對一道數(shù)學(xué)考研試題的思考

周爽

【摘要】本文從一道考研題出發(fā)，討論了反例在微積分教學(xué)中的必要性，并舉例說明.

【關(guān)鍵詞】研究生入學(xué)考試；極限；微積分；反例

本研究受中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué)校級教學(xué)研究項(xiàng)目（項(xiàng)目代碼：21122911208）資助.

無窮級數(shù)一直是微積分中比較難學(xué)的一部分內(nèi)容，學(xué)生在碰到這類問題時(shí)常常感到無從下手，而在2014年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)（一）中就有這樣一道關(guān)于級數(shù)的解答題：

本文作者在批閱試卷的過程中，發(fā)現(xiàn)該題的得分率普遍偏低，而（1）的得分率又遠(yuǎn)遠(yuǎn)低于（2）.下面我們首先來看一下（1）的一些常見解法，再來分析下考生出錯(cuò)的原因.

從上面列出的四種做法中，我們可以看到這道題的第一問實(shí)則是在求數(shù)列的極限，極限貫穿微積分的始終，相對熟悉、熟練些，所以考生在考試時(shí)不要被表象迷惑，應(yīng)靜下心來思考分析，尋找解題方法.下面我們重點(diǎn)來討論下在考卷中最常用的解法4，實(shí)際上這恰恰是一種錯(cuò)誤的解法，其他三種都是正確的.為什么說解法4是錯(cuò)的呢？很多學(xué)生在學(xué)習(xí)微積分時(shí)常常會有這樣一個(gè)誤解：如果能求出一個(gè)函數(shù)或數(shù)列的極限，那么就說明此函數(shù)或數(shù)列存在極限，而且求出的這個(gè)數(shù)就是極限.看看此例：對數(shù)列un，首項(xiàng)為2，遞推公式為un+1=u2n.顯然這個(gè)數(shù)列是不存在極限的.但是學(xué)生常會求“極限”：假設(shè)該數(shù)列極限為A，則A必須滿足遞推公式：A=A2，解出A=0 或 1.這里，0，1都不可能是極限.之所以會得到這種結(jié)果，原因就在于這個(gè)數(shù)列的極限雖然不存在，但通項(xiàng)逐漸趨于無窮大，對無窮大而言，是不能用A=A2求的.即使你還能證明某個(gè)數(shù)列是有界的，用上述求所謂極限的辦法求出來的數(shù)也可能不是此數(shù)列的極限.考慮遞推式為un+1=sinun的數(shù)列就會知道，這個(gè)數(shù)列雖然有界但不存在極限，而A=sinA的一個(gè)解是A=0（這點(diǎn)通過畫圖就可以看到），顯然0并不是這個(gè)數(shù)列的極限.

那么上述例子是不是說明我們不能通過列方程的方法求數(shù)列的極限呢？事實(shí)上，此方法解題的正確順序是證明存在極限然后求極限，而不是反過來，不能先假設(shè)有極限然后去求它.這里，我們再次體會到了數(shù)學(xué)這門學(xué)科在邏輯上的高度嚴(yán)密性，解決任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題，無論是代數(shù)或是幾何，證明題還是計(jì)算題，都要做到言必有據(jù)，因此解題時(shí)要時(shí)刻做到每步有依據(jù).即使較明顯的事實(shí)也要有理有據(jù)，學(xué)習(xí)時(shí)切忌憑想象自我發(fā)明創(chuàng)造.

上述問題也應(yīng)引起我們的反思，一是廣大考生在準(zhǔn)備研究生入學(xué)考試時(shí)，除了要注重題海戰(zhàn)術(shù)外，還應(yīng)該花一些時(shí)間和精力搞清楚各種解題方法的原理本質(zhì)，常總結(jié)在解題過程中容易犯的錯(cuò)誤，學(xué)會用反例來加深理解；同時(shí)，這也提醒了數(shù)學(xué)教師在教學(xué)過程中，不要僅僅停留于教學(xué)生在碰到一道數(shù)學(xué)問題時(shí)應(yīng)該怎么做，更重要的是告訴他們?yōu)槭裁纯梢赃@樣做，理論依據(jù)是什么，這些原理應(yīng)怎樣 “正確”地使用！以微積分為例，它作為一般高校最重要的一門基礎(chǔ)課程，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)線性代數(shù)、概率論、復(fù)變函數(shù)等后續(xù)課程的基礎(chǔ)，它集科學(xué)性、嚴(yán)密性與連貫性于一體，系統(tǒng)性與邏輯性強(qiáng).對于剛剛進(jìn)入大學(xué)的學(xué)生來說，在從初等數(shù)學(xué)（用非極限方法研究常量數(shù)學(xué)）到高等數(shù)學(xué)（用極限方法研究變量數(shù)學(xué)）的轉(zhuǎn)變過程中，此課程的學(xué)習(xí)尤為關(guān)鍵.該課程包含了一整套抽象而且形式化的嚴(yán)謹(jǐn)?shù)睦碚擉w系，特別是許多重要的概念和定理都是用抽象的數(shù)學(xué)語言給予形式化的精確描述，學(xué)生在理解上、應(yīng)用上有一定的難度，也常常會產(chǎn)生一些誤解.鑒于此情況，在微積分教學(xué)中，教師可以考慮使用反例來修正學(xué)生對知識理解時(shí)出現(xiàn)的錯(cuò)誤，同時(shí)也可使學(xué)生養(yǎng)成嚴(yán)格推理、全面分析的能力.