一節(jié)數學概念課的魚與熊掌

周學玲

【摘要】 通過不同視角品課，我與同行形成共識，好的數學概念課必須具有明確問題主線引領，多媒體演示實驗運用恰當能幫組學生體驗概念生成過程，把握概念本質.數形結合數學思維方式有助于理解探究有形數學概念本質特征.弄清概念邏輯結構有助于尋找概念生長點.摸清學生認知最近發(fā)展區(qū)域，有助于激發(fā)學生認知沖突，提高學生合作探究興趣.加強概念變式有助于學生理解概念本質.以生為本是我們應提倡的教學理念，但如何在有限時間內，既保證概念完整呈現，又留給學生足夠思維時空，的確值得探討.魚與熊掌不可兼得，留誰舍誰，望大家評論.下面通過課堂的教學進行說明.

【關鍵詞】數學思維;多媒體演示;理念更新

1.站在授課者視角對課例“正態(tài)分布”品課

教學片段一 引導學生觀察小球從高爾頓板上方下落過程

師：投放小球前，知道小球落在哪個槽中？生：不知道

師：給槽編號，落槽中小球堆積高度反映什么？生：落槽內球頻數.

師：如何用所學知識研究落在各小槽內小球分布情況？生：無回應

師：是否記得在必修3中，如何研究居民人均用水問題的嗎？

生：哦，用頻率分布直方圖.師：你們真棒！

教學片段二多媒體演示必修3居民用水問題頻率分布直方圖

師：如何用樣本頻率分布直方圖估計總體分布密度曲線？

生：用頻率分布折線圖.

師：很好，當樣本容量越來越大，頻率分布折線圖有何變化趨勢？

生：越來越接近總體分布密度曲線.

師：答得很好.實際生活中，常用頻率分布直方圖及頻率分布折線圖，研究離散型隨機變量分布規(guī)律.如可用頻率分布直方圖研究各種高考成績分布規(guī)律，預測高考分數線？

多媒體演示：2013年某中學高考數學成績頻率分布直方圖及折線圖.

師：居民平均用水量及高考成績頻率分布直方圖，有什么共同特點？

生：他們頻率分布直方圖皆具有中間高，兩邊低特點.

師：觀察得很好，下面我們再借助高爾頓板試驗觀察一下，當試驗次數增加，或組距不斷縮小時，頻率分布直方圖及頻率分布折線圖有什么變化？

片段一二品課 授課教師了解正態(tài)分布鄰近種概念是離散型隨機變量分布，種差是離散與連續(xù)差異.欲跨越由離散到連續(xù)認知障礙，須從學生已知的離散型分布研究方法入手.借助實驗及數形結合方法，按照回顧舊知——動態(tài)生成正態(tài)分布密度曲線——數形結合探究密度曲線特征——實際應用正態(tài)分布性質的順序，設置問題主線.逐步引導學生揭開概念抽象面紗，探究其本質.教師尋找學生認知熟悉點：必修3中居民人均用水量及高考數學成績分布問題創(chuàng)設情境.激發(fā)學生探究興趣.

教學片段三 教師借助幾何畫板演示：引導學生思考當試驗次數增加或組距不斷縮小時，頻率分布折線圖有什么變化特點？

師：試驗次數增加或組距不斷縮小時，頻率分布折線圖像什么？生：象編鐘.

師：這條鐘形曲線就是正態(tài)分布密度曲線.十八世紀數學家們經過幾十年努力，應用求導、對數、無窮級數、數學積分，變量代換等數學方法，推導出其函數解析式：

φμσ（x）=1σ2πe-（x-μ）2σ2（其中μ與σ是參數，是樣本估計的均值及標準差）

片段三品課 教師借助高爾頓板演示.引導學生直觀感受：①頻率直方圖共同特征.②樣本容量增大，頻率折線圖逐步逼近連續(xù)光滑“鐘型”曲線.幫助學生跨越由離散到連續(xù)認知障礙，從形上感知正態(tài)分布密度曲線，并激發(fā)學生探究欲望，何種隨機變量服從正態(tài)分布？正態(tài)分布密度曲線有何特征？

教學片段四

師：小球很小時，如何更具體刻畫小球位置呢？生：無回應.

