淺談中學數(shù)學思維的培養(yǎng)

黃紅玉

【摘要】現(xiàn)代數(shù)學教學理念認為，數(shù)學教學是數(shù)學思維過程的教學，是學生在高中數(shù)學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，能對具體的數(shù)學問題進行推論與判斷，從而獲得數(shù)學知識本質和規(guī)律的認識能力，包括應用數(shù)學工具解決各種實際問題的思考過程.它有三個方面的本質特征：①邏輯性；②抽象性；③本質屬性的準確把握.

【關鍵詞】數(shù)學思維；類型；培養(yǎng)

《數(shù)學課程標準》強調數(shù)學教學應從學生實際出發(fā)，創(chuàng)設有助于學生自主學習的問題情境，引導學生通過實踐、思考、探索、交流，獲得知識，形成技能，發(fā)展思維，學會學習，促使學生在教師指導下生動活潑地、主動地、富有個性地學習.現(xiàn)代數(shù)學教學理念認為，數(shù)學教學是數(shù)學思維過程的教學，學生學習數(shù)學的過程是頭腦中構建數(shù)學認知結構的過程.通過問題引導思維，多方面發(fā)展思維能力，是學好數(shù)學的關鍵，也是培養(yǎng)學生創(chuàng)新能力的重要途徑.因此，在教學中教師要特別重視學生思維能力的培養(yǎng).而所謂高中學生數(shù)學思維，是指學生在對高中數(shù)學感性認識的基礎上，運用比較、分析、綜合、歸納、演繹等思維的基本方法，理解并掌握高中數(shù)學內(nèi)容而且能對具體的數(shù)學問題進行推論與判斷，從而獲得對高中數(shù)學知識本質和規(guī)律的認識能力.數(shù)學思維若按性質特征劃分，則有：（1）數(shù)學類比推理思維；（2）數(shù)學形象思維；（3）數(shù)學直覺思維；（4）數(shù)學邏輯思維；（5）數(shù)學猜想思維；（6）數(shù)學分類思想.

1.類比推理是根據(jù)兩個研究對象具有某些相同的屬性，推出當一個對象尚具有另外一個屬性時，另一個對象也可能具有這一屬性的思想方法，即從對某事物的認識推到對類似事物的認識.在數(shù)學教學中，可啟發(fā)學生以知識的順延、從屬、引申、互進、相似等方面考慮和發(fā)掘類比因素.

如：德國數(shù)學家哥德巴赫運用類比的方法，對4=2+2，6=3+3，8=3+5……大量實例的考察，提出了著名的哥德巴赫猜想：“凡大于2的偶數(shù)，都可以表成兩個素數(shù)之和.”

又如：立體幾何中的臺體側面公式（*） S側=12（c+c′）h′.

通過類比，柱、錐、臺體的側面積可全部統(tǒng)一為（*）式，因為錐體可視c=0，柱體可視c′=c，h′=h，旋轉體可視h′為母線長，這對學生的學習十分有益.

2.數(shù)學形象思維是依靠形象材料的意識領會得到理解的思維.其中圖式想象是以數(shù)學直感為基礎，對數(shù)學圖式表象加工與改造，它的特點是以框架結構作為形象思維材料進行分析思考.例：把復數(shù)1+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ化為三角形式，因為1=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ），因此就得簡例解法：

原式=（sinθ+icosθ）（sinθ-icosθ）+sinθ+icosθ1+sinθ-icosθ=（sinθ+icosθ）（1+sinθ-icosθ）1+sinθ-icosθ=sinθ+icosθ=cosπ2-θ+isinπ2-θ，本題使用“1”代換而得到解題的技巧.

3.數(shù)學直觀思維是對運用有關知識系統(tǒng)和形象直感對當前問題進行敏銳的分析、推理，并能迅速發(fā)現(xiàn)解決問題的方向或途徑.一般來說，類比能啟發(fā)直覺，直觀的背景材料也能激發(fā)直覺思維.

