淺談“二次”與“三次”的不解之緣

丁克華

【摘要】現(xiàn)代認(rèn)知心理學(xué)家們都十分重視原有知識經(jīng)驗(yàn)或認(rèn)知結(jié)構(gòu)在新學(xué)習(xí)中的作用.人們運(yùn)用自己已有的知識與技能，促使問題的順利解決與新知識的學(xué)習(xí)就是遷移的積極作用.教師倘若能有效地利用學(xué)生原有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)習(xí)遷移，可大大提高學(xué)生學(xué)習(xí)的效率.且利于學(xué)生將知識融會貫通，提高學(xué)生的綜合學(xué)習(xí)與利用的能力.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù);三次函數(shù);導(dǎo)數(shù)

導(dǎo)數(shù)被引入新教材后，使得對三次函數(shù)的性質(zhì)及圖像的研究成為可能.三次函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)，“三個二次”即“二次方程、二次函數(shù)、二次不等式”又是高中教材中的重點(diǎn)考察內(nèi)容.于是，用“二次”研究“三次”的問題，能使學(xué)生理解他們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并在此基礎(chǔ)上解決新問題，做到融會貫通.下面就二者的聯(lián)系談?wù)劰P者個人的淺見.為方便起見，以下設(shè)三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），導(dǎo)函數(shù)是二次函數(shù)f′（x）=3ax²+2bx+c，二次方程3ax²+2bx+c=0的判別式為Δ，兩個根為 x₁，x₂.

一、 二次函數(shù)f′（x）的函數(shù)值與三次函數(shù)f（x）的切線斜率

由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知道，函數(shù)f（x）在x=x0處的切線斜率就是導(dǎo)函數(shù)f′（x）在x=x0處的函數(shù)值.

例1 設(shè)點(diǎn)P是曲線f（x）=x3-3x+23上的任意一點(diǎn)，P點(diǎn)處切線的傾斜角為α，求角α的取值范圍.

解 f′（x）=3x2-3，∵x∈R，∴f′（x）≥-3.

即P點(diǎn)處的切線斜率k≥-3，

又由k=tan（α）知，α∈0，π2∪2π3，π.

評注 斜率的范圍就是導(dǎo)函數(shù)的值域.

學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)在知識的遷移過程中作為基礎(chǔ)和背景起著不可估量的作用，中外許多著名教育家都很重視學(xué)生已有知識經(jīng)驗(yàn)的這種作用.例如，赫爾巴特學(xué)派明確的把“作用”即“過去經(jīng)驗(yàn)中有聯(lián)系的觀念在意識中復(fù)活，它將喚起對新材料，新知識的興趣，并為學(xué)生迅速理解和學(xué)習(xí)新知識做好準(zhǔn)備”.學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn)越精確、熟練，就越利于知識的遷移.

二、 二次方程的判別式與三次函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值

由單調(diào)區(qū)間和極值的定義有如下結(jié)論 ：

二次方程判別式 單調(diào)區(qū)間的個數(shù) 極值點(diǎn)的個數(shù)

例2 設(shè)函數(shù)f（x）=x³+mx²+x+1在R上沒有極值點(diǎn)，求m的取值范圍.

解 f′（x）=3x2+2mx+1.

由已知方程3x2+2mx+1=0的判別式Δ≤0，

即4m2-12≤0，∴-3≤m≤3.

例3 設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+x恰有三個單調(diào)區(qū)間，求a的取值范圍.

解 f′（x）=3ax2+1，則方程3ax2+1=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ>0，即a<0.

三、 二次函數(shù)的符號與三次函數(shù)的增減性

當(dāng)二次函數(shù)f′（x）在區(qū)間I上為正時，三次函數(shù)f（x）在區(qū)間I上為增函數(shù);當(dāng)二次函數(shù)f′（x）在區(qū)間I上為負(fù)時，三次函數(shù)f（x）在區(qū)間I上為減函數(shù).

