跨越百年的障礙

方靜

【摘要】本文以教育心理學為指導(dǎo)，在充分研究初中函數(shù)概念與高中函數(shù)概念的基礎(chǔ)上，給出高中函數(shù)教學的具體實施建議，從而實現(xiàn)初中函數(shù)概念與高中函數(shù)概念的自然銜接.

【關(guān)鍵詞】函數(shù)映射說;建構(gòu);固著點;認知障礙;思維定勢;順應(yīng)

函數(shù)是高中數(shù)學的重點和難點，函數(shù)思想貫穿著整個高中數(shù)學.因此對于函數(shù)概念的教學研究從未停止過.已有的研究主要包括以數(shù)學史指導(dǎo)函數(shù)教學和以建構(gòu)主義理論指導(dǎo)函數(shù)教學.但是以往研究對于如何做好初中和高中兩個函數(shù)定義的銜接目前還沒有相關(guān)研究，也沒有可操作的教學建議.本文針對如何處理初中和高中兩個函數(shù)定義在思維上的銜接問題，結(jié)合教育心理學理論和數(shù)學史知識給出了關(guān)于高中函數(shù)定義教學的具體的可操作的建議和措施.

1.初高中函數(shù)概念的區(qū)別與聯(lián)系

初中函數(shù)以一次函數(shù)，反比例函數(shù)，二次函數(shù)為主要內(nèi)容，性質(zhì)較少且比較簡單，單調(diào)性形象化僅僅用增大、減小來反映，與其他知識聯(lián)系相對簡單;而高中函數(shù)首先概念理解的難度增大，要深刻研究二次函數(shù)，還要學習指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)教學內(nèi)容多，知識信息廣泛，形式化程度較高，與函數(shù)相關(guān)的內(nèi)容關(guān)聯(lián)程度高了許多，對數(shù)學語言的運用要求更高.初中函數(shù)概念沒有突出“函數(shù)”應(yīng)當指對應(yīng)法則本身，而高中函數(shù)定義正抓住了這個關(guān)鍵點.在概念教學中，由具體到抽象，尤其多出抽象的“對應(yīng)法則”這個概念.初中函數(shù)僅僅是一個基礎(chǔ)，而高中函數(shù)則更加豐富多彩，它將通過單調(diào)性、奇偶性、周期性、對稱性等眾多獨特的性質(zhì)出現(xiàn)在我們面前.

2.高中教材沒有涉及與初中函數(shù)概念銜接的內(nèi)容

高中教材編寫者也在高中教材的第一節(jié)引言中提到：“在初中，我們把函數(shù)看成是刻畫和描述兩個變量之間依賴關(guān)系的數(shù)學模型，從本節(jié)開始，我們將進一步學習有關(guān)函數(shù)的知識”.雖然提到了初中學過，可是并沒有真正將初中內(nèi)容與高中內(nèi)容銜接起來，學生只是被提醒學過，可是跟現(xiàn)在學習的有什么不同，有什么聯(lián)系，都沒有涉及到.

學生在初中階段已經(jīng)學習了函數(shù)概念的變量說，即：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量x和y，并且對于x的每一個確定的值，y都有唯一確定的值與其對應(yīng)，那么我們就把x稱為自變量，把y稱為因變量，y是x的函數(shù).并且在此基礎(chǔ)上有學習了一次函數(shù)，二次函數(shù)及反比例函數(shù).至此，函數(shù)的變量說定義已經(jīng)在學生大腦中形成了深刻印象.那么當學生在高中再次學習函數(shù)定義時就會產(chǎn)生疑問，初中已經(jīng)學習過函數(shù)的定義了，高中為何又要重新定義呢？兩個定義是什么關(guān)系誰服從誰呢？在這樣的疑惑中學生很難順利接受新知.

高中教材以三個例子歸納出函數(shù)映射說的定義后便直接進入求定義域和值域的例題，沒有分析兩個概念的聯(lián)系和區(qū)別.筆者以為函數(shù)定義映射說的固著點正是新舊概念的區(qū)別和聯(lián)系，如果此處沒有深刻具體的對比分析將難以打破舊概念的定勢作用，從而不能實現(xiàn)舊概念對新概念的順應(yīng).

3.實現(xiàn)初高中函數(shù)概念的銜接的教學建議

高中數(shù)學人教A版必修1的1.2.1節(jié)內(nèi)容是函數(shù)定義.教材的編寫結(jié)構(gòu)是由三個例子歸納出函數(shù)定義，而后給出兩個例題強化定義域和值域的概念，至此結(jié)束本節(jié)內(nèi)容.筆者以為教材對初中函數(shù)的定義的銜接處理太少，不利于學生的新知識的建構(gòu)，故而給出實施教學時的具體建議.

奧蘇貝爾曾經(jīng)說過：“如果讓我用一句話概括教育心理學的內(nèi)容，我將說就是在學生已有知識的基礎(chǔ)上進行教學.”數(shù)學教育家波利亞有句名言：“教師要教的知識是非常重要的，而學生已經(jīng)知道的知識是更加百倍的重要.”因為學生已經(jīng)具備的知識是學生構(gòu)建新知的固著點.而數(shù)學知識的邏輯性強，充分了解學生已有的知識結(jié)構(gòu)并在此基礎(chǔ)上進行教學就顯得更加重要.

