簡析三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用

陳堂桂

【摘要】在學(xué)生們學(xué)習(xí)了三角函數(shù)圖像和性質(zhì)的前提下再來學(xué)習(xí)三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用，進(jìn)一步突出函數(shù)來源于生活應(yīng)用于生活的思想，讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷耄瑥亩囵B(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力.

【關(guān)鍵詞】三角函數(shù)模型；簡單應(yīng)用

在學(xué)習(xí)三角函數(shù)圖像之后，都比較熟悉地掌握了作y=Αsin（ωx+φ）圖像的兩種方法（①用“五點法作圖”②用“變化法”作圖（先平移后伸縮或是先伸縮后平移）），三角函數(shù)最明顯的特點就是周期性，用三角函數(shù)模型解決的實際問題也必然是具有周期性變化的規(guī)律的，教師如何引導(dǎo)學(xué)生更好地學(xué)習(xí)并深入了解此類三角函數(shù)應(yīng)用到現(xiàn)實世界中，用三角函數(shù)解決實際問題.

一、教師要制定相應(yīng)的目標(biāo)

1.基礎(chǔ)知識目標(biāo)：①通過對三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用的學(xué)習(xí)，使學(xué)生初步學(xué)會由圖像求解析式的方法；②根據(jù)解析式作出圖像并研究性質(zhì)；③體驗實際問題抽象為三角函數(shù)模型問題的過程；④體會三角函數(shù)是描述周期變化現(xiàn)象的重要函數(shù)模型.

2.能力訓(xùn)練目標(biāo)：讓學(xué)生體驗一些具有周期性變化規(guī)律的實際問題的數(shù)學(xué)“建?！彼枷?，從而培養(yǎng)學(xué)生的建模、分析問題、數(shù)形結(jié)合、抽象概括等能力.

3.個性情感目標(biāo)：讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用，讓學(xué)生切身感受數(shù)學(xué)建模的過程，體驗數(shù)學(xué)在解決實際問題中的價值和作用從而激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)鍥而不舍的鉆研精神，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索、勤于思考的精神.

二、要點的詮釋

可以牢記應(yīng)用題的基本步驟可分為四步：

1.審題：解題的基礎(chǔ)就是審題，包括閱讀理解、翻譯、挖掘等等，通過相應(yīng)的閱讀，真正理解用普通文字語言表述的實際問題的類型、思想內(nèi)涵、問題的實質(zhì)，初步預(yù)測所屬數(shù)學(xué)模型，有些問題中采用即時定義解釋某些概念或?qū)I(yè)術(shù)語，要仔細(xì)閱讀，準(zhǔn)確把握，同時，在閱讀過程中，注意挖掘一些隱含的條件.

2.建模：在細(xì)心閱讀與深入理解題意的基礎(chǔ)上，引進(jìn)數(shù)學(xué)符號，將試題中的非數(shù)學(xué)語言統(tǒng)統(tǒng)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言，然后根據(jù)題意，列出數(shù)量的關(guān)系——建立三角函數(shù)模型.這時候一定要注意三角函數(shù)的定義域應(yīng)符合實際問題要求，這樣便將實際問題轉(zhuǎn)化成純數(shù)學(xué)問題.

3.解模：運用三角函數(shù)的有關(guān)公式進(jìn)行推理、運算，使問題得到解決.

4.還原評價：應(yīng)用問題不是單純的數(shù)學(xué)問題，既要符合數(shù)學(xué)科學(xué)，又要符合實際背景，因此，對于解出的結(jié)果要代入原問題中進(jìn)行檢驗、評判.

三、典例精析

（題型一）日常生活中的應(yīng)用

例 一半徑為3 m的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面2 m，已知水輪每分鐘轉(zhuǎn)動4圈，如果當(dāng)水輪上P點從水中浮現(xiàn)時開始計算時間.

（1）求P點相對水面的高度z（m）與時間（t）之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）P點第一次到達(dá)最高點大約要多長時間？

解 （1）不妨設(shè)水輪沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)角φ（-π2<φ<0）是以Οx為始邊，ΟΡ為終邊的角，易知ΟΡ在t秒內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角為（4×2π60）t=2π15t，故角2π15t+φ是以Οx為始邊，ΟΡ為終邊的角，故Ρ點縱坐標(biāo)為3sin2π15t+φ，則z=3sin2π15t+φ+2，又當(dāng)t=0時，z=0，可得sinφ=-23，又-π2<φ<0，故φ≈-0.73.故所求函數(shù)關(guān)系式為z=3sin2π15t-0.73+2.

（2）令z=3sin2π15t-0.73+2=5，得

sin2π15t-0.73=1，

取2π15t-0.73=π2，解得t=5.5.

故Ρ點第一次到達(dá)最高點大約需要5.5秒.

（題型二）三角函數(shù)在物理上的應(yīng)用

例 一根細(xì)線的一端固定，另一端懸掛一個小球，小球來回擺動時，離開平衡位置的位移s（單位：cm）與時間t（單位：s）的函數(shù)關(guān)系是：s=6sin2πt+π6.

回答以下問題：

（1）小球開始擺動（即t=0），離開平衡位置多少厘米？

（2）小球擺動時，離開平衡位置的最大距離是多少厘米？

（3）小球來回擺動一次需要多少時間？

解 可以先求周期：T=2π2π=1（s）.列表：

使問題得到解答：

（1）小球開始擺動時（t=0），離開平衡位置為3 cm.

（2）小球擺動時離開平衡位置最大距離是6 cm、（即振幅）

（3）小球來回擺動一次需要1 s.

在教學(xué)中，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，應(yīng)注意從復(fù)雜的背景中抽取基本的數(shù)學(xué)關(guān)系，還要調(diào)動相關(guān)學(xué)科知識來幫助解題.不僅要使學(xué)生“知其然”，而且要使學(xué)生“知其所以然”，讓學(xué)生多參與，讓其自主探究分析問題，培養(yǎng)他們分析解決問題的能力，提高應(yīng)用所學(xué)知識的能力.