師：去掉高爾頓板最下邊球槽，沿高爾頓板底部建立水平坐標軸，刻度單位為球槽寬度，若用X表示小球第1次與高爾頓板底部接觸時坐標，則X是何種隨機變量？生：連續(xù)型隨機變量.

師：如何計算小球落在區(qū)間[a，b]內概率？生：無應答.

師：如何用頻率分布直方圖計算概率？生：算面積.

師：好，在高爾頓實驗中，如何算小球落在[a，b]內概率？生：算曲邊梯形面積.

師：當試驗次數增加或組距不斷縮小時，如何用鐘形曲線計算概率？

生：算定積分.師：很好.

片段四品課 形象感知正態(tài)分布“鐘形”曲線后，教師設問，引導學生抓“聯(lián)系”搭建腳手架，在學生無回應時，演示去掉高爾頓板最下邊球槽，沿高爾頓板底面建立水平坐標軸，刻度單位為球槽寬度. 若用X表示小球第1次與高爾頓板底部接觸坐標.小球很小，可視為質點，由小球落下的隨機性，引導學生認知X是隨機變量，可以坐標方式研究小球分布，引導學生搭建第一個腳手架：坐標系，以坐標軸上點稠密性，幫助學生跨越離散到連續(xù)認知障礙.緊接著啟發(fā)學生類比離散型隨機變量概率計算，算曲邊梯形面積，進而算定積分來研究連續(xù)性隨機變量在區(qū)間[a，b]上概率.引領學生搭建第二個腳手架：算定積分.為構建正態(tài)分布概念做好鋪墊.

授課者在學生認知最近發(fā)展區(qū)域內，引領學生搭建腳手架，并根據概念邏輯結構，創(chuàng)設激發(fā)學生認知沖突的教學情境，提供大量與新概念相關事例及種屬概念，巧妙借助于多媒體演示，數形結合由特殊到一般，具體到抽象，已知到未知，引導學生感受概念形成過程，觀察、分析、辨別、揭開新概念抽象面紗，突破教學難點，這是本節(jié)課亮點之一.恰當教學情境創(chuàng)設及教學方法選擇帶來和諧順暢師生互動氛圍，促進了教學目標實現.

教學片段五

師：正態(tài)分布中參數μ和σ可以用樣本均值和標準差去估計，正態(tài)分布完全由μ和σ確定.兩個參數對正態(tài)曲線有何影響呢？

多媒體演示：引導學生觀察：若σ固定，圖像隨μ值的變化而沿x軸平移.

若μ固定，曲線的形狀由σ決定：σ越小，曲線越“高瘦”表示總體分布越集中.σ越大，曲線越“矮胖”表示總體分布越分散.

師：當μ=0，σ=1時稱x服從標準正態(tài)分布，記X～N（0，1）

片段五品課

借助多媒體演示，形象直觀引導學生觀察出μ與σ對正態(tài)分布密度曲線影響，了解μ與σ兩個參數真實意義，促進學生對正態(tài)分布本質深入了解.此處可為數形結合突破教學難點之亮點.

課例品課 從五個教學片段可見，教師設問目的性明確，設問方式恰當，能適時引領，但給學生的思維時間較少，對所產出現的疑惑問題直接給出解釋，學生始終被老師牽著走.這也是這節(jié)課無思維創(chuàng)新的原因. 從教學呈現品，結構清晰，主線明確，授課者語言精確簡潔，板書設計突出概念關鍵點.多媒體使用恰當，能幫組學生跨越認知障礙，理解概念本質，把握正態(tài)分布曲線特征，對實現教學目標起到輔助作用.從課程性質品，學習目標符合教學大綱及學生特點，教學內容尊重教材，容量過大.學習目標檢測以習題呈現，留給學生思考時間少，教師對反饋評價少，多直接給答案.但也只能如此，才能在一節(jié)課內完整呈現正態(tài)分布概念，此處值得同行商討.教師適時應用正態(tài)分布曲線特征，進行德育滲透是本節(jié)課一亮點，反映授課者具有培養(yǎng)學生數學應用意識及綜合素養(yǎng)的教育教學理念.從課程文化上品，授課者設問皆能激發(fā)學生認知沖突，指明探究方向.其中教學片段六中設問，激發(fā)認知沖突最激烈，課堂氛圍熱烈和諧，學生探究興趣很濃，教師評價也及時，但當再度設問學生困惑時，教師沒深入引領而直接解釋，學生失去產生創(chuàng)新思維機會，傳統(tǒng)灌輸法教學使課堂合作探究氛圍消失.這是教師受時間限制，對課堂預設外問題處理不當的結果.本節(jié)課問題環(huán)環(huán)相扣，反映授課人邏輯思維嚴謹.能多次激發(fā)學生認知沖突，反映授課人熟知學生認知特點，善于引領學生思考.數形結合，成功組織合作探究是本節(jié)課特色.