鑒于對教材和學生已有知識的認識，教師在處理教學時應(yīng)從以下幾點入手.

（1）以問題引入

教師給出狄里克雷函數(shù)，讓學生觀察討論該函數(shù)的特點，并且提問這是否是函數(shù)，能否用初中的函數(shù)概念來描述它.由此發(fā)現(xiàn)函數(shù)變量說的局限性，從而引出重新定義函數(shù)的必要性.這種處理方法是符合函數(shù)概念發(fā)展歷史的.歷史上函數(shù)定義映射說的產(chǎn)生正是由于數(shù)學家狄里克雷給出的狄里克雷函數(shù)，迫使函數(shù)定義的變量說需要再一次被升華抽象.學生學習數(shù)學知識是對前人知識的再認識再發(fā)現(xiàn)，這樣才能順利而正確的掌握知識.因為學生在學習函數(shù)概念時遇到的困難和問題與函數(shù)發(fā)展史上出現(xiàn)的問題是一致的.函數(shù)的定義從變量說抽象到映射說經(jīng)歷了近一百年的時間，可見兩者在思維上跨越之大，而這種思維的跨越正是今天我們的學生所面對的認知障礙.正如費賴登塔爾說：“學習數(shù)學的唯一正確方法就是實行‘再創(chuàng)造，也就是由學生本人把要學的東西自己去發(fā)現(xiàn)或創(chuàng)造出來，教師的任務(wù)是引導(dǎo)和幫助學生去進行這種再創(chuàng)造工作，而不是把現(xiàn)成的知識灌輸給學生.”函數(shù)發(fā)展過程中的認知障礙也是今天課堂上學生的認知障礙.因此在函數(shù)的教學中，需要恰當借鑒歷史，選擇學生容易接受的典型情境探究函數(shù)概念，使學生在情境的識別與辨析中逐步體會它的形成過程，并親身感悟逐步抽象函數(shù)概念的方法，將有助于學生打破思維定勢，形成清晰的認識，并深刻理解函數(shù)概念.

（2）在概念的形成過程中，讓學生回顧初中用變量的關(guān)系給出的函數(shù)概念并讓學生在已有知識經(jīng)驗中找出一個函數(shù)原型，如 y=3x，引導(dǎo)學生寫出它的定義域、值域.從x和y的取值范圍中抽象出兩個集合，為新舊概念的過渡搭建橋梁.

（3）在對比中建構(gòu)

在歸納出函數(shù)映射說的定義后，將函數(shù)定義的變量說與映射說做對比發(fā)現(xiàn)異同，體會函數(shù)映射說的進一步的抽象性和先進性.通過對比發(fā)現(xiàn)二者的關(guān)系，實現(xiàn)新舊概念的銜接，從而打破舊概念的定勢作用，為新概念建構(gòu)找到清晰的固著點.在概念的教學過程中，要讓學生充分暴露錯誤（不全面的）概念，把對事物表面現(xiàn)象觀察及思維的結(jié)論與數(shù)學知識進行對比，反思，找出矛盾所在，經(jīng)歷認知上的沖突和震撼，改變不平衡的認知結(jié)構(gòu)，促成新概念的同化和順應(yīng).如果沒有對兩個定義進行對比，體會二者的區(qū)別和聯(lián)系的話，那么教師就有將函數(shù)映射說強加給學生的嫌疑.“因為所有知識的學習都涉及到原來經(jīng)驗的遷移，遷移量是以學生帶到學習情境的原有知識為基礎(chǔ).”正如費賴登塔爾在《數(shù)學結(jié)構(gòu)的教學現(xiàn)象學》中告誡我們：“一般來說，人們寧愿教授概念，而不愿教思維對象與思維活動，而這就是我所謂的違反教學理論顛倒的例子.”

（4）數(shù)學史知識的介紹

函數(shù)概念從萌芽到完善經(jīng)歷了300多年的歷史，期間多次更改定義.每次新的定義都是在前一個定義的基礎(chǔ)上再抽象再擴張.“由于學習的封閉性，學生很少從課本及習題集以外的途徑獲取有關(guān)函數(shù)的知識，所以我國學生對函數(shù)關(guān)系的前概念知識是貧乏的，難以適應(yīng)從數(shù)學情境中提出數(shù)學模式進而用數(shù)學符號或圖形表征出來的發(fā)展歷程.”因此介紹函數(shù)發(fā)展史有利于學生開闊眼界拓展思維，從而對函數(shù)有全面深刻的理解.

函數(shù)概念是人類300多年思維的結(jié)晶，教學中不求一步到位，應(yīng)該遵循認識的由遠及近，由模糊到清晰，由粗略到精細的認知過程.

新一輪課程改革實施已達到10年時間，教學觀念的轉(zhuǎn)變必然帶來教學方法的轉(zhuǎn)變.在這一輪改革中需要所有教師群策群力，踐行新課程理念.路漫漫其修遠兮，我輩須上下而求索.

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