例如：在認識二次函數(shù)的圖像時，可以放出籃球比賽中姚明或林書豪投籃情景的投影，馬上激起學生的興趣.再如：在教“統(tǒng)計初步”時，設計以下例子：在倫敦奧運會即將舉行時，教練為了從甲乙兩名運動員中選取一人代表國家參加射擊比賽，甲乙兩人在相同條件下各射擊10次，成績?nèi)缦拢?/p>

甲：7 8 7 9 5 4 9 10 7 4

乙：9 5 7 8 7 6 8 6 7 7

怎樣比較兩人的成績高低，選誰參加比賽？教練經(jīng)過科學的數(shù)據(jù)處理，選出一名運動員參加比賽，取得了較好的成績.他是怎樣計算的呢？ 學生此時思維活躍起來，對探求新知識興趣盎然，師生很順利地完成此節(jié)內(nèi)容，同時也加深了學生對數(shù)學知識來源于生活又應用于生活的認識.

4.數(shù)學邏輯思維的基本形式：概念、判斷、推理和證明.數(shù)學證明是根據(jù)已確定其真實性的公理、定理、定義、公式性質等數(shù)學命題來論證某一數(shù)學命題的真實性的推理過程.它由已知、求證、證明過程三部分組成，常用的方法有分析與綜合法、反證法、窮舉法、數(shù)學歸納法.

例：如果AD與BC是異面直線，

那么AB與CD是異面直線.

證明：（反證法）

如果AB與CD不是異面直線，

那么AB與CD或平行或相交，不論是那種情形，它們都在同一個平面內(nèi)，即AB與CD都在同一個平面γ內(nèi)，因此BC，AD都在平面γ內(nèi)，即AD，BC不是異面直線，這與已知AD，BC是異面直線相矛盾.由此，AB與CD不是異面直線不正確，這就證明了AB與CD是異面直線.

5.數(shù)學猜想思維是對數(shù)學對象進行觀察、分析、比較、類比、歸納等已有的知識作出推測性想象，它傾向于一種創(chuàng)造性的形象推理，而數(shù)學猜想往往隨著類比、歸納的思維過程，對于培養(yǎng)學生的數(shù)學能力，開展智力，發(fā)展數(shù)學思維，有著重要意義.

例 勾股定理的猜想推廣

6.數(shù)學分類思想就是根據(jù)數(shù)學對象本質屬性的相同點與不同點，將其分成幾個不同種類的一種數(shù)學思想.它既是一種重要的數(shù)學思想，又是一種重要的數(shù)學邏輯方法.分類討論思想，貫穿于整個中學數(shù)學的全部內(nèi)容中.需要運用分類討論的思想解決的數(shù)學問題，就其引起分類的原因，可歸結為：①涉及的數(shù)學概念是分類定義的.例如：在學了有理數(shù)的有關概念之后對數(shù)的歸類，要注意引導選擇不同的標準進行分類.②運用的數(shù)學定理、公式或運算性質、法則是分類給出的；例如：含絕對值的問題、一元二次方程根的問題.③求解的數(shù)學問題的結論有多種情況或多種可能.如動點問題.④數(shù)學問題中含有參變量，這些參變量的取值會導致不同結果的.應用分類討論，往往能使復雜的問題簡單化.分類的過程，可培養(yǎng)學生思考的周密性、條理性，而分類討論，又促進學生研究問題、探索規(guī)律的能力.

總之，數(shù)學學習離不開思維，高中數(shù)學的數(shù)學思維雖然并非總等于解題，但我們可以這樣講，高中學生的數(shù)學思維的形成是建立在對高中數(shù)學基本概念、定理、公式理解的基礎上的；發(fā)展高中學生數(shù)學思維最有效的方法是通過解決問題來實現(xiàn).數(shù)學思維的表現(xiàn)要以數(shù)學結果的形式表達，數(shù)學探索需要通過思維來實現(xiàn)，培養(yǎng)思維能力，形成良好的數(shù)學思維習慣，既符合新的課程標準，也是進行數(shù)學素質教育的一個切入點.