高中數(shù)學(xué)：習(xí)題對比在數(shù)學(xué)思維能力訓(xùn)練中的重要性

胡金利

【摘要】在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，真正的難點(diǎn)不在于對具體知識的理解，而是知識脈絡(luò)的梳理.習(xí)題作為思維啟發(fā)和思維傳遞的重要載體，是構(gòu)建數(shù)學(xué)思維的最重要的途徑.本文以習(xí)題對比為核心，談一談這一教學(xué)方法對于訓(xùn)練學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的重要意義.

【關(guān)鍵詞】習(xí)題對比;數(shù)學(xué)思維能力

一直以來，大家都將多做題作為收獲成績的重要途徑，太過于關(guān)注做題的“量”，而忽略了題目的“質(zhì)”及其暗含的數(shù)學(xué)思想.學(xué)生們越來越多的關(guān)注題目的答案是什么，而不是“如何對題目進(jìn)行分析”，大家開始通過記憶的方式“積攢”做題的思路和方法，而不是尋找思路的本源從而將方法進(jìn)行整合.很多學(xué)生在做題時，大多依靠“回憶”所帶來的“直覺”，一旦無法搜尋到類似的記憶或出現(xiàn)了記憶缺失，考試成績就會發(fā)生較大的波動.因此，筆者非常反對學(xué)生考試前幾天學(xué)生熬夜看書、通宵復(fù)習(xí)，因?yàn)閷?shù)學(xué)考試的目的不是對記憶的考驗(yàn)，而是學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想和方法的程度的體現(xiàn).

在提高學(xué)生做題“質(zhì)量”的實(shí)踐中，筆者特別強(qiáng)調(diào)“習(xí)題對比”的重要性.習(xí)題對比與習(xí)題練習(xí)不同，它將習(xí)題以某些共性為篩選依據(jù)，通過“習(xí)題系”的方式進(jìn)行呈現(xiàn)，強(qiáng)調(diào)學(xué)生對于習(xí)題間聯(lián)系和區(qū)別的對比和分析，并從中有所領(lǐng)悟，對抽象的知識有更加具體、全面、深入的了解.因此，本文中，筆者將通過對“習(xí)題對比”方法和實(shí)例的闡述，具體介紹“習(xí)題對比”在加深學(xué)生對新知的認(rèn)知、進(jìn)行知識整合、掌握數(shù)學(xué)解題技巧中的作用，從而展示這一方法對于促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力提升的重要意義.

一、習(xí)題對比對加深新知認(rèn)知的作用

在新知講解的過程中，習(xí)題對比就是通過“習(xí)題系”呈現(xiàn)新知與舊知的對比，進(jìn)而達(dá)到對新知更加深入、全面、系統(tǒng)的認(rèn)知的目的.在具體操作時，筆者通常在“邏輯指導(dǎo)”和“經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)”兩種思維方式的共同作用下，進(jìn)行習(xí)題系的確定.所謂“邏輯指導(dǎo)”，是指將知識進(jìn)行拆分，確定可能造成學(xué)生思維難度的觀察角度，并與可用的知識進(jìn)行對比出題;所謂“經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)”，是指根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)，及學(xué)生學(xué)習(xí)的反饋，對“邏輯指導(dǎo)”下產(chǎn)生的方案進(jìn)行重要程度的排列及進(jìn)一步的修正和優(yōu)化.接下來，筆者將通過實(shí)例來進(jìn)行闡述.

案例1：集合表示方法——描述法的習(xí)題選取 這一部分的“習(xí)題選取”是針對高一數(shù)學(xué)教學(xué)而言，不涉及高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)過程中關(guān)于這一知識的習(xí)題選取.

在邏輯指導(dǎo)和經(jīng)驗(yàn)指導(dǎo)的共同作用下，發(fā)現(xiàn)學(xué)生對于集合描述法的易錯點(diǎn)在于對下屬兩個要素的理解：①要觀察的元素;②所觀察元素的共同特征.于是，采取對比的方式，將這一知識點(diǎn)和初中、高中已經(jīng)學(xué)過的知識進(jìn)行對比理解.經(jīng)過這一過程后，筆者形成了這樣的習(xí)題對比方案：通過對比{1，2，3，4}和{x|1≤x≤4，x∈Z}，讓學(xué)生體會描述法和列舉法的優(yōu)缺點(diǎn);通過{x|1≤x≤4，x∈Z}和{x∈Z|1≤x≤4}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和{k|1≤k≤4，k∈Z}、{x|1≤x≤4，x∈Z}和1x|1≤x≤4，x∈Z、A=x∈N61+x∈Z和B=61+x∈Z | x∈N的四組對比，讓學(xué)生明白觀察元素有很多種展現(xiàn)方法，不必拘泥;通過對比{x|1≤x≤4，x∈Z}和{（x，y）|x+y=1}讓學(xué)生進(jìn)一步體會元素特征中數(shù)集和點(diǎn)集的區(qū)別.

