用一次函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)一類歸納猜想規(guī)律探索題

疏忠良

【摘要】由于猜想本身就是一種重要的數(shù)學(xué)方法，也是人們探索發(fā)現(xiàn)未知的重要手段，非常有利于培養(yǎng)學(xué)生觀察問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題能力，尤其是創(chuàng)造性思維能力，所以備受命題專家的青睞，逐步成為中考的持續(xù)熱點(diǎn).這類問(wèn)題在中考中經(jīng)常以選擇、填空、解答題形式出現(xiàn)，解題策略是要善于從所提供的數(shù)字或圖形信息中，尋找其共同特征之處，這個(gè)存在于個(gè)例中的共性，就是規(guī)律.其中蘊(yùn)含著“特殊——一般——特殊”的思維模式，又體現(xiàn)了總結(jié)歸納的數(shù)學(xué)思想.

【關(guān)鍵詞】 一次函數(shù)；認(rèn)識(shí)；歸納猜想規(guī)律

問(wèn)題 為慶?！傲弧眱和?jié)，某小學(xué)舉行用火柴棒擺“金魚”比賽.如圖所示：

按照上面的規(guī)律，擺n個(gè)“金魚”需用火柴棒的根數(shù) y為（ ）.

A.2+6n B.8+6n C.4+4n D.8n

解 分類歸納：

n=1時(shí) y=8

n=2時(shí) y=14=8+1×6

n=3時(shí) y=20=8+2×6

n=4時(shí) y=26=8+3×6

……

當(dāng) n 時(shí) y=8+（n-1）×6

猜想：火柴棒根數(shù) y=8+6（n-1）=6n+2，故選A.

反思：

問(wèn)題1：本題中金魚個(gè)數(shù)（n）和火柴棒根數(shù)（y）兩個(gè)變量之間是否存在某種函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系？ 如存在，是什么函數(shù)關(guān)系？

分析： 列表更能清楚地反映出金魚個(gè)數(shù)（n）和火柴棒根數(shù)（y）的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

金魚個(gè)數(shù)n[]1[]2[]3[]4[]…[]n

火柴棒根數(shù)y[]8[]8+1×6[]8+2×6[]8+3×6[]…[]8+（n-1）×6

由表知，根據(jù)函數(shù)概念，易知金魚個(gè)數(shù)（n）和火柴棒根數(shù)（y）兩個(gè)變量之間存在函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系，而且是一次函數(shù)關(guān)系.

問(wèn)題2： 能否用一次函數(shù)有關(guān)知識(shí)解決本題呢？

探究： 根據(jù)題意分析，金魚個(gè)數(shù)（n）和火柴棒根數(shù)（y）兩個(gè)變量之間存在一次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系.因此，可設(shè) y=kn+b（k≠0），將n=1，y=8 和n=2，y=14 代入函數(shù)式得

k+b=8，

2k+b=14，解得 k=6，

b=2.

故y=6n+2.

問(wèn)題3： 上面兩種解法分別是歸納猜想法和用一次函數(shù)式待定系數(shù)法，解法思路完全不同，但結(jié)果相同.是巧合嗎？還是有內(nèi)在的必然聯(lián)系呢？

探究： 請(qǐng)認(rèn)真觀察本題“金魚”圖形，不難發(fā)現(xiàn)，第一個(gè)圖形火柴棒8根，第二個(gè)圖形火柴棒比第一個(gè)圖形火柴棒多6根，第三個(gè)圖形火柴棒比第二個(gè)圖形火柴棒又多6根，依次類推，第n個(gè)圖形比第n-1個(gè)圖形火柴棒多6根.此規(guī)律構(gòu)成等差數(shù)列.而等差數(shù)列就是一種特殊的一次函數(shù).原來(lái)如此，金魚個(gè)數(shù)（n）和火柴棒根數(shù)（y）兩個(gè)變量之間存在一次函數(shù)對(duì)應(yīng)關(guān)系.故問(wèn)題2的探究解法是正確的.

問(wèn)題4： 是不是所有的歸納猜想問(wèn)題都可以運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解決呢？

探究：不是所有的歸納猜想型問(wèn)題都可以運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解決.如數(shù)字解密：第一個(gè)數(shù)是3=2+1，第二個(gè)數(shù)是5=3+2，第三個(gè)數(shù)是9=5+4，第四個(gè)數(shù)是17=9+8，…，觀察并猜想第六個(gè)數(shù)是（B）.

A.64 B.65 C.66 D.67

本例就不能運(yùn)用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解決.

問(wèn)題5： 符合什么條件的歸納猜想型問(wèn)題才可以用一次函數(shù)知識(shí)解決呢？

探究：當(dāng)歸納猜想型問(wèn)題符合等差數(shù)列規(guī)律時(shí)，就可以用一次函數(shù)知識(shí)來(lái)解決.于是，可得下面定理.

定理：能構(gòu)成等差數(shù)列的歸納猜想型問(wèn)題就可以用一次函數(shù)式求通項(xiàng)證明，因?yàn)榈炔顢?shù)列是特殊的一次函數(shù)，故可用一次函數(shù)求解.

說(shuō)明：（1）對(duì)于初中生來(lái)講，等差數(shù)列未學(xué)，但只要理解其實(shí)質(zhì)：后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大（?。┫嗤臄?shù)，就符合等差數(shù)列規(guī)律.（2）高中學(xué)習(xí)等差數(shù)列通項(xiàng)是 An=A1+（n-1）d 就是歸納猜想型問(wèn)題中的一般性規(guī)律，和一次函數(shù)式 y=kn+b求出規(guī)律是完全一致的.對(duì)于初中生，這里只介紹了一次函數(shù)式求法.

應(yīng)用舉例：將一張正方形紙片剪成四個(gè)大小形狀一樣的小正方形，然后將其中的一片又按同樣的方法剪成四小片，再將其中的一小片正方形紙片剪成四片，如此循環(huán)進(jìn)行下去，將結(jié)果填在下表中，并解答所提出的問(wèn)題：

（1）如果能剪100次，共有多少個(gè)正方形？據(jù)上表分析，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

（2）如果剪n 次共有An個(gè)正方形，試用含n、An的等式表示這個(gè)規(guī)律；

（3）能否將正方形剪成2014個(gè)小正方形？為什么？

解 （1）100×3+1=301，規(guī)律是：本次剪完后得到的小正方形的個(gè)數(shù)比上次剪完后得到的小正方形的個(gè)數(shù)多3個(gè).

（2）解法1：歸納猜想得An=3n+1；解法2：觀察表格發(fā)現(xiàn)正方形個(gè)數(shù)依次為 4，7，10，13，16，…每一項(xiàng)比前一項(xiàng)都大3，即公差為3，故正方形個(gè)數(shù)符合等差數(shù)列，因此可用一次函數(shù)式求解.

設(shè)An=kn+b（k≠0），將n=1，A1 =4 和 n=2，A2 =7 代入得

k+b=4，

2k+b=7，解得k=3， b=1.

所以，An=3n+1.

（3）若An=2014，則3n+1=2014，n=671，∴能將原正方形剪成2014個(gè)小正方形.