簡約而不簡單

王敏

引言：欣賞、評析一道精妙的好題，是一種感官享受，也是一種思考和研判的過程.

一、背景與立意

1.原題呈現(xiàn)：如圖，矩形ABCD中，AB=3，AD=4，E為AB上一點(diǎn)，AE=1，M為射線AD上一動點(diǎn)，AM=a（a為大于0的常數(shù)），直線EM與直線CD交于點(diǎn)F，過點(diǎn)M作MG⊥EM，交直線BC于G.

（1）若M為邊AD中點(diǎn)，求證：△EFG是等腰三角形；（2）若點(diǎn)G與點(diǎn)C重合，求線段MG的長；

（3）請用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S，并指出S的最小整數(shù)值.

2.背景與立意：本題外觀簡約，但內(nèi)涵豐富，涵蓋三角形、函數(shù)、四邊形等核心內(nèi)容.考查知識有：直角三角形、全等三角形、相似三角形、中垂線性質(zhì)、勾股定理、函數(shù)、面積等.

二、解法與變式

“基本圖形”助突破，“動點(diǎn)變化”是關(guān)鍵.

圖 11.對于第（1）問，易用“X型全等”的基本圖形解題.第（2）問中，對學(xué)生而言，解題的關(guān)鍵就是：能夠敏銳地觀察出點(diǎn)M和點(diǎn)G位置是相關(guān)的，并且能夠畫出相應(yīng)的圖形（如圖1），此時要求線段MG的長就是求線段MC的長.

而求線段MC的長，學(xué)生自然會想到“數(shù)形結(jié)合”，建立方程來求.那么通過什么來建立方程呢？兩條路：“勾股定理”建立方程，“相似三角形對應(yīng)邊成比例”建立方程.因此，我估計學(xué)生的思路至少有兩條，一條是直接把線段MC放在Rt△MDC或Rt△MEC中，用勾股定理來求MC，但此時MC肯定是用字母a表示的代數(shù)式（如方法1、2）；第二條路是利用相似三角形：K形相似或母子相似（方法3）.此時學(xué)生往往做到這里就停步了，沒有做到最后結(jié)果.如果平時解題有經(jīng)驗(yàn)，認(rèn)真審題的話，發(fā)現(xiàn)是要求出線段MG的長度，也就是要求出字母a的值.當(dāng)學(xué)生能意識到這點(diǎn)時，求a也不復(fù)雜，由“K形相似”，△MAE∽△CDM，建立方程，解出a的值，從而問題獲解.

另外，這一問還可以利用直角三角形的面積來建立方程，Rt△MCF中，F(xiàn)C·MD=MC·MF（方法4）.其實(shí)，這個知識點(diǎn)在平時教學(xué)中也經(jīng)常提到.所以，第（2）問題目出得很好，可以拓展學(xué)生的思維，也檢驗(yàn)了我們平時教學(xué)的效果.方法1：利用勾股定理，在Rt△MDC中表示出MC=（4-a）2+32.再由△MAE∽△CDM，得DMAE=CDAM，即4-a1=3a，解得a=1或3，代入MC中得MC=32或10.方法2：在Rt△AME和Rt△EBC中，利用“勾股定理”得：EM2=AE2+AM2，EC2=BE2+BC2，得出CM=EC2-EM2=19-a2，方法3：利用“母子相似”，即“射影定理”結(jié)論，得MC2=CD·CF，而CF可以通過“X形相似”，△MAE∽△MDF，AMDM=AEDF，先求出FD=a4-a，所以CF=a4-a+3，接下來求a的值同方法1.方法4：利用面積，在Rt△MCF中，由FC·MD=MC·MF可表示出MC=FC·MDMF，而FC，F(xiàn)M可由“X形相似”，△MAE∽△MDF求得.

第（3）問中，點(diǎn)M為射線AD上的一動點(diǎn)，學(xué)生在審題時，粗心的同學(xué)會將第（2）問中求出的MG的長當(dāng)作條件去用.第二種錯誤就是沒有分類討論.當(dāng)學(xué)生弄清題意后，進(jìn)行正確的分類：點(diǎn)M在點(diǎn)D的左邊或右邊，并畫出相應(yīng)的圖形（如圖2、圖3）.

圖 2 圖 3

如圖2，由問題“用含a的代數(shù)式表示△EFG的面積S”，學(xué)生一般有兩條思路：一個是面積公式S=12EF·MG，另一個是“拼割法”.結(jié)合圖形，本題適合用第一種思路.而EF=EM+MF，由第（2）問的做題經(jīng)驗(yàn)，利用“勾股定理”和“X形相似”，△MAE∽△MDF，可表示出EM=a2+1，MF=4-aaa2+1，所以EF=4aa2+1，接下來，難點(diǎn)在于如何求MG.那就要充分地利用已知條件，AB的長還沒有用到，再結(jié)合要求MG，肯定要通過方程求解，想到構(gòu)造相似三角形，添加輔助線：作MN⊥BC，交BC于點(diǎn)N，構(gòu)造△MNG∽△MAE，得MG=3aa2+1，所以S=6a2+6，此時0

如圖3，同理分析，得S=6a2+6，當(dāng)a>4時，S沒有整數(shù)值.綜上，S有最小整數(shù)值為7.

在這一小問中，難點(diǎn)一個是分類思想，一個是函數(shù)思想.最后的問題涉及最值問題，無外乎函數(shù)性質(zhì)、非負(fù)數(shù)性質(zhì)和整數(shù)性質(zhì)，結(jié)合a的取值范圍，可獲解.

所以這條題目從知識的角度來看很綜合，三個問題體現(xiàn)了“特殊到一般，簡單到復(fù)雜”的數(shù)學(xué)思維過程，知識有機(jī)整合，問題遞進(jìn)探究.從能力的角度來看，對學(xué)生有較高的要求，突出了數(shù)學(xué)的基本思想：化歸思想、函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想……

2.變式研究

變式1：條件和結(jié)論互換，將第（1）問改為：若GE=GF，求AM的長.變式2：改變結(jié)論，將第（2）問改為：求線段FG的長或者求sin∠EFG；將第（3）問改為：討論S的最小或最大整數(shù)值.

三、價值與啟示

通過這道題目，對我們今后教學(xué)的啟示：重視知識與技能目標(biāo)的達(dá)成，重視數(shù)學(xué)基本思想的滲透；尤其是對于幾何教學(xué)，重視數(shù)學(xué)基本圖形的掌握，重視數(shù)學(xué)建模的歸納與提煉.