由此可見，筆者所謂的“習(xí)題對比”，其實(shí)就是針對每一個訓(xùn)練目標(biāo)而列舉出“習(xí)題系”，通過對習(xí)題系內(nèi)題目的對比、分析，讓學(xué)生能夠?qū)λ鶎W(xué)知識有更加靈活、全面的掌握.在具體的應(yīng)用中，還會根據(jù)學(xué)生的反饋、新提出的問題等，對這些習(xí)題系進(jìn)行不斷的修正和豐滿.

二、習(xí)題對比對知識整合的作用

高考與平時的模塊考試最大的不同，就在于所包含的知識的廣度.在模塊考試中，學(xué)生已經(jīng)對可能用到的知識有了預(yù)期，在對題目的思考上，已經(jīng)有了一個基本的方向.但是在高考中，所考核的知識已經(jīng)不再局限于某一模塊的范圍，因此，學(xué)生的一個很大的困惑，就是他們不知道對于面對的問題，到底有哪些知識可以用.于是，當(dāng)他們遇到思維的障礙，他們無法判斷到底是自己沒有將已有的知識運(yùn)用好，還是有一個自己沒想到、可能也想不到的新解法，從而只能選擇放棄.針對于這一問題的解決，習(xí)題對比彰顯了無窮的魅力.在以知識整合為目的的習(xí)題對比中，筆者通常使用“同一問題篩選法”來進(jìn)行“習(xí)題系”的確定.所謂“同一問題篩選法”，就是將同樣的問題放在高中所有的知識領(lǐng)域里，看是否能夠進(jìn)行結(jié)合，從而篩選出對于同一問題有用的知識點(diǎn)，進(jìn)而再根據(jù)已篩選的知識進(jìn)行題目的選取和對比.接下來，筆者將以“和三角函數(shù)有關(guān)的求值域”為例，具體闡述如何通過習(xí)題對比促進(jìn)學(xué)生的知識整合和思維構(gòu)建.

案例2：和三角函數(shù)有關(guān)的求值域 在這一部分的闡述中，筆者假定，學(xué)生已經(jīng)掌握了跟三角函數(shù)有關(guān)的公式、定義、圖像等相關(guān)知識，已經(jīng)掌握了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的值域的求法（高三總復(fù)習(xí)用）

這一問題，主要是在講述函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的值域的過程中出現(xiàn)的.考慮到在高中數(shù)學(xué)階段，講述了非常多的和求值域有關(guān)的知識，因此，筆者在講述函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的值域時，通過習(xí)題對比，加深學(xué)生對于和值域有關(guān)的知識的理解.根據(jù)“同一問題篩選法”，筆者形成了一下的習(xí)題對比思路：

導(dǎo)數(shù)法：求y=cos3x+cos2x-1和y=sinx+x的值域

二次函數(shù)法：求y=cos2x+sinx-1的值域

三角函數(shù)法：求y=3sinxcosx+cos2x-1的值域

對號函數(shù)法（包括不等式法）：求y=sinx+1sinx的值域

數(shù)形結(jié)合法：求y=sinx-1cosx+1的值域

通過上述對比學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，雖然都有三角函數(shù)的元素，但是我們要透過題目的現(xiàn)象看透本質(zhì)，在深入理解各類知識點(diǎn)的聯(lián)系和區(qū)別的基礎(chǔ)之上，切中題目要害，從而循序找出正確的思路.

三、習(xí)題對比對數(shù)學(xué)解題技巧的作用

之所以提出“數(shù)學(xué)解題技巧”這一概念，是由于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，總有一些題目的答案是“非常規(guī)”的.學(xué)生對于這一類“非常規(guī)”的做法非常的看重，認(rèn)為這是取得關(guān)鍵分?jǐn)?shù)的法寶，從而將這些做法“記錄”下來.其實(shí)，這些“非常規(guī)”的做法都是基于一些數(shù)學(xué)思想自然而然的想到的，只要學(xué)生掌握了一些數(shù)學(xué)思想和處理技巧，在對題目進(jìn)行簡單的分析之后，這些方法就會呼之欲出.

因此，在對“非常規(guī)”解題方法進(jìn)行講解時，筆者更加看重習(xí)題的對比，希望通過常規(guī)解法和非常規(guī)解法的比較，讓學(xué)生領(lǐng)會一些數(shù)學(xué)技巧和方法，從而學(xué)會技巧性解題.

下面，筆者將從幾個案例入手，通過習(xí)題對比談一談“留誰”這一話題進(jìn)背后的“先易后難”這一解題技巧.

案例3：解析幾何——留“x”還是“y”

先來看兩道習(xí)題：

習(xí)題1：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，過F2（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，若|AB|=154，求橢圓C的方程

習(xí)題2：設(shè)F1，F(xiàn)2分別為橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左右焦點(diǎn)，過F2（2，0）的直線l與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l的傾斜角為60°，如果AF2=2F2B，求橢圓C的方程.

