煉同學(xué)們的歸納能力，掌握新的數(shù)學(xué)概念.第三個(gè)工作是考核，為提高案例教學(xué)效果，教師可對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)情況進(jìn)行考核.考核方式可采用課堂作答和課外設(shè)計(jì)兩種方式.課堂上教師給定某個(gè)小案例，要求學(xué)生依照之前的討論方式，獨(dú)立求解作答.另外，教師可給學(xué)生布置課程設(shè)計(jì)，要求同學(xué)以小組為單位，親身經(jīng)歷案例搜集、編寫(xiě)、討論分析和計(jì)算的整套過(guò)程，考察學(xué)生觀察問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.第四個(gè)工作是總結(jié)，課后教師應(yīng)及時(shí)評(píng)估授課效果是否達(dá)到預(yù)期目標(biāo)，檢查選擇的案例是否與教學(xué)目的完全吻合，調(diào)整案例的難度，對(duì)案例講解的互動(dòng)情況進(jìn)行總結(jié)，以便設(shè)計(jì)好下一課程的討論.

下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，給出教學(xué)案例，以供交流.

案例1：利用獨(dú)立性理論，證明諺語(yǔ)“三個(gè)臭皮匠，賽過(guò)諸葛亮”.

教學(xué)目的：認(rèn)識(shí)隨機(jī)事件獨(dú)立的概念和性質(zhì).

教學(xué)過(guò)程：假定A，B，C三人獨(dú)立思考解決某一問(wèn)題的能力分別為0.6，0.5，0.55，即3人解決問(wèn)題的能力大致都只有一半，則這個(gè)問(wèn)題得到三人之一解決的可能性為：

P（A∪B∪C）=1-P（A∪B∪C）=1-P（ABC），

而事件“ABC”表示“三人都不能解決這個(gè)問(wèn)題”，那么有：

P（ABC）=P（A）P（B）P（C）=0.4×0.5×0.45=0.09，

即P（A∪B∪C）=1-0.09=0.91.

這意味著三個(gè)半桶水的臭皮匠居然能有91%的可能性解決問(wèn)題，聰明的諸葛亮也不過(guò)如此.而且當(dāng)“臭皮匠”人數(shù)增多時(shí)，這個(gè)優(yōu)勢(shì)更加明顯.假設(shè)n個(gè)人解決某一難題的能力都只有ε，則問(wèn)題能被解決的可能性為：1-（1-ε）n，顯然當(dāng)n→∞時(shí)，1-（1-ε）n→1，即問(wèn)題一定會(huì)被解決的，這個(gè)算式，可謂是“集思廣益”的數(shù)學(xué)驗(yàn)證.

案例2：由期望值選擇最佳方案.

教學(xué)目的：掌握數(shù)學(xué)期望的計(jì)算方法，理解期望的應(yīng)用意義.

教學(xué)過(guò)程：驗(yàn)血是醫(yī)學(xué)檢驗(yàn)上排查疾病的常用方法，假設(shè)有n人需驗(yàn)血，有兩種檢驗(yàn)方案可選擇，

（1）分別化驗(yàn)每個(gè)人的血樣，共需化驗(yàn)n次；

（2）分為若干組化驗(yàn)，將k個(gè)人的血樣混合，若混合后的血樣為陰性，則該組只需檢驗(yàn)一次，若為陽(yáng)性，則需再分別檢驗(yàn)k人的血樣，即該組共需化驗(yàn)k+1次.

若已知某種疾病的患病率為p（即血樣呈陽(yáng)性的概率），且每個(gè)人的化驗(yàn)結(jié)果互不影響，比較哪種方案更經(jīng)濟(jì)呢？

由于方案（1）的結(jié)果是確定的，要比較兩個(gè)方案的優(yōu)劣，只需計(jì)算出方案（2）的平均值即可.為便于計(jì)算，假設(shè)總?cè)藬?shù)n是k的整數(shù)倍，血樣平均分為n/k組，若第組化驗(yàn)次數(shù)為Xi，則Xi服從兩點(diǎn)分布，且P（Xi=1）=（1-p）k，P（Xi=k+1）=1-（1-p）k，

計(jì)算得每組平均檢驗(yàn)次數(shù)為：E（Xi）=（1-p）k+（k+1）1-（1-p）k

=（k+1）-k（1-p）k，

又化驗(yàn)總次數(shù)X=X1+X2+…+Xn/k，

所以，E（X）=E（X1+X2+…+Xn/k）=E（X1）+E（X2）+…+E（Xn/k）

=nk（k+1）-k（1-p）k=n1+1k-（1-p）k

=n1-（1-p）k-1k.

當(dāng)（1-p）k-1k>0時(shí)，E（X）

相關(guān)的案例還有很多，限于篇幅就不多舉例.總而言之，如果在課程中適當(dāng)?shù)匕才乓恍?yīng)用案例，對(duì)典型經(jīng)濟(jì)案例進(jìn)行透徹的分析和討論，將使學(xué)生逐步學(xué)會(huì)應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，從而進(jìn)一步鞏固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，提高知識(shí)的應(yīng)用實(shí)踐能力.

三、案例教學(xué)法實(shí)施的展望

案例教學(xué)是一種新的現(xiàn)代教學(xué)方式，在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用思維、活躍教學(xué)課堂方面有著傳統(tǒng)教學(xué)法無(wú)法比擬的優(yōu)勢(shì).但案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)中廣泛開(kāi)展，仍需要廣大師生及學(xué)校的共同努力.需要教師對(duì)教學(xué)方式、教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行大膽改革和創(chuàng)新，對(duì)生活、經(jīng)管中的經(jīng)典案例進(jìn)行廣泛搜集，反復(fù)對(duì)案例進(jìn)行改編，課堂上擺脫固有的教學(xué)節(jié)奏，貫徹實(shí)施案例教學(xué).需要學(xué)校從體制上支持教師教學(xué)的改革轉(zhuǎn)變，肯定教師的努力成果.需要學(xué)生配合完成教學(xué)環(huán)節(jié)的每個(gè)步驟.只有三方的共同努力，才能使得案例教學(xué)法在概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教學(xué)改革中發(fā)揮積極的作用，取得良好的教學(xué)效果.

【參考文獻(xiàn)】

[1]吳贛昌.概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)[M].北京：中國(guó)人民大學(xué)出版社，2006.

[2]張遠(yuǎn)南.概率和方程的故事[M].北京：中國(guó)少年兒童出版社，2005.

[3]于濤.以案例促進(jìn)《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》教學(xué)[J].中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊.2010.05.