2.站在學生視角對課例品課

教學設計片段：正態(tài)分布是學生在學習離散型隨機變量及其分布基礎上，高中階段唯一所學連續(xù)型隨機變量分布.學生學習正態(tài)分布內容有三個認知障礙：①由離散型隨機變量到連續(xù)型隨機變量的認知飛躍.②生活中何種隨機變量服從正態(tài)分布.③正態(tài)分布曲線有何性質？如何幫助學生成功跨越認知障礙，理解正態(tài)分布概念，已成為一場挑戰(zhàn).

片段品課： 從教學設計可見，授課人對學生已有認知、概念生長點及認知特點做過充分研究，為后面選擇教學情境及方法做好鋪墊.

課堂反饋練習：①若隨機變量X～Nμ，σ2則px≤μ=_______

②設隨機變量X～N2，32若p（ξ>c+2）=p（ξ

學生視角品課：學生大多能在三十分鐘內注意力集中，并參與課堂活動，積極思考，合作探究.但記筆記同學不多，這恰是多媒體演示造成的弊端.在概念探究活動中學生沒提出問題，其原因有二：一是教師設問面較全，二是學生無足夠時間思考并提出問題.教師對預設外問題處理有不當之處.課容量大，學生無自主學習時間.借助多媒體演示，學生對正態(tài)分布曲線特征把握比較順暢，困惑僅在于對稱性理解.這說明數形結合有助于學生把握概念本質，但概念本質理解離不開數學分析推理論證，而這恰是學生能力的弱項，有待訓練提高.學生從本節(jié)課中學到了數形結合探究數學概念本質的方法.但由于留給學生課堂練習時間不足五分鐘，故對練習中錯誤，教師無時間破釋，僅給出答案.從學生錯誤可分析出，學生對正態(tài)分布曲線特征缺乏變式運用能力，此能力的鍛煉提高.離不開構建概念變式習題串.如何培養(yǎng)學生構建概念知識網及變式習題串的能力，值得同行進一步探究.

3.站在聽課者視角對課例品課

本節(jié)課教學程序合理，問題主線明確，層次清晰，巧用多媒體演示實驗，數形結合，幫組學生跨越認知障礙，理解正態(tài)分布概念，把握正態(tài)分布曲線性質.板書設計突出關鍵詞.教師成功引領學生合作探究，課堂氛圍和諧熱烈，但學生完全被教師思維所引領，缺乏足夠獨立思維時空，學生沒提出預設外問題，僅是困惑后被灌輸，無創(chuàng)新思維.整節(jié)課容量大，時間緊，練習少，學習方式及學法指導方式有待改進.課中教師提倡“以生為本”的教學理念，但苦于時間限制，無法盡善盡美，前半段教學體現新理念，后半段回歸傳統(tǒng)教學.其原因令同行深思：一節(jié)課是確保數學概念完整呈現重要，還是留給學生足夠探究時空重要.這恰是同行值得探討之問題.

4.我的積累及理念更新

品課活動有利于教師教學藝術及綜合素養(yǎng)迅速提升，學校應將品課活動與教學檢查同時進行，列入年度教學計劃，每學年開展一次，并將品課材料匯編成冊，留于教學研究及校本資源研發(fā).

【參考文獻】

[1]宋運來編著.什么是最有效的教學.江蘇人民出版社，2009

[2]沈毅，崔允漷主編.課堂觀察.華東師范大學出版社，2008.