例4 設(shè)f（x）=ax3-x2+x+5在（-∞，+∞）單調(diào)增求a的取值范圍.

解 f′（x）=3ax2-2x+1.

由已知，f′（x）≥0在R上恒成立.

∴a>0

Δ≤0，即a>0，

4-12a≤0.∴a≥13.

四、 二次方程的根與三次函數(shù)的極值

由結(jié)論知，當(dāng)Δ>0時，三次函數(shù)f（x）才有極值，設(shè)二次方程的根為x1，x2（x1≠x2），則點(diǎn)（x1，f（x1）），（x2，f（x2））就是三次函數(shù)的兩個極值點(diǎn).

例5 已知曲線S：f（x）=x3+px2+qx的圖像與x軸相切于不同于原點(diǎn)的一點(diǎn)，又函數(shù)有極小值-4，求p，q的值.

解 f′（x）=3x2+2px+q，

設(shè)方程3x2+2px+q=0有兩個根x1，x2且x1

y ↑ 極大值 ↓ 極小值 ↑

由表及題設(shè)知，曲線與x軸切于點(diǎn)（x1，0）且過點(diǎn)（x2，-4）.

評注：通過分析知道（x1，0），（x2，-4）是曲線的極值點(diǎn)，可以代入其方程，而且x1，x2又是方程f′（x）=0的根，正是x1，x2的雙重身份，使“二次”與“三次”有機(jī)結(jié)合起來.

教師在教學(xué)中要突出知識的系統(tǒng)性，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)攝思維能力，引導(dǎo)學(xué)生把新的知識納入、同化到舊的知識中去.抓住事物的本質(zhì)屬性與內(nèi)在聯(lián)系，對繁衍的知識進(jìn)行有層次的概括，是知識間相互聯(lián)系的邏輯結(jié)構(gòu)，能綜觀全局，有序地儲存信息.從而為遷移的發(fā)生提供前提在實(shí)際的應(yīng)用中，學(xué)生才能有目的、有條理的根據(jù)知識的線索，迅速恰當(dāng)?shù)倪x擇相關(guān)知識解決新問題.

例6 已知f（x）=x3+ax2+bx+c有極大值f（α）和極小值f（β），求f（α）+f（β）關(guān)于a，b，c的表達(dá)式.

解 f′（x）=3x2+2ax+b.

∵f（x）有極大值f（α）和極小值f（β），

∴α，β是方程3x2+2ax+b=0的兩個根.

∴α+β=-23a，αβ=b3.

∴α2+β2=4a29-2b3，α3+β3=-8a327+2ab3.

∴f（α）+f（β）=4a327-2ab3+2c.

評注 由f（α），f（β）是極值得，α，β是方程f′（x）=0 的根，所以可利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行求解.

五、二次函數(shù)的圖像與三次函數(shù)的圖像

例7 設(shè)f（x）=x3+bx2+cx+d在（-∞，0）是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)，且方程f（x）=0有三個根，分別是α，2，β，（1）求c的值.（2）求證：f（1）≥2.

解 （1）f′（x）=3x2+2bx+c

由已知，f（0）是f（x）的極大值.

∴f′（0）=0，即c=0.

（2）由已知f（x），f′（x）的大致圖像如下：

設(shè)f（x）在x0處取得極小值，

由f（x）在（-∞，0）是增函數(shù)，在[0，2]上是減函數(shù)知x0≥2，

再由f′（x）的圖像知f′（2）≤0，即12+4b≤0，

評注 本題綜合運(yùn)用了導(dǎo)數(shù)的有關(guān)知識，借助于f（x）和f′（x）的圖像，使問題直觀明了.

因此在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中、要充分的運(yùn)用知識的遷移規(guī)律，提高學(xué)習(xí)的實(shí)效，從而能從題海中解脫出來，真正實(shí)施新課程標(biāo)準(zhǔn)下的素質(zhì)教育.