淺談“化歸與轉(zhuǎn)化思想”在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

安寶琴

【摘要】解決數(shù)學(xué)問題時，常遇到一些問題直接求解較為困難，通過觀察、分析、類比、聯(lián)想等思維過程，選擇運用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法進(jìn)行變換，將原問題轉(zhuǎn)化為一個新問題，即就是說，轉(zhuǎn)化成對自己較熟悉的問題.通過新問題的求解，達(dá)到解決原問題的目的，這一思想方法我們稱之為“化歸與轉(zhuǎn)化的思想方法”.本文簡要談一談這種數(shù)學(xué)思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】化歸與轉(zhuǎn)化思想；高中數(shù)學(xué)解題；應(yīng)用

1.應(yīng)用“化歸與轉(zhuǎn)化思想”的基本原則

化歸與轉(zhuǎn)化思想的實質(zhì)是揭示聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.除極簡單的數(shù)學(xué)問題外，每個數(shù)學(xué)問題的解決都是通過轉(zhuǎn)化為已知的問題實現(xiàn)的.從這個意義上講，解決數(shù)學(xué)問題就是從未知向已知轉(zhuǎn)化的過程.化歸與轉(zhuǎn)化的思想是解決數(shù)學(xué)問題的根本思想，解題的過程實際上就是一步步轉(zhuǎn)化的過程.數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化比比皆是，如未知向已知轉(zhuǎn)化，復(fù)雜問題向簡單問題轉(zhuǎn)化，新知識向舊知識的轉(zhuǎn)化，命題之間的轉(zhuǎn)化，數(shù)與形的轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，高維向低維轉(zhuǎn)化，多元向一元轉(zhuǎn)化，高次向低次轉(zhuǎn)化，超越式向代數(shù)式的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化等，都是轉(zhuǎn)化思想的體現(xiàn).轉(zhuǎn)化有等價轉(zhuǎn)化和非等價轉(zhuǎn)化.等價轉(zhuǎn)化前后是充要條件，所以盡可能使轉(zhuǎn)化具有等價性；在不得已的情況下，進(jìn)行不等價轉(zhuǎn)化，應(yīng)附加限制條件，以保持等價性，或?qū)λ媒Y(jié)論進(jìn)行必要的驗證.因此，化歸與轉(zhuǎn)化應(yīng)遵循的基本原則：

（1）熟悉化原則：將陌生的問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題，以利于我們運用熟知的知識、經(jīng)驗和問題來解決.

（2）簡單化原則：將復(fù)雜的問題化歸為簡單問題，通過對簡單問題的解決，達(dá)到解決復(fù)雜問題的目的，或獲得某種解題的啟示和依據(jù).

（3）和諧化原則：化歸問題的條件或結(jié)論，使其表現(xiàn)形式更符合數(shù)與形內(nèi)部所表示的和諧的形式，或者轉(zhuǎn)化命題，使其推演有利于運用某種數(shù)學(xué)方法或其方法符合人們的思維規(guī)律.

（4）直觀化原則：將比較抽象的問題轉(zhuǎn)化為比較直觀的問題來解決.

（5）正難則反原則：當(dāng)問題正面討論遇到困難時，可考慮問題的反面，設(shè)法從問題的反面去探求，使問題獲解.

2.例題分析

例1 如果三棱錐P-ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂線ED=h.求證：三棱錐P-ABC的體積V=16l2h.

分析 如視P為頂點，△ABC為底面，則無論是S△ABC以及高h(yuǎn)都不好求.如果觀察圖形，換個角度看問題，創(chuàng)造條件去應(yīng)用三棱錐體積公式，則可走出困境.

解 如圖，連接EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD.這樣，截面ECD將原三棱錐切割成兩個分別以ECD為底面，以PE，AE為高的小三棱錐，而它們的底面積相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以

VP-ABC=VP-ECD+VA-ECD=13S△ECD·AE+13S△ECD·PE=13S△ECD ·PA=13·12BC·ED·PA=V=16l2h.

評注 輔助截面ECD的添設(shè)使問題轉(zhuǎn)化為已知問題迎刃而解.

例2 在（x2+3x+2）5的展開式中x的系數(shù)為（ ）.

A.160 B.240 C.360 D.800

分析與解 本題要求（x2+3x+2）5展開式中x的系數(shù)，而我們只學(xué)習(xí)過多項式乘法法則及二項展開式定理，因此，就要把對x系數(shù)的計算用上述兩種思路進(jìn)行轉(zhuǎn)化：

思路1 直接運用多項式乘法法則和兩個基本原理求解，則（x2+3x+2）5展開式是一個關(guān)于x的10次多項式，（x2+3x+2）5=（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2）（x2+3x+2），它的展開式中的一次項只能從5個括號中的一個中選取一次項3x并在其余四個括號中均選擇常數(shù)項2相乘得到，故為C15·（3x）·C44·24=5×3×16x=240x，所以應(yīng)選B.

思路2 利用二項式定理把三項式乘冪轉(zhuǎn)化為二項式定理再進(jìn)行計算.∵x2+3x+2=x2+ （3x+2）=（x2+2）+3x=（x2+3x）+2=（x+1）（x+2）=（1+x）（2+x），∴這條思路下又有四種不同的化歸與轉(zhuǎn)化方法.①如利用x2+3x+2=x2+（3x+2）轉(zhuǎn)化，可以發(fā)現(xiàn)只有C55（3x+2）5中會有x項，即C45（3x）·24=240x，故選B；②如利用x2+3x+2=（x2+2）+3x進(jìn)行轉(zhuǎn)化，則只C15 （x2+2）4·3x中含有x一次項，即C15·3x·C44·24=240x；③如利用x2+3x+2=（x2+3x）+2進(jìn)行轉(zhuǎn)化，就只有C45·（x2+3x）·24中會有x項，即240x；④如選擇x2+3x+2=（1+x）（2+x）進(jìn)行轉(zhuǎn)化，（x2+3x+2）5=（1+x）5×（2+x）5展開式中的一次項x只能由（1+x）5中的一次項乘以（2+x）5展開式中的常數(shù)項加上（2+x）5展開式中的一次項乘以（1+x）5展開式中的常數(shù)項后得到，即為C15x·C5525+C15·24·x·C05·15=160x+80x=240x，故選B.

評注 化歸與轉(zhuǎn)化的意識幫我們把未知轉(zhuǎn)化為已知.

總之，熟練、扎實地掌握基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法是轉(zhuǎn)化的基礎(chǔ)；豐富的聯(lián)想、機敏細(xì)微的觀察、比較、類比是實現(xiàn)轉(zhuǎn)化的橋梁；培養(yǎng)訓(xùn)練自己自覺的化歸與轉(zhuǎn)化意識需要對定理、公式、法則有本質(zhì)上的深刻理解和對典型習(xí)題的總結(jié)和提煉，要積極主動有意識地去發(fā)現(xiàn)事物之間的本質(zhì)聯(lián)系.從這個意義說，“抓基礎(chǔ)，重轉(zhuǎn)化”是學(xué)好中學(xué)數(shù)學(xué)的金鑰匙.