淺談 “一題多解”“一題多變”對(duì)學(xué)生發(fā)散思維的培養(yǎng)

喬忠洋

發(fā)散思維是對(duì)已知信息進(jìn)行多方向、多角度的思考，不局限于既定的理解，從而提出新問題、探索新知識(shí)或發(fā)現(xiàn)多種解答和多種結(jié)果的思維方式.它的特點(diǎn)是思路廣闊，尋求變異，對(duì)已知信息通過轉(zhuǎn)換或改造進(jìn)行擴(kuò)散派生以形成各種新信息.它對(duì)推廣原命題、引申舊知識(shí)、發(fā)現(xiàn)新方法等具有積極的開拓作用，因此創(chuàng)新能力更多地寓于發(fā)散思維之中.發(fā)散思維的培養(yǎng)在教學(xué)中可以通過“一題多解”“一題多變”來實(shí)現(xiàn).

通過“一題多解”“一題多變”訓(xùn)練學(xué)生從不同的角度思考問題、分析問題、解決問題.它們在教學(xué)過程中都要以“一題多問”或“一題多思”作為啟發(fā)誘導(dǎo)以生成解法鏈和命題鏈.從思維方式的構(gòu)成來看，“一題多解”是命題角度的集中——集中目標(biāo)是證題或解題，解法角度的發(fā)散——發(fā)散對(duì)象是解題方法.而“一題多變”則是命題角度和解法角度兩個(gè)方面的同時(shí)發(fā)散.由此可見，“一題多變”的發(fā)散性更強(qiáng)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中恰當(dāng)?shù)剡m時(shí)地加以運(yùn)用，更容易誘發(fā)和培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維.

例如：在“怎樣探求點(diǎn)的軌跡”教學(xué)中設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)問題：

圖 1如圖1，C是定圓A內(nèi)的一個(gè)定點(diǎn)，D是圓上的動(dòng)點(diǎn)，求線段CD的垂直平分線與AD的交點(diǎn)F的軌跡方程.

分析 注意EF是CD的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質(zhì)，點(diǎn)F到D的距離與F到C的

距離相等，即FD=FC.這樣

FA+FC=FA+FD=R，其中R是定圓的半徑，是定值.由于點(diǎn)C是圓A內(nèi)的一點(diǎn)，所以|AC|<|AD|=R.根據(jù)橢圓的定義，點(diǎn)F的軌跡是以A，C為焦點(diǎn)，R為長軸長的橢圓.（解法略）

變題1 如圖1，E是 CD中點(diǎn)，求E的軌跡.

解法1 由于|OE|=12|AD|=a，是定值，所以E是以O(shè)為圓心，a為半徑的圓.其方程為x2+y2=a.

變題2 如圖2，變“E是 CD中點(diǎn)”為“G是直線CD上的一點(diǎn)”，求G點(diǎn)的軌跡.

解法1 過G作AD的平行線，交AC于H，HG|AD|=CGCD，若CGCD是一個(gè)定值，則HG就是一個(gè)定值，所以G點(diǎn)的軌跡是以H為圓心、HG為半徑的一個(gè)圓.

解法2 設(shè)Gx，y，CGGD=λ，則D1+λx-cλ，1+λλy，而D點(diǎn)的坐標(biāo)滿足圓A的方程x+c2+y2=a2，

則有1+λλx-1-λλc2+1+λλy2=a2，表示一個(gè)圓.

由Fx′，y′滿足橢圓方程x2a2+y2b2=1得到x-c22a24+y2b24=1.這是兩個(gè)離心率相同的橢圓（長、短軸的比不變，離心率也不變）.

解法2 ∵|OK||AF|=|CK||CF|=12，∴|OK|+|CK||AF|+|CF|=12.

而|AF|+|CF|=2a，|OK|+|CK|=a，是定值，所以點(diǎn)K的軌跡是以O(shè)，C為焦點(diǎn)，以a為長軸長的橢圓，其方程為x-c22a24+y2b24=1.

變題4 在直線CF上任意取一點(diǎn)L（不是C），探求點(diǎn)L的軌跡，并求出方程.

分析 設(shè)λ′=CLLF，點(diǎn)Lx，y，則有F（1+λ′）x-cλ′，1+λ′λ′y，代入橢圓方程 x2a2+y2b2=1便可求出L的軌跡方程.

在教學(xué)過程中教師要善于挖掘和選擇數(shù)學(xué)知識(shí)中的發(fā)散素材恰當(dāng)選擇典型的問題、創(chuàng)設(shè)問題情境啟發(fā)學(xué)生多方向、多角度地思考.對(duì)發(fā)散性較強(qiáng)的問題讓學(xué)生大膽地去猜想變換問題，并設(shè)法解決問題；對(duì)一般性的問題則要通過教師的設(shè)問啟發(fā)學(xué)生的思維發(fā)散，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)發(fā)散思維.