習(xí)題1是我們最常見的類型題，其處理方式是將直線方程和橢圓方程連立，通過消去y，得到一個關(guān)于x的一元二次方程.而習(xí)題二，我們通過得到AF2=2F2Bx1+2x2=4和-y1=2y2，考慮到計(jì)算的便捷性，最終采取的是橢圓方程和直線連立，消去x，得到一個關(guān)于y的一元二次方程，然后繼續(xù)求解.大多數(shù)有關(guān)解析幾何的習(xí)題，都是保留x作為運(yùn)算的主體，而習(xí)題2卻選擇保留y作為運(yùn)算的主體，學(xué)生理解的薄弱環(huán)節(jié)恰恰就在于為何進(jìn)行運(yùn)算主體的“轉(zhuǎn)換”.

筆者在講解時，通常會引入一個解題技巧：“先易后難”，即“誰簡單，就先對誰進(jìn)行運(yùn)算”.以“習(xí)題系”為例，在習(xí)題1中，我們在發(fā)現(xiàn)，如果保留y作為運(yùn)算主體，并沒有降低運(yùn)算難度，所以按照習(xí)慣，我們保留x作為運(yùn)算主體.在習(xí)題2中，我們發(fā)現(xiàn)，式子-y1=2y2較為簡單（只有比例關(guān)系），出于“先易后難”的思想，我們從簡單的元素開始嘗試，如果嘗試失敗，再重新將思路回歸到常規(guī)的方法中.

由此可見，“先易后難”這種處理技巧其實(shí)是給了學(xué)生一個思維邏輯，基于這一邏輯，學(xué)生可以很自然的完成思路的選擇，由此，很多新解法也就從解法的“創(chuàng)新”轉(zhuǎn)變成了一種思維的靈活運(yùn)用，達(dá)到了促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維構(gòu)建和數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練的目的.在高中數(shù)學(xué)階段，這一思想在解決其他有關(guān)“留誰”的問題上，同樣適用.

案例4：數(shù)列——留“an”還是“Sn”

同樣的，先來看習(xí)題3和習(xí)題4：

習(xí)題3：已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且Sn=nan（n>1），a1=1，求an的通項(xiàng)公式.

習(xí)題4：已知Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1=1，且n>1時，2S2n=2anSn-an，求an的通項(xiàng)公式.

這兩道題看似基本相同，但是在式子的處理上卻完全到不同，前者應(yīng)用Sn-Sn-1=an保留an，用著應(yīng)用an=Sn-Sn-1保留Sn.對于這一差異的解釋，同樣可以運(yùn)用“先易后難”的思想.對于Sn=nan來說，Sn是單獨(dú)存在的，并沒有涉及其他運(yùn)算，因此我們采取保留an的方案，先對Sn進(jìn)行運(yùn)算.而對于2S2n=2anSn-an來說，雖然兩者都涉及了一些運(yùn)算，但是比較來看，Sn涉及了平方、乘積多種運(yùn)算，相對復(fù)雜，因此我們采取保留Sn的方案，先對an進(jìn)行運(yùn)算.

案例5：微積分——“∫A dx”還是“∫A dy”

闡述之初，我們先來通過對比的方式看看習(xí)題5、習(xí)題6：求曲線xy=1及直線y=x，y=2圍成的封閉圖形的面積（習(xí)題5）;求曲線y=2x-x2和y=2x2-4x圍成的封閉圖形的面積（習(xí)題6）.在解答時，很多輔導(dǎo)資料給出的答案為：習(xí)題5以y為積分變量，S=∫21（y-1y）dy=32-ln2;習(xí)題6以x為積分變量，S=∫20[（2x-x2）-（2x2-4x）] dx=4.疑問顯而易見，同樣是用微積分求面積，為什么有的是以x為積分變量，有的是以y為積分變量呢？為了解決這一疑惑，筆者在教學(xué)過程中首先會用“以x為積分變量”的方法來探索解決所有的題目，并告訴學(xué)生：

1.“以x為積分變量”可作為思考此類問題的常用思路.

2.對于習(xí)題5來說，如果用“以x為積分變量”的方法來解，需要將x的范圍進(jìn)行分段，將整體圖形分成兩個部分，即：S=∫112（2-1x）dx-∫21（2-x）dx.如果嘗試以y為積分變量，就可以不用將圖形進(jìn)行拆分.比較來看，“以y為積分變量”在某種意義上更為簡單，選用這種方法正是“先易后難”的思想的體現(xiàn).

3.在高中階段，由于我們接觸到的微積分難度有限，并沒有真正體會到不同積分變量的選取所帶來的便捷性，但同學(xué)們要理解這兩種思維的含義，在大學(xué)階段的學(xué)習(xí)過程中，進(jìn)行進(jìn)一步的加深理解.

通過以上闡述不難發(fā)現(xiàn)，習(xí)題對比在教學(xué)中有著非常重要的作用，是對學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力進(jìn)行訓(xùn)練的一個非常重要的手段.因此，筆者提倡，在習(xí)題練習(xí)的過程中，教師一定要充分發(fā)揮習(xí)題對比的重要性作用，以加深學(xué)生對于知識的認(rèn)知，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的整合和構(gòu)建，達(dá)到對學(xué)生進(jìn)行思維能力訓(xùn)練的目的.