淺談充分“挖掘”習(xí)題的教育價(jià)值

張志仁

以《平面解析幾何》拋物線習(xí)題為例，進(jìn)行“挖潛”與“變式探討”，用以說(shuō)明深挖習(xí)題訓(xùn)練功能的巨大教育價(jià)值。

習(xí)題挖潛變式探討用好一些典型例習(xí)題，研究其內(nèi)涵與解法，充分“挖潛”與“變式探討”，并力求“舉一反三，推陳出新”，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維與創(chuàng)新能力，對(duì)掌握一類問(wèn)題知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系與靈活應(yīng)用，具有極好的數(shù)學(xué)教育價(jià)值與訓(xùn)練功能。

現(xiàn)以《平面解析幾何》拋物線習(xí)題為例，進(jìn)行“挖潛”與“變式探討”，用以說(shuō)明深挖習(xí)題訓(xùn)練功能的巨大教育價(jià)值。

題：過(guò)拋物y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為y1、y2。求證：y1y2=-p2

證明：設(shè)過(guò)F（p2，0）的直線AB：y=k（x-p2）（k≠0）

代入y2=2px得：

ky2-2py-kp2=0

∴y1y2=-kp2k=-p2

將上題中結(jié)論進(jìn)行推廣得：

變題1：過(guò)拋物y2=2px的焦點(diǎn)的一條直線和這條拋物線相交，兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1、x2。

求證：x1x2=p24

證明：由上題結(jié)論知：y1y2=-p2

又∵ x1=y212p x2=y222p

∴x1x2=（y1y2）24p2=p44p2=p24

進(jìn)一步，由特殊到一般，將過(guò)焦點(diǎn)推廣到過(guò)對(duì)稱軸上任一點(diǎn)，使問(wèn)題得到深化得：

變題2：過(guò)拋物線y2=2px的對(duì)稱軸上一點(diǎn)M（a，0）的一條直線和這條拋物線相交于A（x1，y1）、B（x2，y2）， 則 x1x2=a2，y1y2=-2pa。

證明：只需將AB設(shè)為y=k（x-a）同上可證得結(jié)論。

再進(jìn)一步，利用以上結(jié)論可解：

例1：求證：拋物線的通徑是經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的所有弦中的最短線段。

證明：設(shè)拋物線方程為y2=2px，（p>0）

焦點(diǎn)弦的端點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）

|AB|=x1+x2+p≥2x1x2+p=2p

當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=p2時(shí)，AB 垂直于x軸，即AB為通徑。

例2：過(guò)拋物線焦點(diǎn)的一條直線與它交于兩點(diǎn)P、Q。過(guò)P點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交準(zhǔn)線于M點(diǎn)。求證MQ平行于拋物線的對(duì)稱軸。

證明：設(shè)拋物線方程為y2=2px 點(diǎn)P、Q、M 的縱坐標(biāo)為y1、y2、y3，由上題結(jié)論知：y1y2=-p2

∴y2=-p2y1

又∵PM的方程為：y=y1x1x

準(zhǔn)線方程為： x=-p2

∴y3=-py12x1 而2x1=y21p

∴y3=-p2y1 即y2=y3

∴MQ 平行于拋物線的對(duì)稱軸。

例3：設(shè)拋物線y2=2px（p>0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在其準(zhǔn)線上，且BC平行于x軸。

求證：AC過(guò)原點(diǎn)O。

證明：設(shè)A（x1，y1）， B（x2，y2）

由上題結(jié)論知：y1y2=-p2

∴y2=-p2y1

又BC平行x軸，且點(diǎn)C在準(zhǔn)線x=-p2上

得C（-P2，y2）

∴kOC=y2-p2=-p2y1-p2=2py1=y1x1

又∵kOA=y1x1

∴AC過(guò)原點(diǎn)O。

通過(guò)以上的推廣，充分展示了典型習(xí)題的“挖潛”價(jià)值，使典型習(xí)題真正成為學(xué)生領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法和培養(yǎng)創(chuàng)新能力的“源頭活水”，使學(xué)習(xí)可以收到事半功倍的功效。